Как тангенс превратить в косинус

Основное тригонометрическое тождество

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус
Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус
Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

tg 2 α + 1 = Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

1 + ctg 2 α = Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Подставляем значения sin α:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник

Формулы перехода от синуса к косинусу

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Знаки тригонометрических функций:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Значения тригонометрических функций

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла (–α):

sin (–α) = – sin α
cos (–α) = cos α
tg (–α) = – tg α
ctg (–α) = – ctg α

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Все формулы приведения можно получить, пользуясь следующими правилами:
1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии
Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

2. Если в левой части формулы угол равен Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус/2 ± Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинусили 3Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус/2±Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус, то синус заменяется на косинус, тангенс на котангенс и наоборот, если угол равен Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус± Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинусили 2Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинусКак тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус, то замены не происходит.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Формулы двойного угла.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Формулы перехода от суммы к произведению.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Формулы перехода от произведения к сумме.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Формулы понижения степени.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Преобразование выражения a·cos Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус+ b·sin Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинуспутем введения вспомогательного аргумента.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус,

где вспомогательный аргумент определяется из условий

Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и котангенс, – могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы основаны на тригонометрических функциях (ТФ) углов.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Распространены две системы измерения углов: градусная и радианная.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Полезно помнить следующую таблицу градусной и радианной меры некоторых часто встречающихся углов:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Определение синуса, косинуса и тангенса, знаки синуса, косинуса и тангенса

ТФ острого угла можно определить из прямоугольного треугольника:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Полезно помнить значения основных ТФ для часто встречающихся значений углов:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Обратные тригонометрические функции (ОТФ)

ОТФ многозначны. Поэтому из всего множества значений каждой из них выделяют главные, а наименования указывают со строчной буквы:

Источник

Как тангенс превратить в косинус

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Развернуть структуру обучения Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинусСвернуть структуру обучения Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинусДля решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.
Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Источник

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы произведения тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Источник

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Как тангенс превратить в косинус. Смотреть фото Как тангенс превратить в косинус. Смотреть картинку Как тангенс превратить в косинус. Картинка про Как тангенс превратить в косинус. Фото Как тангенс превратить в косинус

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *