в каком классе как правило дается первое определение тождества

Тождества, определение, обозначение, примеры.

Эта статья дает начальное представление о тождествах. Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества. В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ. Определение становится таким:

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства.

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств. В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Источник

Открытый урок алгебры в 7-м классе по теме «Тождество. Способы доказательства тождеств. Самоанализ урока (подробный)»

Разделы: Математика

Тип урока: комплексное применение знаний.

Этапы урока: подготовительный, применение знаний, итог.

могут применять операции приведения одночлена к стандартному виду;

сложения многочленов, умножения многочлена на многочлен.Различать понятия уравнения и тождества;

осуществлять доказательство тождеств;

рационально выбирать и применять способы доказательства тождеств.

можно при определенном условии считать тождеством (вспомнить определения уравнения и тождества)Фронтальная работаСловесный

Наглядный2.Применение знаний (обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной учебной ситуации)На основе преобразований левой и правой части данного

математического равенства, выявить способы доказательства тождеств;

Выявить рациональный способ из предложенных и отработать подбор рационального решения по заданному условию тождествГрупповая работа

Самостоятельная работаПоисковый

Практический3.Итог (анализ и оценка успешности достижения цели)Подведение итогов работы на уроке путем выполнения индивидуальной работы, где предлагается выбрать из представленных равенств тождество и доказать его любым из предложенных способов (желательно рациональным);

Затем учащиеся производят самооценку своей работы на уроке по заданным (от начала занятия) критериямФронтальнаяСловесный

Конспект урока (кратко):

1. Этап (подготовительный)

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа)

Учащиеся 7 класса, как правило, считают, что это уравнение, и, решая его, получают линейное уравнение вида: 0 х = 0, верное при любых х.

Затем, учитель показывает работу другого класса, и дети сталкиваются с противоречием – в работах другого класса, учащиеся доказывают, что это тождество.

Выявление способов доказательства тождеств: (групповая работа)

Записано выражение:

Задание 1 группе:

Перенесите правую часть равенства в левую. Докажите, что данное выражение не зависит от значения переменных.

Преобразуйте левую часть равенства. Докажите, что она равна правой, а значит данное выражение не зависит от значения переменных.

Преобразуйте одновременно левую и правую части равенства. Докажите, что данное равенство не зависит от значения переменных.

При рассмотрении выполненной работы ребят по доказательству тождества, удобно результаты примененных способов изображать в виде схем на отдельных листах бумаги, с указателем номера, что бы в последствии, использовать эти схемы не только на данном, но и на других уроках алгебры.

а) Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)

1)

2)

3)

4)

5)

б) Самостоятельная работа: (индивидуализированное задание)

Выбрать из предложенных математических равенств тождества и доказать их любым из предложенных способов, указав номер способа:

1)

2)

3)

4)

5)

Источник

Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Источник

Конспект урока по теме: «Тождества» (Алгебра, 7 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

7 класс Алгебра Урок №10

Тип: урок – исследование.

Цель: сформировать представление о тождественно равных выражениях и тождестве.

Планируемые результаты: иметь представление о тождестве.

II . Сообщение темы и цели урока

III . Повторение и закрепление пройденного материала

1. Разбор нерешённых задач в домашней работе

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

1. Дайте формулировку (алгебраическую и словесную) переместительного свойства для сложения и умножения.

2. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 7,63 + 2,41 +2,59 + 2,37; б) × × × .

3. Вычислите значение выражения (3 – а) + (а – 2) + (4 – а) + (а – 1).

1. Дайте формулировку (алгебраическую и словесную) сочетательного свойства для сложения и умножения.

2. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 3,82 + 1,58 +3,42 + 6,18; б) × × × .

3. Вычислите значение выражения (2 – b ) + (b + 5) + (4 – b) + (b – 3).

IV . Работа по теме урока

– Найдём значение двух алгебраических выражений х 2 и 5 × х – 6 при одном и том же значении переменной, например х = 1. Получаем значение этих выражений: (1) 2 = 1 и 5 × 1 – 6 = – 1. Видно, что соответственные значения выражений не равны. Теперь найдём соответственные значения этих выражений при х = 2. Получаем значения: (2) 2 = 4 и 5 × 2 – 6 = 4. В этом случае значения выражений равны.

Существуют и такие выражения, соответственные значения которых равны при любых допустимых значениях переменных. Такие выражения называются тождественно равными.

в) В соответствии с основным свойством дроби выражения и являются тождественно равными при а ¹ 1 и b ¹ 2.

Равенство, связывающее два тождественно равных выражения, называется тождеством.

Являются тождествами при всех допустимых значениях переменных равенства:
а) a + b + c = a +( b + c );

б) = ;

в) = .

Верные числовые равенства также считаются тождествами.

Являются тождествами равенства:

б) (1 + 2 + 3 + 4) : 5 = 2 2 – 2.

V . Решение упражнений

VI . Контрольные вопросы

– Какие значения алгебраических выражений являются соответственными?

– Могут ли соответственные значения выражений быть а) равными; б) неравными?

– Какие выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.

– Какое равенство называется тождеством? Приведите примеры.

– В каком случае числовое равенство будет тождеством? Приведите примеры.

VII . Решение творческих заданий

1. Проверьте, являются ли тождественно равными выражения:

а) ( a – 3) (а + 2) и а 2 – а – 6;

б) ( a + 3) (а – 2) и а 2 – 2 а – 6;

в ) (a – b)(a – 2 и a 2 – 3 × a × b + 2 × b 2 ;

2. При каких допустимых значениях переменных равенства являются тождествами?

а) = ; в) = ;

б) = г) = .

3. Укажите значения переменных, при которых равны соответственные значения выражений:

VIII . Анонс домашнего задания

IX . Оценивание. Подведение итогов урока

Источник

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Тема урока: Доказательство тождеств.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

научить использовать способы преобразования многочленов для доказательства тождеств. Рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств. Проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного

Планируемые результаты обучения:

— смыслообразования (осознание личностного смысла учебной деятельности, формирование внутренней мотивации к учению в связи с интересами и жизненными планами ученика)

— положительное отношение к учению, к познавательной деятельности,

— рефлексия собственной деятельности,

Знать: определение тождества; способы доказательства тождеств;

Понимать: в чем отличие тождества от других равенств;

Уметь: доказывать тождества различными способами: способом преобразования одной части к виду другой, способом одновременного преобразования обеих частей к тождественно равным выражениям, с помощью доказательства равенства нулю разности частей тождества.

-постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно,

-выбор, принятие и сохранение учебной цели и задачи,

— осуществление самоконтроля и самооценки, осознание качества и уровня усвоения,

— умение определить способы действий, алгоритм решения задачи в рамках предложенных условий и требований,

— умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения,

— умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, алгоритмы и схемы для решения учебных и познавательных задач,

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска,

— умение структурировать знания; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений,

— проводить анализ объектов с целью выделения признаков.

-умение формулировать собственное мнение и позицию,

— осознанное построение речевых высказываний,

-восприятие выступлений учащихся,

— участие в обсуждении содержания материала,

-планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками,

-умение работать индивидуально и в группе, находить общее решение,

-умение формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Добрый день уважаемые ученики, как ваше настроение? Готовы ли вы сегодня получить новые и интересные знания? Так давайте же приступим…

Прежде чем открыть для себя что то новое на уроке, я предлагаю вам сыграть в игру которая называется лото. (На столе карточки-лото). Я произношу пример, а вы должны вычеркнуть правильный ответ. (В конце разминки должно остаться два числа 81 и 74). Начнем.

9+12=21; 8+14=22; 13-7=6; 19-4=15; 7х9=63; 3х8=24; 21:7=3; 50:2=25; 59+17=76; 31-18=13;

15х3=45; 4х12=48; 99:11=9; 42:7=6

1 этап: Актуализация знаний.

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа) выход к доске.

На решение примера дается 3 минуты, учащиеся решают после чего им задается вопрос. Можно ли назвать данное выражение уравнением? (да). А можно ли применить к этому выражению другое определение? (тождество)

Одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение.

Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это — уравнение.

Любое тождество должно быть………. (доказано).

Поэтому тема сегодняшнего урока ….(док-во тождеств), а целью будет научиться использовать способы доказательства тождеств.

2 этап. Изучение нового материала.

Скажите какие действия вы совершили при выполнении задания? А что такое тождественное преобразование выражений? (вопрос для дальнейшего изучения темы)

Задание по группам: Докажите тождество

На ваших столах карточки с примером, вы должны решить их самостоятельно и сформулировать способы решения данных выражений. На карточках есть подсказки чтобы правильно сформулировать эти способы. 5 минут на выполнение.

Карточки с заданием

Выпишите выражение в левой части указанного равенства, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением правой части, сделайте вывод.

5х – 7 = 28х – 3 – х – 4 – 22х

Выпишите выражение правой части указанного равенства, приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением левой части и сделайте вывод.

(х – 5)(х + 2) = (х + 4)(х – 7) + 18

Выпишите сначала выражение левой части, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, затем выпишите выражение правой части, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Сравните полученные выражения, сделайте вывод.

Группы высказывают свое мнение.

Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране появляются равенства. Найдите равенство которое не будет являться тождеством, и встаньте если равенство является тождеством, если же нет то оставайтесь на месте.

— Что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся:

Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
или

Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
или

Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

— А если не будет выполняться то, о чем мы только что сказали? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

Оцените свою деятельность:

На ваших столах лежат листочки с графиком.

Вам нужно построить график того как вы поняли тему урока. На оси ординат расположены баллы от 1 до 9, а на оси абсцисс этапы нашего урока. Соотнесите каждый этап урока с баллами.

Источник