в какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс

15.12.202310.09.2023 admin 0 Comments

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

7. Касательная, параллельная оси абсцисс

Если касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, то производная в точке касания равна нулю (тангенс угла наклона).

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 64065

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Ненюкова Елена
Дата: 2009-12-01

Олечка! Случайно попала на сайт! Ты просто молодец! В 2010 году задания группы С будут немного другие.

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2009-12-01

Привет, Лена!! Елена Яковлевна! Я знаю, что другие. Видеоуроки уже другие. А это прошлогоднее.

Комментарий добавил(а): Борис
Дата: 2011-11-18

коротко и ясно.спасибо

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-02-04

ва, это вы кого спрашиваете? или себе задачу ставите? Похвально.

Комментарий добавил(а): ва
Дата: 2014-02-04

в какой точке касательная к графику функции y=2x^3-3x^2+4 параллельна оси абсцисс?

Комментарий добавил(а): Star Wars Home Theatre
Дата: 2019-10-08

qhnr jn Starwars youtube.com/watch?v=KgUoGsWrFEs

Комментарий добавил(а): MscTix
Дата: 2020-01-16

Комментарий добавил(а): 1
Дата: 2021-05-11

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-05-11

Комментарий добавил(а): @@ZdlgP
Дата: 2021-05-11

Комментарий добавил(а): JyI=
Дата: 2021-05-11

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-05-11

Комментарий добавил(а): 1
Дата: 2021-05-11

Источник

В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких производная принимает значение 2. Искомая точка

Если f'(x)=2, то это не значит, что f(x)=2, а следовательно x≠5. На рисунке видно, что с вашим ответом прямая и касательная далеко не параллельны. Синим цветом указано примерное расположение верного ответа (x∈[-2;-1])

Вот ссылка на картинку http://i68.fastpic.ru/big/2014/0903/62/b8e7df53c7801d840bc852112753ab62.png

Внимательно прочитайте условие и наше решение, и Вы поймёте, что мы правы, а Вы решали другую задачу.

На рисунке изображён график — производной функции определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка

Источник

В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.

7.2 Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

7.1 Поскольку касательная параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 6 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней в 6 точках.

7.2 Чтобы найти среднюю скорость, необходимо перемещение разделить на время, за которое это перемещение совершено.Таким образом, средняя скорость: м/с.

Обратите внимание: требуется найти среднюю скорость, а не среднюю путевую скорость. У некоторых читателей возникает соблазн искать среднюю путевую скорость. При данной формулировке задания это невозможно: по условию, на оси ординат откладывается расстояние от начального положения точки, а не пройденный путь; кроме того, в условии нет указания на прямолинейность движения. Эти обстоятельства не позволяют выяснить среднюю путевую скорость. Но о ней и не спрашивают. Вычисление средней скорости нами приведено верно.

Источник

Уравнение касательной к графику функции (ЕГЭ 2022)

Чтобы разобраться с этой темой, нужно знать что такое производная.

Сейчас проверим, знаешь ли ты ее… 🙂

Найди приращение функции \( y=<^<2>>+2x+3\) при приращении аргумента, равном \( \Delta x\).

Должно получиться \( \Delta y=\Delta x\left( \Delta x+2x+2 \right)\).

А теперь найди производную функции \( y\left( x \right)=3<<\sin >^<2>>\sqrt\) в точке \( <_<0>>=\frac<<\pi >^<2>><16>\).

Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз.

Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше…

А если ты справился, то в путь!

Уравнение касательной к графику функции — коротко о главном

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\):

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Алгоритм	Пример: \( f\left( x \right)=<^<2>>-2x+3\), \( <_<0>>=3\)
1. Вычислим \( f\left( <_<0>> \right)\)	\( f\left( <_<0>> \right)=f\left( 3 \right)=<<3>^<2>>-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдем формулу производной функции \( ’\left( x \right)\)	\( ’\left( x \right)=<<\left( <^<2>>-2x+3 \right)>^<\prime >>=2 -2\)
3. Вычислим \( ’\left( <_<0>> \right)\)	\( ’\left( <_<0>> \right)=’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)
4. Подставим \( <_<0>>,\text< >f\left( <_<0>> \right)\) и \( ’\left( <_<0>> \right)\) в формулу уравнения касательной \( y=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)\)	\( \beginy=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)=\\\text< >=4\left( x-3 \right)+6=4 -12+6=\\\text< >=4 -6\end\)

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции \( y=f\left( x \right)\):

Выберем на линии графика некую точку \( A\). Пусть ее абсцисса \( <_<0>>\), тогда ордината равна \( f\left( <_<0>> \right)\).

Затем выберем близкую к точке \( A\) точку \( B\) с абсциссой \( <_<0>>+\Delta x\); ее ордината – это \( f\left( <_<0>>+\Delta x \right)\):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси \( Ox\) как \( \alpha \).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол \( \alpha \)?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – \( 180<>^\circ \), а минимально возможный – \( 0<>^\circ \).

Значит, \( \alpha \in \left[ 0<>^\circ ;180<>^\circ \right)\). Угол \( 180<>^\circ \) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с \( 0<>^\circ \), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку \( C\), чтобы прямая \( AC\) была параллельна оси абсцисс, а \( BC\) – ординат:

По рисунку видно, что \( AC=\Delta x\), а \( BC=\Delta f\).

Тогда отношение приращений:

(так как \( \angle C=90<>^\circ \), то \( \triangle ABC\) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать \( \Delta x\).

Тогда точка \( B\) будет приближаться к точке \( A\). Когда \( \Delta x\) станет бесконечно малым \( \left( \Delta x\to 0 \right)\), отношение \( \frac<\Delta f><\Delta x>\) станет равно производной функции в точке \( <_<0>>\).

Что же при этом станет с секущей?

Точка \( B\) будет бесконечно близка к точке \( A\), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки \( A\), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси \( \displaystyle Ox\) назовем \( \varphi \). Тогда получится, что производная

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент \( \displaystyle k\)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью \( \displaystyle Ox\)!

То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы \( \alpha \) и \( \displaystyle \varphi \) тупые. А приращение функции \( \Delta f\) – отрицательное.

Получаем: \( \frac<-\Delta f><\Delta x>=-\ \alpha \text< >\Rightarrow \text< >\frac<\Delta f><\Delta x>=\ \alpha \), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку \( \displaystyle B\) к точке \( \displaystyle A\), и секущая \( \displaystyle AB\) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке \( \displaystyle A\).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\).

Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle f’\left( x \right)=k=\ \varphi\).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси \( \displaystyle Ox\) – это \( \displaystyle \angle BAC\). Найдем тангенс этого угла:

Таким образом, производная функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\) равна \( \displaystyle 1,2\).

Ответ: \( \displaystyle 1,2\).

Теперь попробуй сам.

Еще статью на геометрический смысл производной ты найдешь здесь: «Геометрический смысл производной«.

Решим два примера

Пример 1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\);

Пример 2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение примера №1

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle k=f’\left( x \right)=\ \beta\).

Достроим треугольник со стороной \( \displaystyle AC\), лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

Он тупой \( \left( >90<>^\circ \right)\), поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла).

Применим знания из тригонометрии:

Источник

В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс

Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.