что такое ряд матанализ

Что такое ряд матанализ

IX .1. Исследование рядов на сходимость

Числовым рядом (или просто рядом) называется бесконечная сумма ви да

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Если известен общий член ряда как функция его номера n : u_n = f ( n ), то ряд считают заданным.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (9.1):

Сформулируем некоторые свойства числовых рядов.

3. Если к ряду (9.1) прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (9.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится

Решение. Вычислим предел общего члена ряда:

Во многих случаях на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда можно ответить с помощью достаточных признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или не т. Подобное сравнение базируется на теоремах 9.2 и 9.3.

Теорема 9.2 (признак сравнения числовых знакоположительных рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда

В этом случае ряд (9.4) называется минорантным, а ряд (9.5) – мажорантным рядом.

Теорема 9.3. (признак сравнения в предельной форме)

Примечание. Если l =1, то ряд (9.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные выражения.

Теорема 9.5 (радикальный признак Коши). Если для ряда (9.1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел , то при при l 1 ряд сходится и расходится при l > 1

Решение. Учитывая теорему 9.5 и второй замечательный предел (3.13), вычисляем:

Теорема 9.6 (интегральный признак Коши). Если члены знакоположительного числового ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;∞) функции f ( x ) так, что u ₁ = f (1), u ₂ = f (2), …, u_n = f ( n ), …, то если сходится, то сходится и ряд (9.1); если расходится, то расходится также и ряд (9.1)

Так как несобственный интеграл от общего члена ряда сходится, то и исходный ряд также сходится (согласно теореме 9.6)

Особое значение в теории числовых рядов (в частности, при их сравнении) имеет обобщенный гармонический ряд

где p > 0 – действительное число. Для исследования ряда (9.6) применим теорему 9.6 (интегральный признак Коши).

Помимо знакоположительных числовых рядов существует важный класс знакопеременных рядов, в которых члены ряда имеют произвольные знаки.

Теорема 9.7 (общий достаточный признак сходимости). Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (9.7)

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сформулируем основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S ₁ и S ₂ можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S ₁ + S ₂ ( S ₁ – S ₂ ).

Примечание. В случае условно сходящихся рядов подобные свойства, вообще говоря, места не имеют.

Используя указанные свойства, математические действия и операции производят только над абсолютно сходящимися рядами. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, члены которых имеют строго чередующиеся знаки:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Ряд, членами которого являются функции от переменной x, называется функциональным:

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x : S = S ( x ), которая определяется равенством:

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, члены которого представляют собой степенные функции аргумента x:

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда (9.11), – действительная переменная.

где x ₀ – некоторое постоянное число.

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости степенного ряда.

На практике радиус сходимости степенного ряда (9.11) отыскивают с помощью признака Даламбера. Для этого составляют ряд из модулей членов ряда:

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

С помощью радикального признака Коши (теоремы 9.5) можно показать, что радиус сходимости также вычисляется по формуле:

Примечание. Интервал сходимости степенного ряда (9.12) находят из неравенства | x – x ₀ | R ; он имеет вид ( x ₀ – R ; x ₀ + R )

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится в единственной точке х = 0.

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x , которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости заданного по условию ряда

Источник

Что такое ряд матанализ

Числовым рядом (или просто рядом) называется бесконечная сумма ви да

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Если известен общий член ряда как функция его номера n : u_n = f ( n ), то ряд считают заданным.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (9.1):

Сформулируем некоторые свойства числовых рядов.

3. Если к ряду (9.1) прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (9.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится

Решение. Вычислим предел общего члена ряда:

Во многих случаях на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда можно ответить с помощью достаточных признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или не т. Подобное сравнение базируется на теоремах 9.2 и 9.3.

Теорема 9.2 (признак сравнения числовых знакоположительных рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда

В этом случае ряд (9.4) называется минорантным, а ряд (9.5) – мажорантным рядом.

Теорема 9.3. (признак сравнения в предельной форме)

Примечание. Если l =1, то ряд (9.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные выражения.

Теорема 9.5 (радикальный признак Коши). Если для ряда (9.1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел , то при при l 1 ряд сходится и расходится при l > 1

Решение. Учитывая теорему 9.5 и второй замечательный предел (3.13), вычисляем:

Теорема 9.6 (интегральный признак Коши). Если члены знакоположительного числового ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;∞) функции f ( x ) так, что u ₁ = f (1), u ₂ = f (2), …, u_n = f ( n ), …, то если сходится, то сходится и ряд (9.1); если расходится, то расходится также и ряд (9.1)

Так как несобственный интеграл от общего члена ряда сходится, то и исходный ряд также сходится (согласно теореме 9.6)

Особое значение в теории числовых рядов (в частности, при их сравнении) имеет обобщенный гармонический ряд

где p > 0 – действительное число. Для исследования ряда (9.6) применим теорему 9.6 (интегральный признак Коши).

Помимо знакоположительных числовых рядов существует важный класс знакопеременных рядов, в которых члены ряда имеют произвольные знаки.

Теорема 9.7 (общий достаточный признак сходимости). Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (9.7)

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сформулируем основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S ₁ и S ₂ можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S ₁ + S ₂ ( S ₁ – S ₂ ).

Примечание. В случае условно сходящихся рядов подобные свойства, вообще говоря, места не имеют.

Используя указанные свойства, математические действия и операции производят только над абсолютно сходящимися рядами. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, члены которых имеют строго чередующиеся знаки:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Ряд, членами которого являются функции от переменной x, называется функциональным:

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x : S = S ( x ), которая определяется равенством:

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, члены которого представляют собой степенные функции аргумента x:

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда (9.11), – действительная переменная.

где x ₀ – некоторое постоянное число.

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости степенного ряда.

На практике радиус сходимости степенного ряда (9.11) отыскивают с помощью признака Даламбера. Для этого составляют ряд из модулей членов ряда:

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

С помощью радикального признака Коши (теоремы 9.5) можно показать, что радиус сходимости также вычисляется по формуле:

Примечание. Интервал сходимости степенного ряда (9.12) находят из неравенства | x – x ₀ | R ; он имеет вид ( x ₀ – R ; x ₀ + R )

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится в единственной точке х = 0.

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x , которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости заданного по условию ряда

Источник

Арифметические действия с числовыми рядами

Содержание

Расставление скобок [ править ]

Под «расставлением скобок» в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность

Но ряд без скобок является расходящимся.

Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.

Перестановка слагаемых ряда [ править ]

[math]B_n = a_ <\varphi(1)>+ a_ <\varphi(2)>+ \dots + a_<\varphi(n)>, \qquad m_n = \max\limits_<\varphi(i)>[/math] В силу положительности ряда [math]a_n[/math] частичные суммы [math]A_n[/math] ограничены.

По линейности суммы ряда разложим исходный ряд на сумму двух вспомогательных:

Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):

Формула Эйлера [ править ]

Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.

Установим следующую формулу:

Воспользуемся тем, что [math]\ln 1 = 0[/math] :

По монотонности [math]\frac 1x[/math] : [math]\int_^ \frac \ge \frac 1[/math]

Перестановка, меняющая сумму ряда [ править ]

Переставим ряд следующим образом: за каждым слагаемым с нечётным номером пишем два последовательных слагаемых с чётными номерами

Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:

[math]\sum\limits_^ <\infty>\left ( \frac 1 <2k+1>— \frac 1 <4k+2>— \frac 1 <4k + 4>\right )[/math]

Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:

Перемножение рядов [ править ]

Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.

Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.

Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.

При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:

[math]\beta_n \longrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \qquad \exists N: \forall n \ge N \qquad |\beta_n| \le \varepsilon[/math]

Перебросив индексы в сумме, получаем:

[math]\sum\limits_^n a_\beta_j \le \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right | \le \left |\sum\limits_^N a_\beta_j \right | + \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right |[/math]

Источник

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Выражение \(a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_ + \ldots\), где \(\\>\) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), а числа \(a_\) будем называть членами ряда. Сумму \(n\) первых членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) будем называть \(n\)-й частичной суммой этого ряда и обозначать \(S_\), то есть
$$
S_ = \sum_^a_.\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_\label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм \(\\>\) имеет конечный предел \(S\), то есть
$$
\lim_S_ = S.\label
$$
Число \(S\), определяемое условиями \eqref и \eqref, называют суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>a_ = S.\label
$$

Если последовательность \(\\>\) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref расходится (является расходящимся).

\(\vartriangle\) Используя формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_ = \sum_^q^ = \frac<1-q^> <1-q>= \frac<1><1-q>-\frac><1-q>.\nonumber
$$
Так как \(q^ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(|q| Пример 2.

Доказать, что если при всех \(n \in N\) выполняется равенство
$$
a_ = b_-b_\label
$$
и существует конечный
$$
\lim_b_ = b,\label
$$
то ряд \eqref сходится, а его сумма \(S = b_<1>-b\), то есть
$$
\sum_^<\infty>(b_-b_) = b_<1>-b.\label
$$

\(\vartriangle\) Используя условие \eqref, получаем \(S_ = \displaystyle\sum_^a_ = \sum_^(b_-b_) = b_<1>-b_ <2>+ b_<2>-b_ <3>+ \ldots + b_-b_ + b_-b_ = b_<1>-b_\) откуда в силу \eqref следует сходимость ряда \eqref и равенство \eqref. \(\blacktriangle\)

Найти сумму ряда \eqref, если \(a_ = \displaystyle\frac<1>\).

\(\vartriangle\) Так как
$$
a_ = \frac<1> = \frac<(n + 2)-n> <2n(n + 1)(n + 2)>= \frac<1><2n(n + 1)>-\frac<1><2n(n + 1)(n + 2)>,\nonumber
$$
то последовательность \(\\>\) удовлетворяет условиям \eqref и \eqref, где \(b_ = \displaystyle\frac<1><2n(n + 1)>,\ b = 0\), и по формуле \eqref получаем
$$
\sum_^<\infty>\frac<1> = \frac<1><4>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Необходимое условие сходимости ряда.

\(\circ\) Так как ряд \eqref сходится, то существует конечный предел \(S\) последовательности \(\\>\), где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда (формула \eqref). Тогда \(\displaystyle\lim_S_ = S\) и \(\displaystyle\lim_S_ = S\), откуда следует, что \(S_-S_ = a_ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). \(\bullet\)

Таким образом, соотношение \eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится.

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac<1><\sqrt> \geq \frac<1><\sqrt>\) при \(k = 1, 2, \ldots, n\), то \(S_ = \displaystyle\sum_^\frac<1><\sqrt> \geq n \frac<1><\sqrt>\) откуда следует, что \(S_ \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится. \(\blacktriangle\)

Условие \eqref не является достаточным для сходимости ряда \eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>\sin n\alpha,\ \mbox<где>\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb),\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Предположим, что \(\sin n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Тогда \(\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть \(\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0\), откуда следует, что \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sin \alpha \neq 0\). Итак, если \(\sin n\alpha \rightarrow 0\), то \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), что невозможно, так как \(\sin^ <2>n\alpha + \cos^ <2>n\alpha = 1\).

Таким образом, для ряда \eqref должно выполняться условие \eqref, и поэтому ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно \(S\) и \(\sigma\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_),\label
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(S_\), \(\sigma_\) и \(\tau_\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Тогда \(\tau_ = \lambda S_ + \mu\sigma_\). Так как \(S_ \rightarrow S\) и \(\sigma_ \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то последовательность \(\<\tau_\>\) имеет конечный предел, то есть ряд \eqref сходится, и справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), то при каждом \(m \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
который называют \(m\)-м остатком ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\). Обратно: если при фиксированном \(m\) ряд \eqref сходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) также сходится.

\(\circ\) Пусть \(S_ = a_ <1>+ \ldots + a_\) и \(\sigma_^ <(m)>= a_ + \ldots + a_\)-соответственно \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref и \(k\)-я частичная сумма ряда \eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + \sigma_^<(m)>,\ \mbox<где>\ n = m + k.\label
$$
Если ряд \eqref сходится, то последовательность \(\\>\) имеет конечный предел при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому из равенства \eqref следует, что последовательность \(\<\sigma_^<(m)>\>\), где \(m\) фиксировано, имеет конечный предел при \(k \rightarrow \infty\), то есть ряд \eqref сходится.

Обратно: если \(m\) фиксировано и существует конечный \(\displaystyle\lim_\sigma_^<(m)>\) то существует конечный \(\displaystyle\lim_S_\). \(\bullet\)

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) сходится, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
полученный группировкой членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\).

\(\circ\) Пусть \(b_ <1>= a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_>\), \(b_ <2>= \displaystyle a_ + 1> + a_ + 2> + \ldots + a_>\), …, \(b_ = a_-1> + \ldots + a_>\) где \(j \in \mathbb\), \(\\>\) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим \(S_ = \displaystyle\sum_^a_\), \(\sigma_ = \displaystyle\sum_^<\infty>b_\); тогда \(\sigma_ = S_>\). Так как \(\<\sigma_\>\) — подпоследовательность сходящейся последовательности \(S_<1>, S_<2>, \ldots\), то существует \(\displaystyle\lim_\sigma_ = S\), где \(S\) — сумма ряда \eqref. \(\bullet\)

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда \eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>, \forall p \in \mathbb \rightarrow |a_ + a_ + \ldots + a_| Доказательство.

\(\circ\) Так как \(a_ + a_ + \ldots + a_ = S_-S_\) где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref, то условие \eqref означает, что последовательность \(\\>\) является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref равносильно существованию конечного предела последовательности \(\\>\), то есть равносильно сходимости ряда \eqref. \(\bullet\)

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb,\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb:\ |a_ + \ldots + a_| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$
то ряд \eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<1>,\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(n = k\), \(p = k\). Тогда \(\displaystyle\sum_^a_ = \frac<1> + \ldots + \frac<1> <2k>> \frac<1><2k>k = \frac<1> <2>= \varepsilon_<0>\), и в силу условия \eqref ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел \(\\>\) называют сходящейся, если существует такое комплексное число \(z\), что
$$
\lim_|z_-z| = 0,\nonumber
$$
где \(|z|\) — модуль комплексного числа \(z\). В этом случае пишут \(\displaystyle\lim_z_ = z\) или \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\).

Если \(z_ = x_ + iy_\), \(z = x + iy\), то условие \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\) эквивалентно выполнению условий \(x_ \rightarrow x\) и \(y_ \rightarrow y\) при \(n \rightarrow \infty\).

Ряд с комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>z_,\label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_ \sum_^z_ = S,\nonumber
$$
где \(S \in \mathbb\). В этом случае пишут \(\displaystyle\sum_^<\infty>z_ = S\), а комплексное число \(S\) называют суммой ряда \eqref.

Источник