что такое поле в математике

Группы, кольца, поля в математике

Группа: определение и примеры групп

Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция в ассоциативна: ;

2) в существует нейтральный элемент ;

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как

Кольцо

1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна: ;

б) операция сложения ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ;

г) для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;

2) операция умножения в множестве ассоциативна:

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Если операция коммутативна, то дистрибутивность слева операции относительно операции влечет дистрибутивность справа, так как

Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел справедливы равенства

Следовательно, операция дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность слева относительно умножения опровергается примером

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где и — целые числа, является кольцом:

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

Поле: определение и примеры полей

1) — коммутативное кольцо с единицей ;

Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Пример В.8. На множестве трех целых чисел определим две операции:

1) «сложение по модулю 3» — остаток от деления суммы на 3 (обозначим через );

2) «умножение по модулю 3» — остаток от деления произведения на 3 (обозначим через ).

Доказать, что множество является полем относительно введенных операций.

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

Рассматриваемые в примере операции «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» можно представить в виде

Покажем, что множество является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция «сложения по модулю 3» коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства следует, что

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность «сложения по модулю 3» видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые и в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.

Из равенства следует, что

Ассоциативность «сложения по модулю 3» доказана.

Итак, множество относительно операции «сложения по модулю 3» является коммутативной группой.

Операция «умножение по модулю 3» ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

Следовательно, операция «умножения по модулю 3» дистрибутивна слева относительно операции «сложения по модулю 3». Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице «умножения по модулю 3»). Следовательно, — коммутативное кольцо с единицей.

Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Источник

Поле (алгебра)

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(аддитивная операция, или сложение) и что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(сложение) и что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, и выполняется свойство дистрибутивности.

Содержание

Связанные определения

Свойства

Примеры множеств, являющихся полями

См.также

Ссылки

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Полезное

Смотреть что такое «Поле (алгебра)» в других словарях:

Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия

Алгебра Темперли — Алгебра Темперли Либа, в статистической механике алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение… … Википедия

Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… … Большая советская энциклопедия

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера

АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… … Математическая энциклопедия

ПОЛЕ — коммутативно ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно ассоциативные кольца с единицей. Примеры… … Математическая энциклопедия

Алгебра — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра (от араб. الجبر‎‎, «аль джабр» восполнение[1]) раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово… … Википедия

Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия

Источник

Теория поля

Известная также, как векторный анализ. А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы! Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:

а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;

б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.

Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики.

И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?

Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.

На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля, конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:

ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные, и начнём мы с их «кирпичиков».

Во-первых, скаляр. Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом. Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом. В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.

Во-вторых, вектор. Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количеством чисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числа не достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен. Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.

Ну что же, теперь можно приступить к сбору алюминиевых огурцов урожая:

Скалярное поле

Если каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикенекоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(чаще действительное), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч. Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикелуча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.

Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике«водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.

Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере, или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.

Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеэтого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность. И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.

С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, двух что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, трёх что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения, линии и поверхности уровня.

Так, линии уровня глубины озера представляют собой замкнутые непересекающиеся линии на плоскости. Каждая из этих линий соответствует определённому значению глубины, и по соответствующей «плоской» карте мы можем судить о рельефе дна – где мелководье, где «обрывы» и т.д.

Поверхности уровня представляют собой непересекающиеся пространственные поверхности, «вложенные» друг в друга. Или «лежащие» друг на друге. Или… у кого на что фантазии хватит =) Каждой такой поверхности соответствует постоянное значение скалярного поля, например, какая-то конкретная температура.

Однако наши «обычные» числа и функции задают скалярные поля далеко не всегда! Приведу классический пример с вектором – для определённости рассмотрим геометрический вектор плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев некоторой аффинной системе координат. Что произойдёт, если перейти к новому базису? В общем случае данный вектор поменяет координаты: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Координаты вектора – это числа? Числа. Но скалярными величинами они не являются! Поскольку скаляры не зависят от системы координат. Более того, координаты векторов можно ведь задать и «обычными» функциями – и эти функции не будут порождать скалярное поле!

Надо сказать, ловким получился переход к следующему параграфу:

Векторное поле

Если каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикенекоторой области пространства поставлен в соответствие вектор с началом в данной точке, то говорят, что в этой области задано векторное поле.

Из чего следует, что элементы векторного поля не свободны, то есть «привязаны» к точкам. И почему векторы в «неволе» – становится ясно из простых примеров. В частности, на уроке о криволинейных интегралах по замкнутому контуру мы провели «плоский» опыт с магнитом на столе: чем ближе к магниту поднести железку, тем сильнее она притягивается. И эта сила в той или иной точке поверхности стола как раз характеризуется вектором напряжённости магнитного поля. Чем сильнее притяжение, тем длиннее вектор, ну и его остриё, понятно, указывает направление действия силы.

Но гораздо чаще векторные поля рассматривают в трёхмерном пространстве, пожалуйста: наша Земля – тот же больший магнит. Другой пример – её гравитационное поле. Чем дальше от поверхности, тем меньше сила тяжести и тем короче соответствующие силовые векторы. Кстати, куда они «смотрят»? Говоря просто, все они направлены к центру нашей планеты.

Большую группу векторных полей образуют так называемые поля скоростей. Посмотрите на поле (которое с травкой) и мысленно очертите над ним произвольную пространственную область. Представьте, что над полем дует ветер – небольшой такой ураганчик для пущей наглядности. Теперь зафиксируем некоторый момент времени и каждой точке построенной области поставим в соответствие несвободный вектор, который характеризует:

а) направление движения воздуха в данной точке;
б) и скорость его движения в данной точке – чем выше скорость, тем длиннее вектор. Если в какой-то точке штиль, то ей сопоставляется нулевой вектор.

Множество этих векторов и образует векторное поле скорости ветра в данный момент времени.

Аналогично устроено поле скоростей течения жидкости – так, например, каждой точке реки в некоторый момент времени можно поставить в соответствие вектор, указывающий направление и скорость течения жидкости в этой точке.

Да чего там ветер и река, поле скорости можно смоделировать собственноручно, для этого достаточно взмахнуть рукой. Или даже моргнуть глазом.

…Какой же кошмар! – векторы вокруг нас! В «ужастиках» эту роль играют зомби или живые мертвецы, а в реальности-то вот оно, оказывается как – ВЕКТОРЫ.

С формально-математической точки зрения, векторные поля задают векторными функциями, которые уже «проскакивали» в других темах:

Для «плоского» случая – это векторная функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, которая различным точкам что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеплоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике* ставит в соответствие несвободные векторы что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– конкретный пример есть в параграфе Работа векторного поля. Если функции двух переменных что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеопределены при любых «икс», «игрек», то векторное поле будет задано на всей плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

* Далее по умолчанию считаем, что все дела происходят в декартовой системе координат

С трёхмерным пространством всё аналогично:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– здесь каждой допустимой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепространства ставится в соответствие вектор что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикес началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.

! Обозначения: векторные поля также обозначают буквой что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикелибо что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, а их компоненты через что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикелибо что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикесоответственно.

Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура, гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.

Следует отметить, что векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени могут меняться, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Кстати, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.

Однако в рамках математики мы ограничимся троицей что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.

Векторные линии

Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня, то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями. Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!) высыпаются железные опилки, которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.

Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля, который лежит на касательной в данной точке:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями. Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.

Векторные линии скоростных полей называются линями тока. Множество линий тока даёт нам представление о потоке жидкости или газа в данный момент времени. К слову, линия тока и траектория движения частицы – это не одно и то же. Если поле скоростей не меняется с течением времени (например, река с устоявшимся течением), то, да – мусоринки будут плыть по линиям тока. Такое поле называют стационарным, и в нём траектории движения частиц совпадают с линиями тока. Но представьте пыльную бурю – здесь линии тока в каждый момент разные, и поэтому мусоринка будет лететь по своей уникальной траектории, а вовсе не по какой-то конкретной линии тока.

Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.

Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Решение что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеданного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы, и порядок.

С пространственным векторным полем что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепространственных поверхностей. Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров), а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:

если что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то нужно решить систему что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике;
если что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то систему что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике;
и если что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

И что-то непозволительно давно у нас не было практики:

Найти силовые линии векторного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Решение: в данной задаче что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, поэтому решаем систему:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Первый диффур вообще халява:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(представили в уме!).

Второй диффур – почти она же:), ну а зачем нам скоропостижные трудности?
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– семейство (внимание!) параболических цилиндров, параллельных оси что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Ответ: искомое множество векторных линий: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Иными словами, здесь в каждой плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике«сидит» семейство парабол что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Аналогичная задачка для самостоятельного решения:

Найти силовые линии векторного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Охарактеризуйте получившееся множество линий. Кстати, в условии явно не сказано, о каком поле идёт речь – плоском или пространственном. В подобных ситуациях рекомендую решать задачу для пространства – не ошибётесь 😉

Краткое решение и ответ в конце урока.

Векторное поле градиентов

В каких отношениях вы находитесь с производной по направлению и градиентом? …ничего страшного, от ненависти до любви – один шаг =) Напоминаю, что градиент функции в точке – это несвободный вектор, указывающий направление максимального роста функции в данной точке и определяющий скорость этого роста.

Нахождение векторной функции градиентов – есть популярный и распространённый способ получить из скалярного поля поле векторное. При условии существования соответствующих частных производных функции двух и трёх переменных:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Смысл очень прост. Так, если функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикезадаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеопределяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи скорость этого подъёма.

Если функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикезадаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикехарактеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеэтой области.

Разберём общую математическую задачу:

Дано скалярное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи точка что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Требуется:

1) составить градиентную функцию скалярного поля;

2) найти градиент поля в точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи вычислить его длину;

3) вычислить производную по направлению нормального вектора к поверхности что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, образующего с положительной полуосью что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикетупой угол.

Непосредственно к решению задачи это не относится, но сразу обратим внимание, что скалярное поле не определено на всех трёх координатных плоскостях что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

1) Быстренько вспоминаем, как находить частные производные функции трёх переменных:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Составим функцию, которая определяет векторное поле градиентов:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

И ещё раз – в чём её смысл? Полученная векторная функция каждой точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеобласти определения скалярного поля ставит в соответствие вектор что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, указывающий направление и максимальную скорость роста функции что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев данной точке.

И один из таких векторов нам предстоит найти в следующем пункте:

2) Вычислим частные производные в точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Таким образом:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеещё раз подчёркиваю, что этот вектор исходит из точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, и перемещать его никуда нельзя! По той причине, что он характеризует направление наискорейшего возрастания функции что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеименно в точке «эм нулевое», а не где-то ещё!

Мерилом же этой максимальной скорости как раз является длина градиента:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

3) Вычислим производную по направлению нормального вектора к поверхности что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, образующего с положительной полуосью что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикетупой угол.

Немного мудрёно, но разобраться немудренО. Во-первых, убедимся, что точка «эм нулевое» действительно принадлежит данной поверхности:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Получено верное равенство. ОК.

Что это за поверхность – нас не интересует, нам важен её нормальный вектор в точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, да не абы какой, а образующий с полуосью что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикетупой угол.

Вспоминаем материал ещё одного урока: вектор нормали к поверхности что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикезадаётся следующим образом:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

В данном случае:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Но нужный ли это вектор? Как выяснить угол, который он образует с полуосью что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике? …Сегодня у нас какой-то экскурс в фильмы… =) и сейчас на очереди фильм «Вспомнить всё». Вычислим скалярное произведение вектора что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикес направляющим вектором что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеположительной «зетовой» полуоси:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, следовательно, угол между этими векторами острый, что нас не устраивает!

И поэтому нужно выбрать противоположно направленный нормальный вектор:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Заметим заодно, что нормальные векторы в отличие от градиентов – свободны, их задача лишь указать направление.

Вычислим направляющие косинусы данного направления, или, что то же самое – координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Контроль: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Таким образом, искомая производная по направлению:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Напоминаю, что это значение характеризует скорость роста функции что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепо направлению вектора что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, и оно не может оказаться больше, чем что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(максимальной скорости роста в данной точке).

Ответ:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Найти угол между градиентами скалярных полей что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Просто и со вкусом. …Как найти угол? – с помощью того же скалярного произведения. Ну и, очевидно, тут придётся «тряхнуть» многоэтажными дробями и некоторой тригонометрией. Краткое решение и ответ в конце урока.

Что делать, если вам предложено «плоское» скалярное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике? Просто убавьте одну координату, соответствующие примеры можно найти в статье Производная по направлению и градиент функции. По существу, мы вновь прорешали примеры той статьи, только немного в другой интерпретации.

Потенциальное векторное поле

На уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру я уже подробно рассказал о «плоском» потенциальном поле, и поэтому перед дальнейшим чтением будет крайне полезно окинуть взглядом концовку указанной статьи. Фактически сейчас будет продолжение, где мы разбёрём аналогичную ситуацию в пространстве.

«Потенциальное»…, на ум здесь приходит потенциальная энергия, потенциальные возможности. Так, лежащий на подоконнике кирпич потенциально можно сбросить вниз, и вмятина на земле неиллюзорно продемонстрируют нам ту самую потенциальную энергию. Всё верно, гравитационное поле Земли – это один из ярких примеров потенциального векторного поля.

Вспомним его характерный признак, сбросив с подоконника нашего уютного деревенского домика…, нет, не кирпич, а пёрышко. Из точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикедо точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеоно может пролететь по бесчисленному множеству траекторий (из-за ветра, по причине сопротивления воздуха и т.д.), но во всех случаях гравитационное поле Земли совершит одну и ту же работу по перемещению пера между этими точками. Ну а различные траектории – это уже «вклад» других сил, которые, к слову, тоже можно описать векторными полями.

Примечание: возможно, здесь у вас возник вопрос: «но ветер же может приподнимать перо, и тогда работа должна увеличиваться!». Ничего подобного. Физическое понятие работы не подразумевает, что кто-то или что-то «трудится». Если ветер приподнимает перо вверх, то он просто уменьшает абсолютную величину работы силы тяжести.

В физике есть конкретная математическая модель, описывающая гравитационные силы, но в соответствии с направленностью сайта, я приведу только общие формулы. Итак:

Векторное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеявляется потенциальным, если оно представляет собой поле градиентов некоторого скалярного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Функцию что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеназывают потенциальной функцией или просто потенциалом.

Работа что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепотенциального векторного поля по перемещению материальной точки из точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точку что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикене зависит от траектории её движения и выражается следующим криволинейным интегралом 2-го рода:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, который равен разности потенциалов что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикебудет равна нулю:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.

Почему итоговый результат нулевой?

Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепротив сил тяжести, причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.

Примечание: в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.

Таким образом, суммарная работа сил равна нулю: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино 🙂

Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И если никто не вызвал дурку занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.

Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле, коих пруд пруди.

Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикекак определить, потенциально оно или нет?

Ротор векторного поля

Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.

Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеторчит вверх.

Рассмотрим векторное поле скорости течения (считаем, что оно неизменно во времени), и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.

Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.

Знакомьтесь – это и есть вектор ротора векторного поля скорости, он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!).

Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!

Если векторное поле задано функцией что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру). Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождается различными скоростями течения в соседних линиях тока. Но это не единственно возможная причина вращения. Если рядом с рекой стоит экспериментатор и поливает её из шланга, то поле скоростей будет постоянно меняться, и «завихрения» начнутся по той причине, что меняются сами линии тока.

С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно. И не было рядом экспериментаторов или каких-нибудь оползней, которые меняют поле скоростей.

И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеего ротор равен нулю:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, а точнее, нулевому вектору.

Потенциальное поле также называют безвихревым полем.

Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо

После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:

Показать, что векторное поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеявляется потенциальным и найти его потенциал

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Решение: условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Для удобства выпишем компоненты поля:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– и сразу проверяем, что что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата). Едем дальше:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Таким образом:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, следовательно, поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепотенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикенекоторого скалярного поля, заданного потенциалом что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Функцию что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеобычно находят одним из следующих способов:

1) Способ первый. Коль скоро так (см. выше), то:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Дальнейший алгоритм напоминает решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах, только с бОльшим количеством шагов:

Так как что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, где что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепока ещё неизвестная функция, зависящая от «игрек» и «зет».

Дифференцируем полученный результат по «игрек»:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Но, с другой стороны что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Приравниваем и упрощаем:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Теперь частным интегрированием (переменных здесь уже две!) находим:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– подставляем в наш первый трофей что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, после чего дифференцируем его уже по «зет»:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Но с другой стороны, что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Приравниваем и упрощаем:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

И, наконец, подставляем найдённую функцию что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев наш «усовершенствованный трофей» что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– получаем тем самым, искомую потенциальную функцию.

Проверку тут выполнить легче лёгкого, находим частные производные 1-го порядка:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
которые совпали с соответствующими компонентами исходного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, в чём и требовалось убедиться.

Ну и, наверное, некоторые уже подметили, что равенства частных производных в «роторной» формуле – есть не что иное, как равенства смешанных частных производных 2-го порядка функции что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

2) Способ второй. Потенциальную функцию можно найти при помощи формулы:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, где что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– точка с переменными координатами, а что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– некоторая фиксированная точка скалярного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Легко видеть, что этот криволинейный интеграл определяет работу векторного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеот точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикедо точки что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи численно равен разности потенциалов что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, откуда, собственно, и получается нужная функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Запишем сумму трёх интегралов для поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

И на этом шаге я по возможности рекомендую выбрать точку что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике(если функция что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи её производные в ней определены). После чего решение значительно упрощается:

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

При подстановке верхних пределов интегрирования можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс», вместо «игрек» – «игрек», и вместо «зет» – «зет».

Ответ: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Если начало координат выбрать нельзя, то задачу придётся решать в общем виде, в результате чего должна получиться разность что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Любители трудностей могут вернуться к примеру и прийти к разности что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Разумеется, это легальный и рабочий вариант – можно решать и так.

С аналогичной задачей для «плоского» векторного поля можно ознакомиться на уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.

Пара полей для самостоятельного решения:

Выяснить, является ли следующие векторные поля потенциальными, и если да, то найти их потенциалы:

а) что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

б) что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Обязано ли поле быть потенциальным в таких задачах? Конечно, нет, и отрицательный ответ – это тоже полноценный ответ. Примерный образец чистового оформления заданий внизу страницы.

Ну что же, теперь пришло время немного отдохнуть и увеличить ротор реки =) А именно нырнуть, искупаться и позагорать на солнце. Чтобы с новыми силами вернуться к столь увлекательной теме, а именно к потоку и циркуляции векторного поля

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Пример 2: Решение: составим и решим систему:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Из 1-го уравнения:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Из 2-го уравнения:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Константу что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепереобозначим через что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Ответ: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– семейства эллипсов, расположенные в плоскостях что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, параллельных плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Примечание: если в условии задачи подразумевается «плоское» векторное поле, то векторные линии представляют собой множество эллипсов что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, расположенных в плоскости что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.

Пример 4: Решение: вычислим частные производные функции что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикев точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Составим градиент данного скалярного поля в точке что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикеи вычислим его длину:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Аналогично найдём градиент второго скалярного поля:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
В результате:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Угол что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикемежду градиентами найдём по формуле:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Таким образом:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Ответ: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Пример 6: Решение:

а) проверим, равен ли нулю ротор векторного поля:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике.
В данном случае:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Следовательно, что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Ответ: поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикене потенциально.

б) найдём ротор векторного поля:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
В данной задаче:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Таким образом: что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, значит, поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепотенциально и представляет собой функцию градиента что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикенекоторого скалярного поля что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Найдём этот потенциал (здесь выгоднее использовать 1-й способ):
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Так как что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике, то:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Дифференцируем по «игрек»:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
С другой стороны что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Таким образом:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– подставим в что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
Дифференцируем по «зет»:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
С другой стороны, что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике. Таким образом:
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике
что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике– подставим в что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Ответ: поле что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математикепотенциально, что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое поле в математике. Смотреть фото что такое поле в математике. Смотреть картинку что такое поле в математике. Картинка про что такое поле в математике. Фото что такое поле в математике «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *