что такое проекция силы на ось

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора
(рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Проекция силы па две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

Эта теория взята со страницы решения задач по предмету «техническая механика»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Техническая механика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

4. Определение равнодействующей аналитическим способом

Проекция сил на ось определяется отрезком оси, отсекаемой перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора.

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением сил. Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси.

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определим равнодействующую аналитическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у.

Модуль (величину) равнодействующей можно определить по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующими с осями координат:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской системы сходящихся сил:

При решении задач координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. При этом желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Источник

Что такое проекция силы на ось

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых. Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y: N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей.

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска?

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM:

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время.

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с² и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами.

Источник

Проекция силы на ось и на плоскость. Физика

Сила — это одно из важных понятий в физике. Она является причиной изменения состояния любых объектов. В данной статье рассмотрим, что собой представляет эта величина, какие силы бывают, а также покажем, как находить проекцию силы на ось и на плоскость.

Сила и ее физический смысл

В физике сила — это векторная величина, которая показывает изменение количества движения тела за единицу времени. Данное определение полагает силу динамической характеристикой. С точки зрения же статики сила в физике — это мера упругой или пластической деформации тел.

Международная система СИ выражает силу в ньютонах (Н). Что такое 1 ньютон, проще всего понять на примере второго закона классической механики. Математическая запись его следующая:

Здесь F¯ — некоторая внешняя сила, действующая на тело массой m, и приводящая к ускорению a¯. Из формулы следует количественное определение одного ньютона: 1 Н — это такая сила, которая приводит к изменению скорости тела массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.

Примерами динамического проявления силы являются ускорение автомобиля или свободно падающего тела в гравитационном земном поле.

Статическое проявление силы, как было отмечено, связано с явлениями деформации. Здесь следует привести следующие формулы:

Второе выражение является классической формой записи закона Гука. Например, растяжение или сжатие пружины на линейную величину x приводит к возникновению противодействующей силы F (в выражении k — коэффициент пропорциональности).

Какие силы бывают

Выше уже было показано, что силы могут быть статические и динамические. Здесь скажем, что помимо этой их особенности, они могут быть силами контакта или дальнодействующие. Например, сила трения, реакции опоры — это контактные силы. Причина их появления заключается в справедливости принципа Паули. Последний гласит, что два электрона не могут занимать одно и то же состояние. Именно поэтому прикосновение двух атомов приводит к их отталкиванию.

Дальнодействующие силы появляются в результате взаимодействия тел через некоторое поле-носитель. Например, такими являются сила гравитации или электромагнитное взаимодействие. Обе силы имеют бесконечный радиус действия, однако, их интенсивность падает, как квадрат расстояния (законы Кулона и всемирного тяготения).

Сила — векторная величина

Разобравшись со смыслом рассматриваемой физической величины, можно перейти к изучению вопроса проекции силы на ось. В первую очередь заметим, что данная величина является векторной, то есть она характеризуется модулем и направлением. Покажем, как рассчитывать модуль силы и ее направление.

Известно, что любой вектор можно задать однозначно в данной системе координат, если известны значения координат его начала и конца. Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок MN¯. Тогда его направление и модуль можно определить с помощью следующих выражений:

Здесь координаты с индексами 2 соответствуют точке N, с индексами 1 — точке M. Вектор MN¯ направлен из M в N.

Для общности мы показали, как находить модуль и координаты (направление) вектора в трехмерном пространстве. Аналогичные формулы без третьей координаты справедливы для случая на плоскости.

Таким образом, модуль силы — это ее абсолютная величина, выраженная в ньютонах. С точки зрения геометрии, модуль — это длина направленного отрезка.

Что такое проекция силы на ось?

Речь о проекциях направленных отрезков на координатные оси и плоскости удобнее всего вести, если предварительно расположить соответствующий вектор в начале координат, то есть в точке (0; 0; 0). Предположим, что у нас имеется некоторый вектор силы F¯. Поместим его начало в точку (0; 0; 0), тогда координаты вектора можно записать так:

Вектор F¯ показывает направление силы в пространстве в данной координатной системе. Теперь проведем перпендикулярные отрезки из конца F¯ к каждой из осей. Расстояние от точки пересечения перпендикуляра с соответствующей осью до начала координат называется проекцией силы на ось. Не трудно догадаться, что в случае с силой F¯ ее проекции на оси x, y и z будут равны x₁, y₁ и z₁, соответственно. Заметим, что эти координаты показывают модули проекций силы (длину отрезков).

Углы между силой и ее проекциями на координатные оси

Вычисление этих углов не является сложной задачей. Все, что требуется для ее решения, — это знание свойств тригонометрических функций и умение применять теорему Пифагора.

Например, определим угол между направлением силы и ее проекцией на ось x. Соответствующий прямоугольный треугольник будет образован гипотенузой (вектор F¯) и катетом (отрезок x₁). Второй катет — это дистанция от конца вектора F¯ до оси x. Угол α между F¯ и осью x вычисляется по формуле:

Как видим, для определения угла между осью и вектором необходимо и достаточно знать координаты конца направленного отрезка.

Для углов с другими осями (y и z) можно записать аналогичные выражения:

Сила и ее проекции на плоскости координат

Определение проекции силы на плоскость не отличается от такового для оси, только в данном случае перпендикуляр следует опускать не на ось, а на плоскость.

В случае пространственной прямоугольной системы координат мы имеем три взаимно перпендикулярные плоскости xy (горизонтальная), yz (фронтальная вертикальная), xz (боковая вертикальная). Точки пересечения опущенных из конца вектора перпендикуляров к названным плоскостям равны:

Если каждую из отмеченных точек соединить с началом координат, то мы получим проекцию силы F¯ на соответствующую плоскость. Чему равен модуль силы, мы знаем. Чтобы найти модуль каждой проекции, необходимо применить теорему Пифагора. Обозначим проекции на плоскости как F_xy, F_xz и F_zy. Тогда для их модулей будут справедливы равенства:

Углы между проекциями на плоскость и вектором силы

В пункте выше были приведены формулы для модулей проекций на плоскость рассматриваемого вектора F¯. Эти проекции вместе с отрезком F¯ и расстоянием от его конца до плоскости образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, как и в случае с проекциями на ось, можно воспользоваться определением тригонометрических функций, чтобы вычислить рассматриваемые углы. Можно записать следующие равенства:

Важно понимать, что угол между направлением силы F¯ и соответствующей ее проекцией на плоскость равен углу между F¯ и этой плоскостью. Если рассматривать эту задачу с точки зрения геометрии, то можно сказать, что направленный отрезок F¯ является наклонной по отношению к плоскостям xy, xz и zy.

Где используются проекции сил?

Приведенные формулы для проекций силы на оси координат и на плоскости представляют не только теоретический интерес. Они часто используются при решении физических задач. Сам процесс нахождения проекций называется разложением силы на ее составляющие. Последние представляют собой вектора, сумма которых должна дать исходный вектор силы. В общем случае можно разложить силу на произвольные составляющие, однако, для решения задач удобно пользоваться именно проекциями на перпендикулярные оси и плоскости.

Задачи, где применяются понятие проекций сил, могут быть самыми разными. Например, тот же второй закон Ньютона предполагает, что внешняя сила F¯, действующая на тело, должна быть направлена так же, как вектор скорости v¯. Если их направления различаются на некоторый угол тогда, чтобы равенство оставалось справедливым, подставлять в него следует уже не саму силу F¯, а ее проекцию на направление v¯.

Далее приведем пару примеров, где покажем, как пользоваться записанными формулами.

Задача на определение проекций силы на плоскости и на оси координат

Предположим, что имеется некоторая сила F¯, которая представлена вектором, имеющим следующие координаты конца и начала:

Необходимо определить модуль силы, а также все ее проекции на координатные оси и плоскости и углы между F¯ и каждой ее проекцией.

Начнем решать задачу с вычисления координат вектора F¯. Имеем:

Тогда модуль силы будет равен:

|F¯| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.

Проекции на оси координат равны соответствующим координатам вектора F¯. Рассчитаем углы между ними и направлением F¯. Имеем:

α = arccos(|-3 |/5,385) ≈ 56,14 o ;

β = arccos(|4|/5,385) ≈ 42,03 o ;

Поскольку координаты вектора F¯ известны, можно рассчитать модули проекций силы на плоскости координат. Пользуясь приведенными выше формулами, получаем:

F_xz = √(9 + 4 ) = 3,606 Н;

F_zy = √(16 + 4 ) = 4,472 Н.

Наконец, остается вычислить углы между найденными проекциями на плоскость и вектором силы. Имеем:

α = arccos(F_xy /|F¯|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8 o ;

β = arccos(F_xz/|F¯|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0 o ;

Таким образом, вектор F¯ ближе всего наклонен к координатной плоскости xy.

Задача со скользящим бруском по наклонной плоскости

Для начала составим уравнение движения тела. Поскольку на него будут действовать всего две силы (проекция силы тяжести на плоскость и сила трения), то уравнение примет вид:

Здесь F_g, F_f — проекция силы тяжести и сила трения, соответственно. То есть задача сводится к вычислению их значений.

F_g = m*g*sin(45 o ) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.

Эта проекция силы стремится вывести из состояния покоя деревянный брусок и придать ему ускорение.

Согласно определению, сила трения скольжения равна:

Где μ = 0,7 (см. условие задачи). Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, то есть:

Тогда сила трения равна:

F_f = μ*m*g*cos(45 o ) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.

Подставляем найденные силы в уравнение движения, получаем:

Таким образом, брусок будет спускаться по наклонной плоскости, увеличивая за каждую секунду свою скорость на 2,08 м/с.

Источник

Проекция силы на ось и на плоскость. Физика

Сила — это одно из важных понятий в физике. Она является причиной изменения состояния любых объектов. В данной статье рассмотрим, что собой представляет эта величина, какие силы бывают, а также покажем, как находить проекцию силы на ось и на плоскость.

Сила и ее физический смысл

В физике сила — это векторная величина, которая показывает изменение количества движения тела за единицу времени. Данное определение полагает силу динамической характеристикой. С точки зрения же статики сила в физике — это мера упругой или пластической деформации тел.

Международная система СИ выражает силу в ньютонах (Н). Что такое 1 ньютон, проще всего понять на примере второго закона классической механики. Математическая запись его следующая:

Здесь F¯ — некоторая внешняя сила, действующая на тело массой m, и приводящая к ускорению a¯. Из формулы следует количественное определение одного ньютона: 1 Н — это такая сила, которая приводит к изменению скорости тела массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.

Примерами динамического проявления силы являются ускорение автомобиля или свободно падающего тела в гравитационном земном поле.

Статическое проявление силы, как было отмечено, связано с явлениями деформации. Здесь следует привести следующие формулы:

Второе выражение является классической формой записи закона Гука. Например, растяжение или сжатие пружины на линейную величину x приводит к возникновению противодействующей силы F (в выражении k — коэффициент пропорциональности).

Какие силы бывают

Выше уже было показано, что силы могут быть статические и динамические. Здесь скажем, что помимо этой их особенности, они могут быть силами контакта или дальнодействующие. Например, сила трения, реакции опоры — это контактные силы. Причина их появления заключается в справедливости принципа Паули. Последний гласит, что два электрона не могут занимать одно и то же состояние. Именно поэтому прикосновение двух атомов приводит к их отталкиванию.

Дальнодействующие силы появляются в результате взаимодействия тел через некоторое поле-носитель. Например, такими являются сила гравитации или электромагнитное взаимодействие. Обе силы имеют бесконечный радиус действия, однако, их интенсивность падает, как квадрат расстояния (законы Кулона и всемирного тяготения).

Сила — векторная величина

Разобравшись со смыслом рассматриваемой физической величины, можно перейти к изучению вопроса проекции силы на ось. В первую очередь заметим, что данная величина является векторной, то есть она характеризуется модулем и направлением. Покажем, как рассчитывать модуль силы и ее направление.

Известно, что любой вектор можно задать однозначно в данной системе координат, если известны значения координат его начала и конца. Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок MN¯. Тогда его направление и модуль можно определить с помощью следующих выражений:

Здесь координаты с индексами 2 соответствуют точке N, с индексами 1 — точке M. Вектор MN¯ направлен из M в N.

Для общности мы показали, как находить модуль и координаты (направление) вектора в трехмерном пространстве. Аналогичные формулы без третьей координаты справедливы для случая на плоскости.

Таким образом, модуль силы — это ее абсолютная величина, выраженная в ньютонах. С точки зрения геометрии, модуль — это длина направленного отрезка.

Что такое проекция силы на ось?

Речь о проекциях направленных отрезков на координатные оси и плоскости удобнее всего вести, если предварительно расположить соответствующий вектор в начале координат, то есть в точке (0; 0; 0). Предположим, что у нас имеется некоторый вектор силы F¯. Поместим его начало в точку (0; 0; 0), тогда координаты вектора можно записать так:

Вектор F¯ показывает направление силы в пространстве в данной координатной системе. Теперь проведем перпендикулярные отрезки из конца F¯ к каждой из осей. Расстояние от точки пересечения перпендикуляра с соответствующей осью до начала координат называется проекцией силы на ось. Не трудно догадаться, что в случае с силой F¯ ее проекции на оси x, y и z будут равны x₁, y₁ и z₁, соответственно. Заметим, что эти координаты показывают модули проекций силы (длину отрезков).

Углы между силой и ее проекциями на координатные оси

Вычисление этих углов не является сложной задачей. Все, что требуется для ее решения, — это знание свойств тригонометрических функций и умение применять теорему Пифагора.

Например, определим угол между направлением силы и ее проекцией на ось x. Соответствующий прямоугольный треугольник будет образован гипотенузой (вектор F¯) и катетом (отрезок x₁). Второй катет — это дистанция от конца вектора F¯ до оси x. Угол α между F¯ и осью x вычисляется по формуле:

Как видим, для определения угла между осью и вектором необходимо и достаточно знать координаты конца направленного отрезка.

Для углов с другими осями (y и z) можно записать аналогичные выражения:

Сила и ее проекции на плоскости координат

Определение проекции силы на плоскость не отличается от такового для оси, только в данном случае перпендикуляр следует опускать не на ось, а на плоскость.

В случае пространственной прямоугольной системы координат мы имеем три взаимно перпендикулярные плоскости xy (горизонтальная), yz (фронтальная вертикальная), xz (боковая вертикальная). Точки пересечения опущенных из конца вектора перпендикуляров к названным плоскостям равны:

Если каждую из отмеченных точек соединить с началом координат, то мы получим проекцию силы F¯ на соответствующую плоскость. Чему равен модуль силы, мы знаем. Чтобы найти модуль каждой проекции, необходимо применить теорему Пифагора. Обозначим проекции на плоскости как F_xy, F_xz и F_zy. Тогда для их модулей будут справедливы равенства:

Углы между проекциями на плоскость и вектором силы

В пункте выше были приведены формулы для модулей проекций на плоскость рассматриваемого вектора F¯. Эти проекции вместе с отрезком F¯ и расстоянием от его конца до плоскости образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, как и в случае с проекциями на ось, можно воспользоваться определением тригонометрических функций, чтобы вычислить рассматриваемые углы. Можно записать следующие равенства:

Важно понимать, что угол между направлением силы F¯ и соответствующей ее проекцией на плоскость равен углу между F¯ и этой плоскостью. Если рассматривать эту задачу с точки зрения геометрии, то можно сказать, что направленный отрезок F¯ является наклонной по отношению к плоскостям xy, xz и zy.

Где используются проекции сил?

Приведенные формулы для проекций силы на оси координат и на плоскости представляют не только теоретический интерес. Они часто используются при решении физических задач. Сам процесс нахождения проекций называется разложением силы на ее составляющие. Последние представляют собой вектора, сумма которых должна дать исходный вектор силы. В общем случае можно разложить силу на произвольные составляющие, однако, для решения задач удобно пользоваться именно проекциями на перпендикулярные оси и плоскости.

Задачи, где применяются понятие проекций сил, могут быть самыми разными. Например, тот же второй закон Ньютона предполагает, что внешняя сила F¯, действующая на тело, должна быть направлена так же, как вектор скорости v¯. Если их направления различаются на некоторый угол тогда, чтобы равенство оставалось справедливым, подставлять в него следует уже не саму силу F¯, а ее проекцию на направление v¯.

Далее приведем пару примеров, где покажем, как пользоваться записанными формулами.

Задача на определение проекций силы на плоскости и на оси координат

Предположим, что имеется некоторая сила F¯, которая представлена вектором, имеющим следующие координаты конца и начала:

Необходимо определить модуль силы, а также все ее проекции на координатные оси и плоскости и углы между F¯ и каждой ее проекцией.

Начнем решать задачу с вычисления координат вектора F¯. Имеем:

Тогда модуль силы будет равен:

|F¯| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.

Проекции на оси координат равны соответствующим координатам вектора F¯. Рассчитаем углы между ними и направлением F¯. Имеем:

α = arccos(|-3 |/5,385) ≈ 56,14 o ;

β = arccos(|4|/5,385) ≈ 42,03 o ;

Поскольку координаты вектора F¯ известны, можно рассчитать модули проекций силы на плоскости координат. Пользуясь приведенными выше формулами, получаем:

F_xz = √(9 + 4 ) = 3,606 Н;

F_zy = √(16 + 4 ) = 4,472 Н.

Наконец, остается вычислить углы между найденными проекциями на плоскость и вектором силы. Имеем:

α = arccos(F_xy /|F¯|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8 o ;

β = arccos(F_xz/|F¯|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0 o ;

Таким образом, вектор F¯ ближе всего наклонен к координатной плоскости xy.

Задача со скользящим бруском по наклонной плоскости

Для начала составим уравнение движения тела. Поскольку на него будут действовать всего две силы (проекция силы тяжести на плоскость и сила трения), то уравнение примет вид:

Здесь F_g, F_f — проекция силы тяжести и сила трения, соответственно. То есть задача сводится к вычислению их значений.

F_g = m*g*sin(45 o ) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.

Эта проекция силы стремится вывести из состояния покоя деревянный брусок и придать ему ускорение.

Согласно определению, сила трения скольжения равна:

Где μ = 0,7 (см. условие задачи). Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, то есть:

Тогда сила трения равна:

F_f = μ*m*g*cos(45 o ) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.

Подставляем найденные силы в уравнение движения, получаем:

Таким образом, брусок будет спускаться по наклонной плоскости, увеличивая за каждую секунду свою скорость на 2,08 м/с.

Источник