в каком классе проходят теорему синусов

20.12.202312.09.2023 admin 0 Comments

Конспект открытого урока на тему «Теорема синусов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная школа с. Титоренко» Энгельсского муниципального района Саратовской области

Открытый урок по геометрии в 9 классе на тему

Разработала учитель математики Морина Е. В.

Урок геометрии на тему «Теорема синусов». 9-й класс

Цели урока:

познакомить с формулировкой и доказательством теоремы синусов;

выработать у учащегося навыки решения задач с использованием тригонометрических функций;

развить умение решать треугольники.

развитие внимания, мышления, наблюдательности, активности;

развитие устной и письменной речи;

развитие умений применять полученные знания на практике.

воспитание самостоятельности, эстетичности;

воспитание интереса к предмету математики.

Метод урока: объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: урок изучения и усвоения нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Структура урока:

Мотивация к учебной деятельности – 1 мин.

Актуализация знаний – 5 мин.

Проблемная ситуация – 7 мин.

Изучение нового материала – 10 мин.

Закрепление изученного материала – 10 мин.

Самостоятельная работа – 10 мин.

Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока

– Здравствуйте, я рада вас видеть.

Эпиграф «Три пути ведут к знанию :

Путь опыта – самый горький.

Притча : Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “ Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умерщвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “ Все в твоих руках”

– Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника)

– Какие задачи вы учились решать? (задачи на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)

– Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем.

– Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем так же дружно и успешно работать, как и на предыдущих занятиях.

– Желаю вам новых открытий и успешных ответов.

2-й этап. Актуализация знаний.

1) Решение домашней задачи № 1020(в), ученик комментирует решение задачи.

S= ½∙14∙7∙sin48°=7∙7∙0,7347=36 (см 2 )

– Как вы определили значение синуса угла 48 градусов? (пользуясь таблицей Брадиса, с помощью калькулятора. )

2) Доказать теорему о площади треугольника .

3) Домашняя задача № 1023.

(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними)

4) Ученик решает задачу из сборника по данной теме.

Дано:

Найти:

Правильность решения задачи проверяется.

Какие элементы треугольника вы знаете? (вершины, стороны, углы)

Что значит «решить треугольник»? (найти все его элементы)

(повторение формул для вычисления площади треугольника).

а) формулы площади треугольника

Что такое пропорция? ( это равенство отношений)

Основное свойство пропорции? (произведение крайних членов равно произведению средних членов)

в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

Найдите площадь треугольника АВС.

Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Найдите высоту параллелограмма АВСD.

3 -й этап. Проблемная ситуация.

1) Предлагается решить устно задачу.

Верно ли для прямоугольного треугольника равенство:

c=c=c

После того, как учащийся убедился, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?».

– Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

– Что вам придется доказывать? (равенство отношений)

– Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема)

Значит тема нашего урока…? (Теорема синусов)

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

Какова цель нашего урока? Изучить доказать теорему синусов.

А чем мы свами еще будем заниматься на уроке? ( учится применять теорему при решении задач)

4 -й этап. Объяснение нового материала.

1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b.

Доказать: .

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует Итак, . Теорема доказана.

Теорему можно записать и в другом виде:

1) Запишите теорему синусов для треугольников:

ΔМНР:
ΔОКТ:

2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность : мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033.

где R – радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности .

5-й этап. Закрепление материала.

Чем вы сейчас будете заниматься? (будем выполнять задание, где используется теорема синусов)

1) Работа с учебником

6-й этап. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Работа по вариантам.

Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.

Какие из следующих утверждений верны?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов

Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов

Стороны треугольника пропорциональны противолежащим углам

Источник

Теорема синусов

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Геометрия. 9 класс

Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов.

S = 1/2 b c sin⁡A, (1)
S = 1/2 a с sin B. (2)
S = 1/2 a b sin C. (3)
Приравняем первое и второе равенства:
1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sin B
Умножим обе части получившего равенства на два и разделим на с:
1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sinB | ∙2
b c sin⁡A = a c sinB | :c
b sin⁡A = a sinB
Из полученного равенства составим пропорцию – равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов: b/sinB = a/sinA
Приравняем второе и третье равенства и проведём аналогичные преобразования:
1/2 a c sinB = 1/2 a b sinC | ∙2
a c sinB = a b sinC | :a
c sinB = b sinC
c/sinC = b/sinB (5)
Из четвёртого и пятого равенств получаем, что отношения длины стороны к синусу противолежащего угла равны: c/sinC = b/sinB = a/sinA
Около треугольника опишем окружность и выясним, как связаны отношения стороны к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника может быть расположен на стороне треугольника, внутри треугольника и вне треугольника.
Если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

Запишем для этого треугольника теорему синусов: c/sinC = b/sinB = a/sinА
Так как гипотенуза треугольника является диаметром окружности, а синус девяноста градусов равен единице, то отношения стороны треугольника к синусу противолежащего угла равны диаметру описанной окружности:
c/sinC = b/sinB = a/sinА = 2R/(sin90°) = 2R
Для двух других случаев.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

Источник

Класс: 9

Презентация к уроку

Цели урока:

Метод урока: объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: урок изучения и усвоения нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Структура урока:

Ход урока

1-й этап. Мотивация к учебной деятельности.

– Здравствуйте, я рада вас видеть.

– Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника)

– Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем.

– Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем так же дружно и успешно работать, как и на предыдущих занятиях.

– Желаю вам новых открытий и успешных ответов.

2-й этап. Актуализация знаний.

1) Решение домашней задачи № 1020(в), ученик комментирует решение задачи.

– Как вы определили значение синуса угла 48 градусов? (пользуясь таблицей Брадиса, с помощью калькулятора. )

2) Доказать теорему о площади треугольника .

3) Домашняя задача № 1021.

(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними)

4) Ученик решает задачу из сборника по данной теме.

Дано:

Найти:

Правильность решения задачи проверяется.

(повторение формул для вычисления площади треугольника).

а) формулы площади треугольника

б) формулы приведения

в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

Найдите площадь треугольника АВС.

Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Найдите высоту параллелограмма АВСD.

3-й этап. Проблемная ситуация.

1) Предлагается решить устно задачу.

Верно ли для прямоугольного треугольника равенство:?

c=c=c

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны.

Карточка план – реализации проекта

– Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны.

– Чем отличается это задание от предыдущего? (нам нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– Что вам придется доказывать? (равенство отношений)

– Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема)

– Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– В геометрии эта теорема называется теоремой синусов.

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

Попробуйте доказать теорему.

На выполнение задания отводится 2 мин.

Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.

4-й этап. Объяснение нового материала.

1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b.

Доказать: .

По теореме о площади треугольника

Теорему можно записать и в другом виде:

(Выступление ученика с историческим сообщением по теме)

А где мы можем проверить правильность нашего решения?

Откроем учебники на стр. 256.

Итак, мы доказали теорему синусов.

1) Запишите теорему синусов для треугольников:

ΔМНР:
ΔОКТ:

2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033.

Вывод: если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то .