что такое реляционная алгебра

Основы реляционной алгебры

Реляционная алгебра базируется на теории множеств и является основой логики работы баз данных.
Когда я только изучал устройство баз данных и SQL, предварительное ознакомление с реляционной алгеброй очень помогло дальнейшим знаниям правильно уложиться в голове, и я постараюсь что бы эта статья произвела подобный эффект.

Так что если вы собираетесь начать свое обучение в этой области или вам просто стало интересно, прошу под кат.

Реляционная база данных

Для начала введем понятие реляцинной базы данных, в которой будем выполнять все действия.

Реляционной базой данных называется совокупность отношений, содержащих всю информацию, которая должна хранится в базе. В данном определении нам интересен термин отношение, но пока оставим его без строго определения.
Лучше представим себе таблицу продуктов.

таблица PRODUCTS

Таблица состоит из 4х строк, строка в таблице является кортежем в реляционной теории. Множество упорядоченных кортежей называется отношением.
Перед тем как дать определение отношения, введем еще один термин — домен. Домены применительно к таблице это столбцы.

Для ясности, теперь введем строгое определение отношения.

Ключи в отношениях

В отношении требованием является то, что все кортежи должны различаться. Для однозначной идентификации кортежа существует первичный ключ. Первичный ключ это атрибут или набор из минимального числа атрибутов, который однозначно идентифицирует конкретный кортеж и не содержит дополнительных атрибутов.
Подразумевается, что все атрибуты в первичном ключе должны быть необходимыми и достаточными для идентификации конкретного кортежа, и исключение любого из атрибутов в ключе сделает его недостаточным для идентификации.
Например, в такой таблице ключом будет сочетание атрибутов из первого и второго столбца.

Видно, что в организации может быть несколько водителей, и чтобы однозначно идентифицировать водителя необходимо и значение из столбца “Название организации” и из “Имя водителя”. Такой ключ называется составным.

В реляционной БД таблицы взаимосвязаны и соотносятся друг с другом как главные и подчиненные. Связь главной и подчиненнной таблицы осуществляется через первичный ключ (primary key) главной таблицы и внешний ключ ( foreign key ) подчиненной таблицы.
Внешний ключ это атрибут или набор атрибутов, который в главной таблице является первичным ключем.

Этой подготовительной теории будет достаточно для знакомства с основными операциями реляционной алгебры.

Операции реляционной алгебры

Для понимания важно запомнить, что результатом любой операции алгебры над отношениями является еще одно отношение, которое можно потом так же использовать в других операциях.
Создадим еще одну таблицу, которая нам пригодится в примерах.

Условимся, что в этой таблице ID это внешний ключ, связанный с первичным ключом таблицы PRODUCTS.

Для начала рассмотрим самую простую операцию — имя отношения. Её результатом будет такое же отношение, то есть выполнив операцию PRODUCTS, мы получим копию отношения PRODUCTS.

Проекция

Проекция является операцией, при которой из отношения выделяются атрибуты только из указанных доменов, то есть из таблицы выбираются только нужные столбцы, при этом, если получится несколько одинаковых кортежей, то в результирующем отношении остается только по одному экземпляру подобного кортежа.
Для примера сделаем проекцию на таблице PRODUCTS выбрав из нее ID и PRICE.

Синтаксис операции:
π _{(ID, PRICE)} PRODUCTS

В результате этой операции получим отношение:

Выборка

Выборка — это операция, которая выделяет множество строк в таблице, удовлетворяющих заданным условиям. Условием может быть любое логическое выражение.
Для примера сделаем выборку из таблицы с ценой больше 90.

Синтаксис операции:
σ _(PRICE>90) PRODUCTS

В условии выборки мы можем использовать любое логическое выражение. Сделаем еще одну выборку с ценой больше 90 и ID товара меньше 300:

σ _{(PRICE>90 ^ ID π COMPANY σ (PRICE 123ПеченькиООО ”Темная сторона”190123OOO “Дарт”156ЧайООО ”Темная сторона”60156ОАО ”Ведро”123ПеченькиООО ”Темная сторона”190156ОАО ”Ведро”156ЧайООО ”Темная сторона”60123OOO “Дарт”}

Для примера использования этой операции представим себе необходимость выбрать продавцов с ценами меньше 90. Без произведения необходимо было бы сначала получить ID продуктов из первой таблицы, потом по этим ID из второй таблицы получить нужные имена SELLER, а с использованием произведения будет такой запрос:

Источник

Реляционная алгебра

Реляционная алгебра — замкнутая система операций над отношениями в реляционной модели данных. Операции реляционной алгебры также называют реляционными операциями.

Первоначальный набор из 8 операций был предложен Э. Коддом в 1970-е годы и включал как операции, которые до сих пор используются (проекция, соединение и т.д.), так и операции, которые не вошли в употребление (например, деление отношений).

Содержание

Замкнутость реляционной алгебры

Реляционная алгебра представляет собой набор таких операций над отношениями, что результат каждой из операций также является отношением. Это свойство алгебры называется замкнутостью.

Операции над одним отношением называются унарными, над двумя отношениями — бинарными, над тремя — тернарными (таковые практически неизвестны).

Пример унарной операции — проекция, пример бинарной операции — объединение.

N-арную реляционную операцию f можно представить функцией, возвращающей отношение и имеющей n отношений в качестве аргументов:

Поскольку реляционная алгебра является замкнутой, в качестве операндов в реляционные операции можно подставлять другие выражения реляционной алгебры (подходящие по типу):

В реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.

Ограничения на операции

Некоторые реляционные операции, в частности, операции объединения, пересечения и вычитания, требуют, чтобы отношения имели совпадающие (одинаковые) заголовки (схемы). Это означает, что совпадают количество атрибутов, названия атрибутов и тип (домен) одноимённых атрибутов.

Некоторые отношения формально не являются совместимыми из-за различия в названиях атрибутов, но становятся таковыми после применения операции переименования атрибутов.

Операции реляционной алгебры

Далее перечислены некоторые операции реляционной алгебры, которые представляют либо исторический, либо практический интерес. Все операции перечислить невозможно, поскольку любая операция, удовлетворяющая определению реляционной, является частью реляционной алгебры.

Переименование

В результате применения операции переименования получаем новое отношение, с измененными именами атрибутов.
Синтаксис:

R — отношение
Atr₁, Atr₂, … — исходные имена атрибутов
NewAtr₁, NewAtr₂, … — новые имена атрибутов

Объединение

Отношение с тем же заголовком, что и у совместимых по типу отношений A и B, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или A, или B, или обоим отношениям.
Синтаксис:

Пересечение

Отношение с тем же заголовком, что и у отношений A и B, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям A и B.
Синтаксис:

Вычитание

Отношение с тем же заголовком, что и у совместимых по типу отношений A и B, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению A и не принадлежащих отношению B.
Синтаксис:

Декартово произведение

Отношение (A₁, A₂, …, A_m, B₁, B₂, …, B_m), заголовок которого является сцеплением заголовков отношений A(A₁, A₂, …, A_m) и B(B₁, B₂, …, B_m), а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений A и B:

Выборка (ограничение)

Отношение с тем же заголовком, что и у отношения A, и телом, состоящим из кортежей, значения атрибутов которых при подстановке в условие c дают значение ИСТИНА. c представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношения A и/или скалярные выражения.
Синтаксис:

Проекция

Отношение с заголовком (X, Y, …, Z) и телом, содержащим множество кортежей вида (x, y, …, z), таких, для которых в отношении A найдутся кортежи со значением атрибута X равным x, значением атрибута Y равным y, …, значением атрибута Z равным z. При выполнении проекции выделяется «вертикальная» вырезка отношения-операнда с естественным уничтожением потенциально возникающих кортежей-дубликатов.
Синтаксис:

Соединение

Операция соединения есть результат последовательного применения операций декартового произведения и выборки. Если в отношениях имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением соединения такие атрибуты необходимо переименовать.
Синтаксис:

Деление

Примечания

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Реляционная алгебра» в других словарях:

Реляционная алгебра — формальная система манипулирования отношениями, основными операциями которой являются: проекция, соединение, пересечение и объединение. См. также: Реляционная модель данных Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

реляционная алгебра — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN relational algebra … Справочник технического переводчика

реляционная алгебра — saryšių algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. relational algebra vok. Relationsalgebra, f rus. алгебра отношений, f; реляционная алгебра, f pranc. algèbre des relations, f … Automatikos terminų žodynas

Проекция (реляционная алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекция в реляционной алгебре унарная операция, которая позволяет получить «вертикальное» подмножество данного отношения, или таблицы, то есть такое подмножество, которое… … Википедия

Реляционная модель данных — (РМД) логическая модель данных, прикладная теория построения баз данных, которая является приложением к задачам обработки данных таких разделов математики как теории множеств и логика первого порядка. На реляционной модели данных строятся… … Википедия

Алгебра (значения) — Алгебра раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… … Википедия

Реляционная модель — данных логическая модель данных, строгая математическая теория, описывающая структурный аспект, аспект целостности и аспект обработки данных в реляционных базах данных. Структурный аспект (составляющая) данные в базе данных представляют собой… … Википедия

алгебра отношений — saryšių algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. relational algebra vok. Relationsalgebra, f rus. алгебра отношений, f; реляционная алгебра, f pranc. algèbre des relations, f … Automatikos terminų žodynas

Реляционная СУБД — (РСУБД; иначе Система управления реляционными базами данных, СУРБД) СУБД, управляющая реляционными базами данных. Понятие реляционный (англ. relation отношение) связано с разработками известного английского специалиста в области… … Википедия

Реляционная база данных — Реляционная база данных база данных, основанная на реляционной модели данных. Слово «реляционный» происходит от англ. relation (отношение[1]). Для работы с реляционными БД применяют реляционные СУБД. Использование реляционных баз… … Википедия

Источник

Реляционная алгебра, операции реляционной алгебры

Что такое реляционная алгебра

Операция выборки

,

Запрос SQL

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. В таблице ниже дано одно отношение, с которым работает эта операция.

Просматриваем столбец А3 и устанавливаем, что предикату A3>’d0′ удовлетворяют записи в первой и третьей строках исходного отношения (так как номер буквы y в алфавите больше номера буквы d). В результате получаем следующее новое отношение, в котором две строки:

Комбинировать всевозможные логические условия для выборок Вам поможет материал «Булева алгебра (алгебра логики)».

А в материалах раздела «Программирование PHP/MySQL» Вы найдёт немало примеров комбинаций различных логических условий для выборок из базы данных.

Операция проекции

Запрос SQL

Пусть вновь дано то же отношение R3 :

Операция объединения

Результатом объединения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть или во множестве А или во множестве В. Говоря упрощённо, все элементы множества А и множества В, за исключением дубликатов, образующихся за счёт того, что некоторые элементы есть и в первом, и во втором множестве. Операция объединения реляционной алгебры идентична операции объединения множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

Важно следующее: операция объединения может быть выполнена только тогда, когда два отношения обладают одинаковым числом и названиями атрибутов (столбцов), или, говоря формально, совместимы по объединению.

Операция пересечения

Результатом пересечения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть и во множестве А, и во множестве В. Операция пересечения реляционной алгебры идентична операции пересечения множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

В некоторых диалектах SQL отсутствует ключевое слово INTERSECT. Поэтому, например, в MySQL и других, операция пересечения множеств может реализована с применением предиката EXISTS.

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

Операция разности

Разность двух отношений R1 и R2 () состоит из кортежей (или записей, или строк), которые имеются в отношении R1, но отсутствуют в отношении R2. Отношения R1 и R2 должны быть совместимы по объединению. Операция разности реляционной алгебры идентична операции разности множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

В некоторых диалектах SQL отсутствует ключевое слово EXCEPT. Поэтому, например, в MySQL и других, операция пересечения множеств может реализована с применением предиката NOT EXISTS.

Операция декартова произведения

Операция декартова произведения () определяет новое отношение R, которое является результатом конкатенации каждого кортежа отношения R1 с каждым кортежем отношения R2.

Запрос SQL

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

В новом отношении должны присутствовать все атрибуты (столбцы) двух отношений. Сначала первая строка отношения R3 сцепляется с каждой из двух строк отношения R4, затем вторая строка отношения R3, затем третья. В результате должно получиться 3 Х 2 = 6 кортежей (строк). Получаем такое новое отношение:

Операция деления

Результатом операции деления () является набор кортежей (строк) отношения R1, которые соответствуют комбинации всех кортежей отношения R2. Для этого нужно, чтобы в отношении R2 была часть атрибутов (можно и один), которые есть в отношении R1. В результирующем отношении присутствуют только те атрибуты отношения R1, которых нет в отношении R2.

Запрос SQL

Давайте посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R5 и R6:

Комбинации всех кортежей отношения R6 соответствуют вторая и третья строки отношения R5. Но после исключения атрибутов (столбцов) А2 и А3 эти строки становятся идентичными. Поэтому в новом отношении присутствует эта строка один раз. Новое отношение:

Операция тета-соединения

Запрос SQL

Посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

Источник