в каком классе проходят векторы по геометрии

Векторы в школьном курсе математики

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Для сложения векторов есть два способа.

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Умножение вектора на число

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача С2 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза. )))

Источник

План-конспект по теме : «Векторы» (8 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Конспект урока по геометрии
в 8 классе

«Понятие вектора»

Цели урока: — ввести понятие, термин, определение вектора, его обозначение, изображение. Понятие длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных, противоположно направленных, равных векторов. Закрепить данные знания в процессе устного решения задач;

— развивать связную математическую речь, математическое мышление;

— воспитывать мотивацию к учению.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: учебник Геометрия 7-9 Л. С. Атанасян, плакаты с заданиями (векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные, противоположно направленные, равные) и с основными понятиями, векторный дом.

План проведения урока

— Изучая физику, вы работали с такими величинами, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Назовите величины, которые характеризуются только числовым значением.

— Хорошо. Теперь назовите величины, которые характеризуются ещё и направлением.

— Такие величины называются векторными величинами. Это понятие вектора в курсе физики, сегодня на уроке мы познакомимся с понятием вектора в курсе геометрии. Открываем тетради, записываем дату и тему урока.

— Ребята, скажите, а что бы вы сегодня хотели узнать на уроке о векторе.

— Всё что вы назвали это верно. Но чтобы нам было легче работать на уроке, я составила вам вот такой план работы.

План работы

— Открываем тетради, записываем дату и тему урока.

— Рассмотрим произвольный отрезок АВ.

А В

— Точки, которые являются концами отрезка, называются его граничными точками. На данном отрезке можно задать два направления. Каких?

— А во втором случае?

Площадь, длина, периметр и др.

Движение, скорость, сила.

Называют (таким образом ставится цель урока).

Мы можем двигаться от точки А к В и наоборот от точки В к А.

В – начальная, А – конечная точки.

— На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, которая показывает направление вектора.

— Изобразите вектор в тетради. (сл 2, 3)

В

А АВ, А – начало вектора,

— Еще вектор можно обозначать строчной латинской буквой. Например:

Дальше идет работа по слайду №4.

— Рассмотрим понятие длины вектора. Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.

Обозначается длина вектора так: |АВ|.

— Переходим к равенству векторов. Это последний пункт нашего плана. Но для того, чтобы определить какие векторы называются равными, введем несколько вспомогательных понятий.

— Коллинеарными называются векторы, которые расположены на одной прямой или на параллельных прямых. (сл 5)

а с

к

Дальше идет работа по слайду №6.

В

а

а и е – коллинеарные,

р и с – коллинеарные.

— Обратите внимание на направление коллинеарных векторов.

— Коллинеарные векторы, направленные в одну сторону называются сонаправленными. (сл 7)

а

— Коллинеарные векторы, направленные в разные стороны называются противоположно направленными. (сл 8)

— Начертите в тетради две пары векторов одну сонаправленую, другую противоположно направленную. Обозначьте их.

— Мы с вами ввели три вспомогательных понятия коллинеарные, сонаправленнные и противоположно направленные векторы. Тем самым подошли к понятию равных векторов.

а

Дальше идет работа со слайдом №10.

Подводится итог урока, работа с «векторным домом». Слайд №11

Запишите коллинеарные векторы.

Запишите сонаправленные векторы.

Запишите противоположно направленные векторы.

Запишите равные векторы.

Тетради сдаются на проверку.

Вопросы из учебника 1-5, начертить свою векторную фигуру со всеми видами векторов.

Они могут быть направлены в одну сторону или в разные стороны.

р

е

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-324555

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор открыл горячую линию по вопросам контрольных в школах

Время чтения: 1 минута

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект + презентация по геометрии на тему «Векторы» (9 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ Геометрия 9 кл Векторы. Большакова ИА сшг №16 Талдыкорганppt.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок геометрии в 9 «В» классе сшг №16 Учитель Большакова Ирина Анатольевна г. Талдыкорган

Цели урока: Образовательные: формирование у школьников познавательных интересов и потребности в знаниях; ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному; продолжить формирование у учащихся общеучебных умений и навыков. Воспитательные: содействовать воспитанию нравственных и эстетических качеств школьников, уделив особое внимание коллективизму; профориентация. Развивающие: продолжить формирование правильной математической речи; развивать мышление путем анализа; содействовать развитию воли и настойчивости в учении путем решения практических задач.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым Длина нулевого считается равной нулю Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

Назовите векторы, изображенные на рисунке. Укажите начало и конец векторов.

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами) 8 Н

При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин.

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные сонаправленные векторы Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные противоположно направленные векторы

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. 1 2 Найдите еще пары равных векторов. О – точка пересечения диагоналей.

от точки М от точки D Практическая работа

С А В D 4 3 4 3 1,5 4 5 5 M № 1 В прямоугольнике АВСD АВ=3см, ВС=4см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

№ 2 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ. M N P Q

№ 3 Укажите пары коллинеарных (противоположнонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ. M N P Q

№ 4 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВСD с основаниями AD и BC. А В С D Сонаправленные векторы Противоположноонаправленные векторы

№ 5 Укажите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH. F G H Коллинеарных векторов нет

№ 6 В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы. Обоснуйте ответ. А В С D

№ 7 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы. M N L K S T

№8. АВСD – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски: 4 4

№9. АВСD – параллелограмм. По данным рисунка найти А В С D 300 6 К 12 = 12

№10. АВС – равнобедренный треугольник. О – точка пересечения медиан. По данным рисунка найти А В С 10 = 2 8 2 = 4

№ 11. АВСD – прямоугольная трапеция. Найти A B C D 12 5 450 Решение 5 5 7 7

Тесты «Понятие вектора» «Действия с векторами»

Тест №1 (без вариантов ответов)

Назовите все векторы, изображенные на рисунке A B C D O *

Среди изображенных на рисунке векторов укажите коллинеарные A B C D O *

Среди изображенных на рисунке векторов укажите сонаправленные A B C D O *

Среди изображенных на рисунке векторов укажите равные A B C D O *

Среди изображенных на рисунке векторов укажите векторы, сонаправленные вектору ОО A B C D O *

Тест №2 (с вариантами ответов)

* 1.Упростите выражение MN+XY=MX а) MX в) NY б) MY г) YM

* 2.Найдите вектор х : АВ + х = АК а) ВК в) КК б) КВ г) СК

* 3.Найдите вектор a+b, используя правило треугольника : а) в) б) г)

* 4.Найдите вектор a+b, используя правило параллелограмма: а) в) б) г)

* За верно выполненные 2 задания – оценка «3» 3 задания – оценка «4» 4 задания – оценка «5» 1 2 3 4 Б А Г Б

Рефлексия Закончи предложения… Я умею… могу… знаю…

Итоги урока Домашнее задание

Используемые ресурсы: http://le-savchen.ucoz.ru/ http://gym1.ucoz.ru/load/1-1-0-145 http://karmanform.ucoz.ru/index/0-10

Выбранный для просмотра документ Урок геометрии. Большакова И.А.doc

«Вектор. Длина вектора. Равенство векторов»

Автор: Большакова Ирина Анатольевна, учитель математики

Средняя школа-гимназия №16 город Талдыкорган, Алматинской области.

Геометрия. Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. И.Бекбоев, А.Абдиев,Ж.Кайдасов, Г.Хабарова – Алматы: Мектеп, 2009.

Тема урока : «Вектор. Длина вектора. Равенство векторов»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный

 формирование у школьников познавательных интересов и потребности в знаниях;

 ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

 продолжить формирование у учащихся общеучебных умений и навыков.

 содействовать воспитанию нравственных и эстетических качеств школьников, уделив особое внимание коллективизму;

 продолжить формирование правильной математической речи;

развивать мышление путем анализа;

 содействовать развитию воли и настойчивости в учении путем решения практических задач.

Изложение нового материала.

Первичное закрепление. Решение задач.

Постановка домашнего задания.

Подведение итогов урока.

Изложение нового материала с использованием презентации.

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов ).

3. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: .

4. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают:

.

5. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

10. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

11. Определение равных векторов: если и , то .

Ш. Первичное закрепление. Решение задач

1. Выполнение практического задания.

2. По готовому чертежу на доске решить задачу № 1.

3. Устно по готовому чертежу решить задачи №№2-7.

4. По готовым чертежам на доске и в тетрадях выполняется решение задач №№8 – 11.

PS . В презентацию для данного урока вставлены примеры тестов, которые можно проводить на последующих уроках для контроля и самоконтроля знаний учащихся.

Источник