что такое аргумент комплексного числа

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Учебное пособие: Комплексные числа

§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )

Комплексным числомz называется выражение следующего вида:

Комплексное число в алгебраической форме,(1)

— комплексно сопряженное число числу z ;

— противоположное число числу z ;

— комплексный ноль ;

– так обозначается множество комплексных чисел.

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )

1) ;

2) .

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? )

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число

.(2)

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z :

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа? )

Так как геометрически очевидно, что и , то

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

,

Þ

Þ;

2)Þ

,

Þ

Þ;

3)Þ

,

Þ

Þ

;

4),

;

5),

;

6),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами. )

Сложение (вычитание) комплексных чисел

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Основные свойства сложения

5).

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

2)(1 + 4i )∙(1 – 4i ) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Основные свойства умножения

3)z 1×(z 2 + z 3) = z 1×z 2 + z 1×z 3 — дистрибутивность относительно сложения;

5).

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z ×z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

1);

2).

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .

2. Значение называют главным значением аргумента комплексного числа ;

при этом значения всех возможных углов обозначают ;

очевидно, что , .

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

.

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

существует при «z и если z ¹ 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле

где,

— арифметический корень на .

Все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .

1)

, k = 0, 1, 2 Þ

Þ,

,

.

Ответ:

2) ,

.

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется форма

Показательная форма комплексного числа,(11)

где.

1);

2);

3) .

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,(12)

,(13)

,(14)

, .(15)

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Числа являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса .

Используем определение Þ,

так как , .

Из этих равенств следуют формулы Эйлера

по которым тригонометрические функции и действительной переменной выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.

§ 2. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Целой функциейили алгебраическим многочленом (полиномом ) аргумента x называется функция вида

.(1)

Здесь n – степень многочлена ( натуральное число или 0),

x – переменная (действительная или комплексная),

a 0, a 1, …, an –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),причем, a 0¹ 0

;

;

, – квадратный трехчлен;

, ;

.

Определение алгебраического уравнения -й степени

Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:

Pn (x ) = 0, (2)

Число х 0 такое, что Pn (x 0) º 0, называется нулем функции Pn (x ) или корнем уравнения .

1) – алгебраическое уравнение первой степени,

его корень ;

2) – алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни , , .

3) числа и являются нулями функции , так как и .

В литературе часто нули функции называются ее корнями. Например, числа и называются корнями квадратичной функции .

(3)

.

w Тождество (3) справедливо при «xÎ (или «xÎ)

Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x :

.(3’)

Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.

.

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.

Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v

при .

При делении многочлена Pn (x ) на разность (x – х 0) получается остаток, равный Pn (x 0), то есть

гдеQn – 1(x ) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

w Запишем формулу деления с остатком:

гдеQn – 1(x ) — многочлен степени (n – 1),

A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х 0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х 0) без остатка, то есть

Þ .(5)

1) , так какP 3(1) º 0

Þ.

2) , так какP 4(–2) º 0

Þ.

3) , так какP 2(–1/2) º 0

Þ.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

_

_

_

_

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).

,

гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени

Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;

2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени

Þx 1,2,3 = — три корня;

Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):

Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то ;

; ; , ;

если – действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где , – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

1) – парные комплексно сопряженные корни;

2) .

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов :

комплексный число многочлен уравнение

Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )

1. Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

.

Ответ: .

2. Квадратные уравнения:

, – всегда имеет два корня (различных или равных).

1) .

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3) ,.

Ответ: , .

3. Двучленные уравнения степени :

, – всегда имеет различных корней.

,

;

;

.

Ответ: , .

4. Решить кубическое уравнение .

Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:

_
_
_

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым.

Число тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):

Þ

.

Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0.

Ответ: .

1. Сформулируйте определение комплексного числа

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

5. ⌂ .

7. Что такое действительная часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

11. Что такое комплексный ноль?

13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.

15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

20. ⌂ .

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

24. ⌂ .

25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?

27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

33. ⌂ .

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

36. ⌂ .

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

40. ⌂ .

41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

44. ⌂ .

45. Что называется показательной формой комплексного числа?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

48. ⌂ .

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

52. ⌂ .

53. Что называется целой функцией?

55. Что называется полиномом?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

59. Что называется нулем функции?

61. Перечислите основные свойства многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

67. ⌂ .

69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

72. ⌂ .

73. Что называется k-кратным нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.

78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)

алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)

алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

аргумент комплексного числа это. (стр. 4)

действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)

комплексно сопряженное число это. (стр. 2)

комплексный ноль это. (стр. 2)

комплексным числом называется. (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)

корнем уравнения называется. (стр. 14)

коэффициенты многочлена это. (стр. 14)

мнимая единица это. (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)

модулем комплексного числа называется. (стр. 4)

нулем функции называется. (стр. 14)

показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)

полиномом называется. (стр. 14)

простым нулем многочлена называется. (стр. 18)

противоположное число это. (стр. 2)

степень многочлена это. (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

Источник