Как транспонировать матрицу в маткад

Как транспонировать матрицу в маткад

Глава 3. Работа с векторами и матрицами

Транспонированием называется операция, в результате которой столбцы исходной матрицы становятся строками, а строки – столбцами.

Для реализации этой и последующих операций выполните следующие действия:

– Наберите имя матрицы.

– Щелкните на кнопке со значком матрицы на математической панели.

При вводе больших векторов из соображений экономии места удобно вводить их в виде строки с последующим транспонированием (рис. 3.8 ).

Транспонирование матрицы Определитель квадратной матрицы

Ввод в виде строки

Вывод в виде строки

модуль вещественного числа

модуль комплексного числа

Рис. 3. 8 Транспонирование матрицы и вычисление ее определителя

Все матричные операторы и матричные функции работают только с векторами (в виде столбца), но не со строками, поэтому строки вначале приходится транспонировать в столбец, а после выполнения нужной операции вновь транспонировать в строку.

В MathCAD 12 при преобразовании строки и столбец имена строки и столбца должны быть разными.

Вычисление определителя матрицы

Для нахождения определителя заданной матрицы на панели Matrix выберите значок | X |, имеющий тройное значение:

– вычисление определителя матрицы, если Х – матрица;

– модуль числа, если Х– вещественное или комплексное число;

– длина вектора, если Х – вектор.

MathCAD 13 и 14 не может автоматически, как более старые версии, выбрать нужное действие. Необходимо в контекстном меню указать требуемую операцию.

Норма квадратной матрицы

Норма квадратной матрицы характеризует порядок величины элементов матрицы.

В MathCAD есть 4 функции для оценки нормы (рис. 3.9 ):

– norm 1( A ) – норма в пространстве L ₁ ;

– norm 2( A ) – норма в пространстве L ₂ ;

– norme(A) – евклидова норма;

– normi ( A ) – max – норма, или – норма.

Евклидова норма эквивалентна длине многомерного вектора .

Как видно на рис.4.12, величина нормы мало зависит от способа ее вычисления. При увеличении всех элементов матрицы в 100 раз все нормы также увеличиваются в 100 раз.

Рис. 3. 9 Функции для вычисления нормы матрицы матрицы

Источник

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 7

Транспонирование матрицы (Transpose). Обращение матриц (Invert).

Символьный процессор системы MathCAD обеспечивает проведение в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций’ транспонирование и обращение матриц, а также вычисление их детерминанта.

Эти операции в подменю Matrix обозначены так: Transpose (Транспонировать), Invert (Обратить) и Determinant (Найти определитель). Если элементы матрицы – числа, то выполняются соответствующие операции в числовой форме.

Транспонирование матрицы означает перестановку строк и столбцов. Оно реализуется операцией Transpose (Транспонировать). Подлежащая транспонированию матрица должна быть выделена.

Обращение матриц (Invert)

Обращение матриц означает создание такой матрицы А-1, для которой произведение ее на исходную матрицу А дает единичную матрицу, т. е. матрицу с диагональными элементами, равными 1, и остальными – нулевыми. Обращение допустимо для квадратных матриц с размером NxN, где N> 1 – число строк и столбцов матрицы. Такую же размерность имеет и обращенная матрица.

Обращение матриц – широко распространенная математическая задача. Существует множество программ на разных языках программирования, решающих эту задачу с той или иной степенью успеха. Для MathCAD это рутинная задача.

На рис. 8.19 приведены примеры выполнения типовых матричных операций. Последняя из них – обращение матрицы в символьной форме с помощью операции Invert.

Рис. 8.19. Примеры матричных операций в символьной форме

При выполнении матричных операций в символьной форме проблема «разбухания» результатов становится весьма серьезной. Если, к примеру, для обратной матрицы с размером 2х2 или 3х3 еще можно получить ответ, размещающийся в окне документа, то для матриц большего размера это становится невозможным. Впрочем, большинство аналитических задач очень редко оперирует такими матрицами.

Источник

Как транспонировать матрицу в маткад

Совет
Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х,который является общеупотребительным символом векторного произведения (см. разд. 9.1.7).

Рис. 9.3. Оператор векторизации
Листинг 9.16. Использование векторизациидля перемножения элементов вектора

Оператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.
Большинство неспецифических функций MathCAD не требуют векторизации для проведения одной и той же операции над всеми элементами вектора. Например, аргументом тригонометрических функций по определениюявляется скаляр. Если попытаться вычислить синус векторной величины,MathCAD осуществит векторизацию по умолчанию, вычислив синус каждого элемента и выдав в качестве результата соответствующий вектор. Пример показан в листинге 9.17.
Листинг 9.17. Векторизация необязательнадля большинства функций MathCAD

9.1.12. Символьные операции с матрицами
Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операцийзаключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Несколько примеров приведены в листинге 9.18.
Листинг 9.18. Примеры символьных операций над векторами и матрицами

Cовет
Смело используйте символьный процессор в качестве мощного математического справочника. Например, когда вы хотите вспомнить какое-либо определение из области линейной алгебры (так, правила перемножения и обращенияматриц показаны в первых строках листинга 9.18).

Примечание
О вложенных массивах читайте в разд. «Создание тензора» гл. 4.

Пример использования функции CreateSpace показан на рис. 9.4. Заметьте, дляпостроения графика спирали не потребовалось никакого дополнительногокода, кроме определения параметрической зависимости в вектор-функции F!

Примечание
Размер NXM матрицы А для функции geninv должен быть таким, чтобы N>M.

Примечание
Выделить из матрицы один столбец или строку можно и с помощью функции submatrix.

Примечание
Число элементов вектора и индекс его последнего элемента совпадают, еслииндексы нумеруются с 1, т. е. системная константа ORIGIN равна 1 (см. гл. 4).

Примечание
Если элементы матриц или векторов комплексные, то сортировка ведется подействительной части, а мнимая часть игнорируется.

Совет
В большинстве задач неважно, какую норму использовать. Как видно, в обычных случаях разные нормы дают примерно одинаковые значения, хорошо отражая порядок величины матричных элементов. Определение остальных нормзаинтересованный читатель отыщет в справочниках по линейной алгебре илив Центре Ресурсов MathCAD.

Примечание
Как нетрудно понять, матрицы А и в из предыдущего листинга 9.30 обладаютодинаковыми числами обусловленности, т.к. в=100-А, и, следовательно, обематрицы определяют одну и ту же систему уравнений.

Примечание
К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. Один из таких примеров приведен в разд. «Разностные схемы»гл. 12.

Примечание
Соответствующая матрице А и вектору B система уравнений выписана явнов листинге 9.35.

Листинг 9.33. Решение СЛАУ

Листинг 9.34. Символьное решение СЛАУ (продолжение листинга 9.33)

В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, егоможно решить точно так же, как систему нелинейных уравнений (см. гл. 8). Пример численного решения СЛАУ из предыдущих листингов показан влистинге 9.35. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестнымтребуется присвоить начальные значения (это сделано в первой строке листинга 9.35). Они могут быть произвольными, т. к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.

Примечание
Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравненийпроизводится при ее решении численным методом Гаусса.

Источник

Работа с матрицами в MathCad 15

В статье рассмотрены основные возможности mathcad 15 для работы с матрицами

Ввод матрицы

Чтобы ввести матрицу в mathcad 15 нужно в свободном поле ввести с клавиатуры имя матрицы. Пусть это будет M. Затем на панели Matrix нужно нажать кнопку «Matrix or vector». В появившемся окне нужно ввести количество строк и столбцов и нажать OK

Рис. 1. Ввод матрицы

Затем появится заготовка матрицы с пустыми маркерами для ввода элементов вручную. См. рис. 2

Рис. 2. Заполнение матрицы

Перемножение матриц

Как известно, перемножение матриц осуществляется по правилу «строка на столбец». Введем 2 матрицы 3 х 3 с именами M и N. Перемножение матриц осуществляется с помощью стандартной операции умножения. На рис. 3 смотрите синтаксис записи

Рис. 3. Перемножение матриц

Транспонирование матриц

Как известно, при транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами. В mathcad есть функция, которая позволяет выполнить транспонирование. Введите имя матрицы, которую хотите транспонировать, и на панели Matrix нажмите кнопку «Matrix transpose». На рис. 4 смотрите синтаксис для записи этой операции.

Рис. 4. Транспонирование матрицы

Обратные матрицы

Как известно, обратной матрицей M^-1 является такая матрица, при умножении которой на исходную матрицу M получается единичная матрица. Существует множество аналитических способов нахождения обратной матрицы. В mathcad есть стандартная операция по определению обратной матрицы. Введите исходную матрицу M. Затем снова введите имя матрицы M и на панели Matrix нажмите кнопку «Invers». на рисунке 5 можно посмотреть синтаксис записи и убедиться в правильности определения обратной матрицы

Рис. 5. Обратная матрица

Выделение столбца и строки из матрицы

Для того чтобы «вытащить» столбец из матрицы можно воспользоваться стандартной функцией mathcad из панели matrix. Введите произвольную матрицу M и затем ниже в рабочем поле mathcad выполните операцию, как показано на рис. 6. Обратите внимание, что по умолчанию номера столбцов и строк индексируются с «нуля»

Рис. 6. Выделение столбца матрицы

Аналогичным способом можно выделить строку, но для этого матрицу предварительно нужно транспонировать. При этом строка будет отображена в виде столбца. Если вы хотите получить результат в виде строки, то операцию транспонирования нужно провести 2 раза. Синтаксис будет выглядеть как на рисунке 7

Рис. 7. Выделение строки матрицы

Обратите внимание, что если при перемножении матриц их размерность «не совпадает» то mathcad выдаст ошибку

Обратите внимание, что обратная матрица не всегда может существовать для исходной матрицы

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Источник

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

С этими понятиями Вы могли сталкиваться, работая в Excel – столбец чисел называется вектор-столбцом, строка – вектор-строкой. Блок объектов является матрицей. Вычисления в Excel, по сути, являются операциями с векторами и матрицами. В этом уроке мы познакомимся с аналогичными вычислениями в Mathcad, и мы поймем, почему в Mathcad их проводить проще.

Введение

В предыдущих уроках наши векторы начинались с элемента с номером «0». В этом уроке для простоты сделаем номер первого элемента равным «1». Это можно сделать с помощью вкладки Расчет –> Параметры документа –> ORIGIN:

Это значение можно вывести прямо в документ, чтобы не забыть его и не запутаться:

Теперь рассмотрим несколько матриц:

Как видно, они могут включать в себя числа, символы и даже функции. Они также могут содержать текстовые элементы (строки).

Элемент матрицы можно вывести, используя подстрочные индексы:

Матрицы выше являются квадратными 2х2, но у них может быть любой размер по строкам и столбцам:

Запомните: первое число – номер строки (или их количество), второе – столбца.

Элементы, выделенные с помощью подстрочных индексов:

Для вектор-столбца второй индекс можно опустить, но не для вектор-строки:

Во вкладке Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Векторы и матрицы Вы найдете команды для выделения столбцов и строк:

Многие операции для векторов и матриц аналогичны операциям для обычных чисел, переменных и функций: сложение, вычитание, некоторые виды умножения. Поиск обратной матрицы близко к операции деления. Вы можете записать эти операторы, используя имена векторов и матриц. В качестве примера рассмотрим векторное произведение матрицы и вектора:

Мы рассмотрим эту операцию подробнее позже. Однако стоит заметить, что она требует девять операций умножения и девять – сложения. Расписывать их утомительно и чревато ошибками – для больших матриц сделать это очень трудно.

Применение векторов очень широко. Вспомните пиксели на экране монитора – их могут быть миллионы. Они обрабатываются с помощью операций с матрицами.

В Mathcad

Для создания вектора или матрицы откройте вкладку Матрицы/таблицы. Когда курсор находится в пустой области щелкните по самой левой кнопке «Вставить матрицу». Появится сетка с маленькими квадратами:

Перемести указатель на сетку, выберите желаемый размер матрицы, затем щелкните левой кнопкой мыши. Появится пустая матрица:

Матрице можно присвоить имя, щелкнув на левую скобку, нажав [:] для оператора присваивания и введя имя:

Вставку и удаление строк и столбцов легко осуществлять с помощью команд из меню «Операторы с векторами/матрицами» на вкладке Матрицы и таблицы:

Операции с матрицами

Эффект от различных операций с матрицами и векторами будет проще понять, используя символы. Будем использовать две матрицы и два вектора:

Оператор транспонирования находится на вкладке Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

Щелкните по правой границе матрицы и примените оператор. Он работает как для символьных, так и для числовых матриц:

Часто операции в векторами приходится совершать поэлементно. Для этого служит оператор векторизации. Операции в Excel зачастую являются поэлементными, они также важны и в Mathcad. Чтобы перемножить два вектора поэлементно, сначала введите простое умножение:

Затем выберите все выражение и примените векторизацию:

Вычислите, чтобы посмотреть результат: первый элемент умножается на первый, второй – на второй, и т.д.:

Другие поэлементные операции:

Поэлементные операции применимы только к массивам одного размера.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание выполняется поэлементно:

Эта операция также применима лишь к массивам одного размера.

С помощью оператора суммирования можно найти сумму всех элементов вектора (не матрицы):

Умножение на константу работает так:

При скалярном умножении матриц происходит умножение строк на столбцы. При этом используется тот же символ, что и при обычном умножении. Эта операция допустима только для тех матриц, в которых число строк в первой матрице равно числе столбцов во второй. Для наших матриц 2х2:

Заметьте, что последовательность множителей играет роль:

Скалярное произведение не коммутативно, за исключением особых случаев:

Скалярное произведение двух векторов дает результат с комплексно-сопряженными числами (с чертой сверху). Для действительных чисел на это можно не обращать внимания:

Этот оператор применим только для двух вектор-столбцов, состоящих из трех элементов:

Векторное произведение имеет широкое применение в механике, гидродинамике, электромагнетизме и в других областях.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц:

Произведение матрицы и ее обратной матрицы является единичной матрицей:

Произведение матрицы и единичной матрицы дает изначальную матрицу:

Определитель можно найти только для квадратной матрицы. Его значение может быть равно нулю, даже если все элементы матрицы не равны нулю. Обратная матрица содержит дроби, в знаменателе которых находится определитель:

Если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует, а матрица является сингулярной. Вспомните деление на ноль в обычной алгебре. Mathcad сообщит, если матрица является сингулярной:

Для скаляра определитель равен его модулю:

Для вектора команда Определитель вычисляет длину вектора:

Резюме

В этом уроке мы рассмотрели векторы и матрицы (массивы).

Операции над векторами и матрицами, которые мы рассмотрели:

Источник