в каком классе проходят радианы

17.12.202312.09.2023 admin 0 Comments

Урок Радианная мера угла

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Радианная мера углов и дуг

Для чего же нужна числовая окружность? Почему она так важна для науки вообще и для нас в частности? Начнем рассматривать области ее практического применения.

Как было сказано, числовая окружность используется, когда точка движется не прямолинейно, например, при изучении вращательного движения.

Движение точки по окружности можно представить двумя способами.

Результат будет один и тот же.

Кстати, подвижный радиус ОВ называется радиус–вектором точки В.

При таком обобщении понятия угла постепенно отходят от его геометрического образа как части плоскости, лежащей между двумя лучами. Фактически слово «угол» становится для нас синонимом слова «число».

Теперь нужно выбрать меру измерения таких новых углов – углов поворота.

Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол:

на практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята 1 /₃₆₀ часть полного оборота, которую называют градусом;

в технике за единицу измерения принимают полный оборот;

в мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный
1 /₃₂ части полного оборота;

в артиллерии за единицу измерения углов принята 1 /₆₀ часть полного оборота, которую называют большим делением угломера ( 1 /₁₀₀ часть большого деления угломера называют малым делением угломера).

Для измерения новых углов – углов поворота – привычные нам градусы не подходят, потому, что градусами измеряют только углы, а здесь одной меркой должны измеряться и углы, и расстояния.

Выход нашли Ньютон и Лейбниц — они стали измерять эти углы этими расстояниями.

Вопрос: «Чем измеряется расстояние на числовой окружности?»,

«Чему равен единичный отрезок числовой окружности?».

Так появилась универсальная мера измерения и углов, и дуг — радиусная мера или, как ее чаще называют, радианная мера.

Для закрепления изученного

материала рассмотреть ОК–3.

Ответить на вопросы 3, 4.

Еще раз подчеркнуть универсальность радианной меры, с помощью которой можно измерять и углы, и расстояния (дуги).

3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

4. Что такое радиан?

Ответить на вопрос 8.

Отсюда истекает сложность, заключающаяся в двойственном применении числа  – рассмотреть примечание.

8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?

Ответить на вопрос 7.

«А как построить угол, равный числу (–1)?»

Помимо того, что радианная мера лучше приспособлена для изучения криволинейного (кругового) движения, она существенно упростила многие расчеты и формулы:

длина дуги окружности: ;

площадь сектора: .

Рассмотреть формулы перехода от градусной меры к радианной и наоборот.

Ответить на вопросы 5, 6.

5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?

Решать задачи № 9(пр) – № 14(пр)

При решении № 13(пр) напомнить ученикам о правиле именования дуг, принятое нами на прошлом уроке.

9. Выразите в радианах:

1) 1  ; 4) 10  ; 7) 15  ; 10) 30  ;

2) 45  ; 5) 60  ; 8) 70  ; 11) 90  ;

10. Переведите из градусной меры в радианную:

1) 120  ; 3) 220  ; 5) 300  ; 7) 765  ;

11. Выразите в градусах:

12. Переведите из радианной меры в градусную:

13. Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах сумму дуг:

1) ;

2) .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДВ-054241

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября

Время чтения: 1 минута

В Туве предложили ввести антиковидные паспорта для школьников

Время чтения: 2 минуты

В Москве разработают дизайн-код для школ и детсадов

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Урок алгебры в 10 классе по учебнику Ш.А. Алимова «Радианная мера угла»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Угол поворота. Радианная мера угла»

Немного из истории… 1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астрономии; разделили окружность на 360 2. Древние индийцы: ввели названия «синус», «косинус», составили таблицы синусов, косинусов 3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели понятие единичной окружности

Немного из истории… 4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) выделил раздел тригонометрии из астрономии 5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл теорему синусов 6. XVII-XIXвв: применение тригономет-рии в механике, физике, технике, как часть математического анализа (Виетт, Бернулли) – тригонометрические символы, графики – синусоиды 7. Л.Эйлер: придал тригонометрии современный вид

Градусная мера угла 1 – цена одного деления окружности, разделенной на 360 частей =1

Радианная мера угла у О Р х 1 радиан это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности 1 радиан 1 радиан  57 ° 90° 270° 180° 0° 360° 180°=  рад 180° развёрнутый угол  90° прямой угол 360° полный угол 2 Формула перехода от радианной меры к градусной : Формула перехода от градусной меры к радианной:

№1: Переведите в радианную меру углы: 1) 45 2) 15 3) 72 4) 100 5) 200 6) 360 7) 215 8) 150 9) 330

№2: Переведите в градусную меру углы: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Самостоятельная работа 1. Переведите в радианную меру углы: 1) 60 2) 145 3) 240 I вариант II вариант 1) 320 2) 105 3) 40 2. Переведите в градусную меру углы: 1) 2) 1) 2)

Ответы 1) 2) 3) I вариант II вариант 1) 2) 3) 2. 1) 72 2) 480 1) 405 2) 150

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-226308

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

День преподавателя высшей школы будет отмечаться 19 ноября

Время чтения: 1 минута

Москалькова предложила создать рекомендации подросткам по использованию соцсетей

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

«Спутник» объявили словом года в России

Время чтения: 2 минуты

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Источник

Конспект о радианной мере угла 10 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Градусная и радианная мера угла. Тригонометрический круг

Г рад усная и радиан ная мера угла. Тригонометрический круг

Пример 1. Выразим в радиан ной мере величины углов в 90°, 45°, 60° и 27°.

Поворот точки вокруг начала координат

1. 1. Пусть α >0. Предположим, что точка, двигаясь поединичной окружности от точки Р против час овой стрелки, прошла путь длиной α (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.

2. 2. Пусть α эт ом случае поворот на угол α радиан означает, что движение совершалось по час овой стрелке и точка прошла путь длинной (рис. 2).

Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

1) При повороте точки Р(1;0) на угол (рис. 3) получается точка М с координатами (0;1).

2) При повороте точки Р(1;0) на угол (рис. 3) получается точка N (0;-1).

3) При повороте точки Р(1;0) на угол (рис. 4) получается точка К(0;-1).

4) При повороте точки Р(1;0) на угол (рис. 4) получается точка Д(-1;0).

Приведем таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в радиан ной и г рад усной мерах (рис. 5).

Свойства тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Свойство четности и нечетности

Значения tg и ctg угла α

Значения sin и cos угла α

– это угол поворота, при котором конец начального рад иуса о пи сывает дугу, длина которой равна рад иусу.

Источник

Конспект урока на тему » Радианная мера угла»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

2. Тема урока : Радианная мера угла

3. Тип урока : урок ознакомления с новым материалом

4. Цель урока : познакомить учащихся с понятием радианная мера угла

5. Учебно-воспитательные задачи урока:

· Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла;

· Закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот.

· Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

· Формирований умений пользоваться алгоритмом перевода радианной меры угла к градусной мере и наоборот

· воспитания интереса к предмету

· воспитание ответственного отношения к своему образованию.

6. Средства обучения : индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

Методы и методические приемы

Сообщение темы и целей урока

Изложение нового материала

Подведение итогов. Домашнее задание. Рефлексия

Словесный (запись на доске), оценивание

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

II I . Объяснение нового материала.

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним некоторые понятия из курса геометрии.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Градусом называют величину центрального угла, которому соответствует часть окружности.

Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.

Углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.

Давайте изобразим окружность с центром в точке и радиусом . Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке . Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.

Отметим на прямой несколько точек: и , и , и , и , и .

Теперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами , , , перейдут соответственно в точки окружности , , , . При этом длина дуги равна , длина дуги равна , длина дуги равна , длина дуги равна .

Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Так, точке прямой с координатой ставится в соответствие точка . А значит, угол можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол следует считать равным , а угол равным . Такой способ измерения углов считается измерением в радианной мере.

Единичный угол называют углом в один радиан. Записывают так: рад.

И напомним, что длина дуги равна радиусу нашей окружности.

Сейчас давайте рассмотрим окружность радиуса . И отметим на ней дугу , равную длине радиуса окружности, и угол .

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной , то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный . Следовательно, дуге окружности длиной соответствует угол в раз меньший.

Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что рад . , тогда рад .

Если угол содержит рад, то

Пример: найдём градусную меру угла, равного рад.

Воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим вместо : . Получим .

Можно перейти от градусной меры к радианной: так как угол в равен рад, то рад. Тогда

Пример: найдём радианную меру угла, равного .

Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим вместо : . Получим .

При обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут: .

Обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.

В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу , а значит, угол в рад стягивает дугу длиной: (3).

Если , то эта формула принимает совсем простой вид: , то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.

Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле: Площадь полукруга, то есть кругового сектора в рад: . Тогда площадь сектора в рад в раз меньше, то есть . Следовательно, площадь сектора в рад равна .

И немного истории: Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.

В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).

IV . Закрепление материала

Пример 1. Найти градусную меру угла, равного рад.