То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.
Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
Равномерная сходимость [ править ]
Возникает вопрос: «Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?»
Классическое требование: равномерная сходимость.
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]
[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.
[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
[math]\triangleleft[/math]
Признак Вейерштрасса [ править ]
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
Можно рассматривать [math]\sum\limits_^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:
Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость
8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия
9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.
Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций
Нахождение области сходимости рядов
Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами
Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:
a) ; область сходимости 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAAVBAMAAAAOWFv7AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAwoFBKKBYQuoQkXGxE+DiDQAAAJJJREFUKM9jYMAPtkAoVuyyyhCKEUPCAZ+s6QU8shonMGRZVBDSjJh6C0MwZZnEOAOgJiOk4bIregMdYPbWiKPLBnCKIVzlKoZuL2sCkptd29Bkw5B95CSGKjurgAGPySIMXAkwWVd0V7E2LhKE6S0URvfRVvZeSaisIdy7tnfvXgLLOjBMgYVkCNExSLEsvpQDAFnBICbT0tyvAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 1. На границе круга ряд расходится.
б) ; область сходимости 2″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQqHA6l0h0RCRMbAyfQ/L+w8AAACrSURBVBjTY2AgAUhgF55uV4VNmPMCl0sCnCfbAGPxeTDMmwAXZzSCqeF7xSBnwMDAtbshECJxAKoigCFuAwNDSonnBgh/swBMs14AA0MgQzjUaDZlqATXIxDJYwFTxqYeAKZbFEDk4gZ08Uqwcg24sDJEmCmAAejOQwwcBRB7YcarMjBuYOBy3zslAOJOqDCvs7HfBQb2A3quaP569+5dAAMbAxeYJ5SAEkgA9HIgzw7zK3AAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 2. На границе круга ряд расходится.
