Что такое формула зависимости между величинами

17.12.202328.09.2023 admin 0 Comments

Урок 23 Бесплатно Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Прямая и обратная пропорциональность

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf>\)

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a₁ = 6 см

a₂ = 7 см

Найдем площади прямоугольников S₁ и S₂

\(\mathbf = a_ <1>\cdot b = 6 \cdot 4 = 24>\) см 2

\(\mathbf = a_ <2>\cdot b = 7 \cdot 4 = 28>\) см 2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см 2

b₁ = 4 см

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b₁ на 2 см_, получим

b₂ = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a₂

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Алгоритм решение задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

— Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

— Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

6. Составить уравнение

7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Прямая и обратная пропорциональность

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Источник

Урок по математике 6 класс «Зависимость между величинами»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Сценарии уроков по учебнику «Математика, 6 класс», часть 2

Тема: «Зависимость между величинами».

1) с формировать способность к наблюдению зависимостей между величинами и их выражению в простейших случаях с помощью формул, таблиц, графиков;

2) установить соответствие между единицами измерения, связанных зависимостью ;

3) повторить и закрепить понятие пропорции, основное свойство пропорции и преобразование пропорций, решение уравнений методом пропорций.

1) задания для актуализации знаний:

а) За некоторое время самолёт пролетел 800 км. Сколько километров он сможет пролететь, если будет лететь с той же скоростью, но за время в 2 раза меньшее?

б) За краску для ремонта квартиры заплатили 400 рублей. Сколько пришлось бы заплатить за краску, если бы потребовалось краски в 2 раза больше?

«Сторона квадрата равна 2см. Как изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза, в 3 раза, 4 раза. 5 раз?»

Заполните таблицу и постройте формулу зависимости периметра квадрата от его стороны.

Формула верна единицы измерения, входящих в неё величин согласованы.

3) образец для самопроверки самостоятельной работы:

n = n =

t = t =

1. Самоопределение к деятельности .

Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урок: продолжить изучать зависимости величин.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Вы хорошо справились с контрольной работой и показали умение работать самостоятельно.

– Чему была посвящена контрольная работа? (Отношению чисел, пропорции, решению уравнений методом пропорции.)

– Сегодня мы пойдём дальше и посмотрим, как уже, приобретённые знания помогут нам в покорении новых вершин науки, выполните следующие задание

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности .

Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: нахождение значений числовых выражений, решение задач на формулу произведения;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: построение формул зависимости.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. В пропорции один средний член умножили на 10, а другой разделили на 2. Что надо сделать, чтобы пропорция не нарушилась? Проиллюстрируйте примером. (Крайние члены соответственно умножить на 10 и разделить на 2.)

2. Можно ли утверждать, что значения этих выражений будут равны?

(Да, эти выражения равны.)

– Найдите их значения. (2.)

– Назовите пары десятичных дробей, сумма которых равна 2.

3. Сравните задачи. Что интересного вы заметили?

(В задачах в результатах получится величина в 2 раза меньшая данной.)

Заполните таблицу и постройте формулу зависимости периметра квадрата от его стороны.

3. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности.

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какое задание вы должны были выполнить? (Заполнить таблицу, написать формулу зависимости.)

– При выполнении какой части задания у вас возникли затруднения? (Затруднение может вызвать задание записать формулу зависимости периметра от его стороны.)

– Что необходимо определить, для того чтобы записать формулу (Закономерность в изменении периметра в зависимости от изменения стороны квадрата.)

– Чему будет посвящён сегодняшний урок? (Мы будем учиться записывать формулы зависимостей между величинами.)

– Что мы будем рассматривать? (Разные зависимости между величинами.)

– Сформулируйте тему урока. (Зависимость между величинами.)

– Молодцы! Запишите тему в тетради.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

На доске появляется правильный вариант заполненной таблицы:

– Чем вы пользовались, находя периметр квадрата? (Формулой периметра квадрата.)

На доске записывается формула:

– Является ли данная формула формулой зависимости периметра квадрата от его стороны? (Да.)

– Как будет зависеть периметр квадрата от изменения стороны? (Периметр увеличивается во столько раз, во сколько раз увеличивается сторона квадрата.)

– Как называются а и Р в полученной формуле? (Переменные.)

– Что происходит со значениями этих переменных? (Они изменяются.)

– От чего, зависит значение а? (Её значение зависит только от нас.)

– Как можно назвать переменные а?(Независимая переменная.)

– От чего, зависит значение Р? (Значение Р зависит от взятого значения а.)

– Какими способами задали зависимость между переменными? (С помощью таблицы и с помощью формулы.)

– Как ещё можно задать зависимость? (Зависимость можно задать текстом, а можно задать графиком.)

– Можно ли в этой формуле данные буквы заменить другими? (Учащиеся предлагают свои варианты, останавливаемся на варианте y = 4x.)

– На доске представлен график зависимости y = 4x

(Дальше можно предложить работать в группах.)

– Составьте задачи по получившейся формуле. (Учитель по очереди выслушивает варианты, предлагаемые группами.)

– Что общего во всех этих формулах? (Находим значение произведения двух величин.)

«Ученик вышел из дома со скоростью 4км/ч, и потратил на дорогу до школы 30 мин. Каково, расстояние от школы до дома?» (Учащиеся решают задачу в группах.)

– Какие результаты получились? (Группы предлагают варианты: 120 км, 2 км.)

– Запишите свои решения (Представители от групп выходят к доске и записывают свои варианты решения: (км); (км); (км); и т.д.)

– Почему разные ответы? Формула ведь одна и та же? (Выясняется причина: разные единицы измерения времени.)

Если не появилось верного решения, можно предложить проанализировать ответ. Может ли ученик за 30 мин пройти 120 км?

– Какое условие должно выполнятся, чтобы можно было пользоваться формулой? (Единицы измерения в формуле должны быть согласованы.)

Вывод обобщает учитель:

Формула верна единицы измерения, входящих в неё величин согласованы.

– Что означает косая черта в записи к /ч? (Деление, дробную черту.)

– Запишите решение задачи в единицах измерения, входящих величин. ( .)

– Что важно не пропустить при решении задачи? (При использовании формул величины, входящие в формулу должны быть согласованы.)

5. Первичное закрепление во внешней речи .

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Работа в группах

№ 132 (проверить полученные формулы)

A = vt Û v = ;

C = an Û ;

S = ab Û ;

№ 134 (После выполнения каждая группа проговаривает результат.)

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону .

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Работы проверяются по эталону. Ошибки исправляются, анализируются, выясняется их причина.

7. Включение в систему знаний и п овторение.

Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: решение задач на зависимость величин, построение формул зависимости по графикам, чтение графиков;

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: решение уравнений методом пропорций, решение задач на проценты.

Организация учебного процесса на этапе 7:

№ 138 один ученик у доски.

№ 140 один ученик у доски.

Таблица заполняется по графику:

1) 9 и 11 утра, 18 и 18 часов 40 минут вечера;

2) первый самолёт: 3 остановки; первая: 1 час; вторая: 1 час 20 мин; третья: 1 час;

второй самолёт: 2 остановки; первая: 1 час; вторая: 1 час 40 мин;

3) первый: 800 км/ч; 800 км/ч; 1200 км/ч; 800 км/ч;

второй: 900 км/ч; 600 км/ч;

4) 1600 км, 800км – летели туда; 2400 км, 1600 км – вылетали обратно; 1200 км, 800км – летел обратно, стоял на стоянке;

№ 148 (одно из уравнений по выбору учителя)