Что такое факториал числа в информатике

Факториал

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Рекуррентная формула

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Источник

Алгоритмы быстрого вычисления факториала

Понятие факториала известно всем. Это функция, вычисляющая произведение последовательных натуральных чисел от 1 до N включительно: N! = 1 * 2 * 3 *… * N. Факториал — быстрорастущая функция, уже для небольших значений N значение N! имеет много значащих цифр.

Попробуем реализовать эту функцию на языке программирования. Очевидно, нам понадобиться язык, поддерживающий длинную арифметику. Я воспользуюсь C#, но с таким же успехом можно взять Java или Python.

Итак, простейшая реализация (назовем ее наивной) получается прямо из определения факториала:

На моей машине эта реализация работает примерно 1,6 секунд для N=50 000.

Далее рассмотрим алгоритмы, которые работают намного быстрее наивной реализации.

Алгоритм вычисления деревом

Первый алгоритм основан на том соображении, что длинные числа примерно одинаковой длины умножать эффективнее, чем длинное число умножать на короткое (как в наивной реализации). То есть нам нужно добиться, чтобы при вычислении факториала множители постоянно были примерно одинаковой длины.

Пусть нам нужно найти произведение последовательных чисел от L до R, обозначим его как P(L, R). Разделим интервал от L до R пополам и посчитаем P(L, R) как P(L, M) * P(M + 1, R), где M находится посередине между L и R, M = (L + R) / 2. Заметим, что множители будут примерно одинаковой длины. Аналогично разобьем P(L, M) и P(M + 1, R). Будем производить эту операцию, пока в каждом интервале останется не более двух множителей. Очевидно, что P(L, R) = L, если L и R равны, и P(L, R) = L * R, если L и R отличаются на единицу. Чтобы найти N! нужно посчитать P(2, N).

Посмотрим, как будет работать наш алгоритм для N=10, найдем P(2, 10):

P(2, 10)
P(2, 6) * P(7, 10)
( P(2, 4) * P(5, 6) ) * ( P(7, 8) * P(9, 10) )
( (P(2, 3) * P(4) ) * P(5, 6) ) * ( P(7, 8) * P(9, 10) )
( ( (2 * 3) * (4) ) * (5 * 6) ) * ( (7 * 8) * (9 * 10) )
( ( 6 * 4 ) * 30 ) * ( 56 * 90 )
( 24 * 30 ) * ( 5 040 )
720 * 5 040
3 628 800

Получается своеобразное дерево, где множители находятся в узлах, а результат получается в корне

Реализуем описанный алгоритм:

Для N=50 000 факториал вычисляется за 0,9 секунд, что почти вдвое быстрее, чем в наивной реализации.

Алгоритм вычисления факторизацией

Для наглядности посчитаем, сколько раз двойка содержится в 10! Двойку дает каждый второй множитель (2, 4, 6, 8 и 10), всего таких множителей 10 / 2 = 5. Каждый четвертый дает четверку (2 2 ), всего таких множителей 10 / 4 = 2 (4 и 8). Каждый восьмой дает восьмерку (2 3 ), такой множитель всего один 10 / 8 = 1 (8). Шестнадцать (2 4 ) и более уже не дает ни один множитель, значит, подсчет можно завершать. Суммируя, получим, что показатель степени при двойке в разложении 10! на простые множители будет равен 10 / 2 + 10 / 4 + 10 / 8 = 5 + 2 + 1 = 8.

Если действовать таким же образом, можно найти показатели при 3, 5 и 7 в разложении 10!, после чего остается только вычислить значение произведения:

10! = 2 8 * 3 4 * 5 2 * 7 1 = 3 628 800

Осталось найти простые числа от 2 до N, для этого можно использовать решето Эратосфена:

Эта реализация также тратит примерно 0,9 секунд на вычисление 50 000!

Как справедливо отметил pomme скорость вычисления факториала на 98% зависит от скорости умножения. Попробуем протестировать наши алгоритмы, реализовав их на C++ с использованием библиотеки GMP. Результаты тестирования приведены ниже, по ним получается что алгоритм умножения в C# имеет довольно странную асимптотику, поэтому оптимизация дает относительно небольшой выигрыш в C# и огромный в C++ с GMP. Однако этому вопросу вероятно стоит посвятить отдельную статью.

Все алгоритмы тестировались для N равном 1 000, 2 000, 5 000, 10 000, 20 000, 50 000 и 100 000 десятью итерациями. В таблице указано среднее значение времени работы в миллисекундах.

График с линейной шкалой

График с логарифмической шкалой

Идеи и алгоритмы из комментариев

Хабражители предложили немало интересных идей и алгоритмов в ответ на мою статью, здесь я оставлю ссылки на лучшие из них

Исходные коды реализованных алгоритмов приведены под спойлерами

Источник

Факториал в С

Введение в программу Factorial in C

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как рассчитывается факториал. Ниже мы рассчитали факториал для чисел от 1 до 10.

Ниже приведена общая математическая формула для определения чисел ‘n’ множителя.

Примеры факториала в C с использованием различных методов

В этом разделе мы собираемся обсудить, как факториал вычисляется в программе на Си с использованием различных методов.

Пример 1

Факториальная программа на C с использованием оператора if-else

В операторе if-else, во-первых, если оператор вычисляется, если оператор в нем истинен, он выдаст выходные данные, а если оператор в случае, если условие не истинно, то он передает управление в оператор else и оператор else выполняется Давайте посмотрим, как мы можем вычислить факториал, используя оператор if-else.

#include
#include
int main()
(
int number, i, fact = 1;
printf(«Enter the positive number to find the factorial: «);
scanf(«%d», &number);
// if number is negative show the error
if (number

Объяснение приведенного выше кода

В приведенном выше примере мы инициализировали три переменные число, т.е. я и факт. Затем функция сканирования позволяет пользователю вводить номер по своему желанию. Если условие в первую очередь проверяет, является ли данное число отрицательным или нет, если оно отрицательное, оно выполнится, если выполнится инструкция и сгенерирует ошибку и остановит программу.

Выход для отрицательного числа:

И если данное число является положительным, оно передаст управление оператору else, и условие, указанное в операторе else, будет выполнено, и оно вычислит факториал для данного числа. Выход для положительного числа выглядит следующим образом.

Выход для положительного числа:

Пример 2

Факториальная программа на C с использованием цикла For

В цикле For сначала выполняется шаг инициализации, и только один раз во всей программе. На этом этапе вы можете инициализировать и объявить переменные для кода. После этого состояние оценивается. Если условие истинно, то оно выполнит код внутри блока цикла For. Если условие ложно, то оно будет переходить к коду после цикла For без выполнения кода цикла For.

После цикла For оператор приращения будет выполнен. После этого снова условие будет проверено. Цикл будет выполнен, если условие выполнено, и цикл будет повторяться, то есть тело цикла, оператор приращения и условие. Цикл заканчивается, когда условие ложно.

#include
#include
int main()
(
int i, fact = 1, number;
printf(«Enter the number to find the factorial: «);
scanf(«%d», &number);
for(i = 1; i

Выход:

Объяснение вышеуказанной программы

В этой программе мы инициализировали переменные I, факт и число. Когда условие для цикла. Функция сканирования используется, чтобы позволить пользователю вводить номер по своему желанию. После этого цикл For будет работать, как описано выше.

Пример 3

Факториальная программа на С с использованием метода рекурсии

#include
#include
factorial(int);
int main()
(
int number, fact;
printf(«Enter the number to find the factorial:»);
scanf(«%d», &number);
if(number

Выход:

Пример 4

Факториальная программа на С с использованием функции

#include
#include
factorial(int);
int main()
(
int number, fact = 1;
printf(«Enter the number to find the factorial: «);
scanf(«%d», &number);
printf(«Factorial of the given number %d is %llu», number, factorial(number));
return 0;
)
factorial(int n)
(
int c, result = 1;
for (c = 1; c

Выход:

Вывод

В этой статье мы увидели, как вычислить факториал числа в C с помощью условных операторов и функций. Я надеюсь, что эта статья поможет вам понять работу факториала в C.

Рекомендуемые статьи

Это было руководство по факториалу в C. Здесь мы обсуждаем факториал для чисел от 1 до 10, примеры факториала в C с использованием различного метода, формулы для «n factor» с кодами и выходными данными. Вы также можете просмотреть наши статьи, чтобы узнать больше

Источник

Формулы для факториалов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Факториал

Формулы для факториалов — это формулы определения конкретных значений факториала.

Под факториалом числа понимается результат произведения всех натуральных неотрицательных чисел, начиная с единицы и до основания факториала.

Термин факториал числа – это математический оператор, но применяется в самых разных научных дисциплинах, таких как комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.

Рисунок 1. Факториал. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формула вычисления

Для вычисления факториала конкретного числового выражения, надо найти произведение чисел, начиная от единицы, и заканчивая заданным числом. Исходя из этого, операцию нахождения факториала, возможно определить так:

Главные факториальные особенности:

Выражение под номером два определяется термином рекурсия, а сам факториал выступает как элементарная рекурсивная функция. Рекурсивная функция находит широкое распространение в теории алгоритмов и при создании программных приложений для компьютеров, так как большинство алгоритмических структур и программных процедур обладают рекурсивным наполнением.

Вычислить факториал многоразрядных чисел возможно путём применения формулы Стирлинга, дающей, правда, не точный результат, хотя погрешность достаточно мала. Эту формулу можно представить следующим образом:

Готовые работы на аналогичную тему

$n! = (n/e)^n • √(2 • π • n) • (1 + 1/(12 • n) + 1/(288 • n^2) + …)$

$ln (n!) = (n + 1/2) • ln n – n + ln √(2 • π)$,

Используется ещё и такое определение формулы Стирлинга:

M – кратный факториал является разновидностью двойного факториала для всех положительных чисел m:

Источник

Факториал

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Содержание

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества <A,B,C,D> из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Другие свойства

Обобщения

Двойной факториал

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

Кратный факториал

Пусть число n представимо в виде где Тогда [1]

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением [2] :

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

где для 0″ border=»0″ /> и

Субфакториал

Ссылки

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Факториал» в других словарях:

ФАКТОРИАЛ — [англ. factorial Словарь иностранных слов русского языка

ФАКТОРИАЛ — (обозначение «!»), число, получаемое в результате умножения данного числа на все целые числа меньше него. Например, факториал числа 6 равен 6!=6.5.4.3.2.1=720. Факториалом нуля считают 0!=1 … Научно-технический энциклопедический словарь

ФАКТОРИАЛ — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1?2. n; обозначается n! … Современная энциклопедия

факториал — сущ., кол во синонимов: 1 • термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Факториал — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1´2´. ´n; обозначается n!. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ФАКТОРИАЛ — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного натурального числа n; обозначается n! = 1·2·3·. ·n; по определению, 0! = 1 … Большая политехническая энциклопедия

факториал — произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, то есть 1·2·3·. ·n; обозначается: n!. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. * * * ФАКТОРИАЛ ФАКТОРИАЛ, произведение натуральных чисел от единицы до какого либо… … Энциклопедический словарь

факториал — faktorialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. factorial vok. Faktorielle, f; Fakultät, f rus. факториал, m pranc. factorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Источник