Как убрать коэффициент перед логарифмом

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Пусть нам известны значения Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмоми Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмоми мы хотим найти значение Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом.

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомчтобы получить Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом.

Пусть Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомпеременная Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомможет принимать любое действительное значение, тогда на переменные Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмоми Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомнакладываются такие ограничения: Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомo» title=»a>o»/> Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом1″ title=»a<>1″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом0″ title=»b>0″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Если нам известны значения Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмоми Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, и перед нами стоит задача найти неизвестное Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, мы берем логарифм числа Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомпо основанию Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Логарифмом числа Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомпо основанию Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомназывается показатель степени, в которую надо возвести Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, чтобы получить Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом.

То есть основное логарифмическое тождество:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомКак убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомo» title=»a>o»/> Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом1″ title=»a<>1″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом0″ title=»b>0″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомo» title=»a>o»/> Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом1″ title=»a<>1″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом0″ title=»b>0″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом0,

d>0″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом, Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом1″ title=»d<>1″/>Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

1. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

2. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

3. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

4. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

5. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

7. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

8. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

9. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

11. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

12. (следствие из свойства 11)

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

14. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

15. Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Частные случаи:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомдесятичный логарифм

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомнатуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом=Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом=(по свойству 7)Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомКак убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом=(по свойству 6) Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомКак убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом=Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Применим свойства 4 и 6:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмомКак убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Введем замену Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Получим:Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Ответ: 1 Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом

Источник

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 49 6 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2; log2 25 = log2 5 2 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть фото Как убрать коэффициент перед логарифмом. Смотреть картинку Как убрать коэффициент перед логарифмом. Картинка про Как убрать коэффициент перед логарифмом. Фото Как убрать коэффициент перед логарифмом[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *