в каком классе проходят переменные

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Оборудование: компьютер, проектор.

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

1) Решение линейного уравнения.

Линейным называется уравнение вида , где по определению. Такое уравнение имеет единственный корень .

2) Решение квадратного уравнения.

Квадратным называется уравнение вида , где . Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения . Для уравнение корней не имеет, для имеет один корень (два одинаковых корня)

, для имеет два различных корня .

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение -й степени имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена на множители или с использованием замены переменной.

3) Решение кубического уравнения.

Решим кубическое уравнение

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: ; ;.

4) Решение биквадратного уравнения.

Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид (т.е. уравнения, квадратные относительно ). Для их решения вводят новую переменную .

Решим биквадратное уравнение .

Введём новую переменную и получим квадратное уравнение , корнями которого являются числа и 4.

Вернёмся к старой переменной и получим два простейших квадратных уравнения:

(корни и )

(корни и )

Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

; ;.

Попробуем решить уравнение используя выше изложенные приёмы.

4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида , где многочлен n-й степени

Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :

1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

4) Если число является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения , где многочлен (-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен . Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).

5) Если уравнение со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член ) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

Пример 1. Решим уравнение .

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

Итак, данное уравнение имеет три корня:

Пример 2. Решим уравнение .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

Аналогичным образом поступим и с многочленом .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде

произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

7 этап работы. Вывод урока.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

Источник

Урок математики в 3-м классе. Тема:»Переменная»

Цель урока: расширить и уточнить представление детей о переменной.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Оборудование: компьютер, карточки для индивидуальной работы, учебник.

Урок направлен на развитие логического мышления и коммуникативности учащихся.

1. Организационный момент (создать позитивный настрой на предмет «математика»)

– Я очень люблю математику, просто обожаю!
– А Вы, любите эту науку? (Да)

2. Создание ситуации успеха. Разминка (устный счёт проводится стоя)

– Ну, тогда посчитайте, сколько времени я затратила на дорогу, отправляясь на урок, если выехала из дома в 7 10, а приехала в школу 7 30. (20 минут)
– Замечательно, молодцы! Переведите в секунды, сколько это будет? (1200с)
– Хорошо! Давайте с вами договоримся о способе контроля, если кто-то хотел ответить, а я не спросила, то с помощью вот такого жеста вы можете выразить своё согласие, а если не согласны вот так, тем самым я буду видеть кто, как работает на уроке и контролирует своих товарищей.
– От раздевалки до класса я прошла 30 метров, сколько это будет в сантиметрах? (3000 см)
– А было бы, совсем замечательно, если бы сказали, сколько миллиметров? (30000 мм)
– Садитесь, пожалуйста!

3. Актуализация знаний. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний. Создание проблемной ситуации (Презентация)

– В школе № 6 54 отличника, а в школе № 10 – 49. Сколько отличников в двух школах? (103)
– В столовой школы № 10 готовят завтрак на 760 учащихся, а в школе «№ 6 в 2 раза больше. Сколько готовят в школьной столовой № 6? (1520)
– За день в школьном буфете школы № 6 дети выпили 196 стаканов клюквенного напитка, а в школьной столовой № 10 на 35 больше. Сколько стаканов клюквенного напитка выпили дети школы № 10? (231)
– Ученики 2 «А» класса имеют 45 компьютерных игр, а учитель соседнего класса мне сказал, что у них в 3 раза больше. Сколько компьютерных игр имеют ученики другого класса? (135)
– А на переменке посчитайте, сколько у Вас вместе? (180)

4. Постановка и решение учебной задачи

– На прошлой недели библиотеку посетило 175 детей, а на этой недели на а меньше. Сколько детей посетило библиотеку на этой недели?
– Записали выражение? Какое получилось? (175 – а)
– Чему равно значение этого выражения?

5. Анализ условия решения задачи

– Так в чём проблема? (Мы не знаем значение а)
– А какие числа можем поставить вместо а? (Дети перечисляют любые числа, а учитель записывает)
– А что вы заметили во всех этих выражениях? (Первое число оставалось постоянным, а второе менялось)
– Ребята, давайте запишем множество значений а
– Это ребята записывается так а =
– Я правильно вас поняла…
– Как бы вы назвали букву, которая может принимать разные значения? (Изменчивая, переменчивая, переменная)
– Правильно ребята, действительно в математике она называется переменная (вывешиваю на доску слово ПЕРЕМЕННАЯ), а те числа, что подставляют вместо этой буквы, это ЗНАЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ (повесить)
– Это есть тема нашего урока.
Появляется на экране выражение 140 : а
– Как мы назовём это выражение? (Выражение с переменной)
– Что здесь является переменной? (а)
– Какие значения может принимать, а в данном выражении? (2,7….)
– К доске пойдёт Петя? … (запиши выражение со значение переменной а)
– Итак, какая величина была постоянной (140), а какая величина переменной?
– А теперь надо записать множество значений а
– Как мы запишем….а=
– Обратите внимание на доску, что интересного заметили?
– Можно ли используя значения о переменной записать все эти предложения с помощью одного? К ДОСКЕ ПОЙДЁТ (прикрепляется данное высказывание) х: икс=
– Молодцы!
– Давайте выполним задания, которое предлагает учебник на стр.66 №7,8
– Познакомьтесь с заданием? Вопросы есть? (работа в парах)
– Чья пара закончит решать, поднимает руки, сцепленные в замочек вот так!
– Хорошо, молодцы замечательно, ещё раз проверьте себя проконтролируйте все ли правильно у вас!
– Давайте проверим. Не забывайте, о чём мы с вами договорились в начале урока.
– Вы такие молодцы, так быстро и чётко справились с задание, по глазам вижу, что вы хорошие математики, предлагаю вам ещё задание и поработайте в группах.
– Проверяем, какая группа справилась с заданием.

6. Итоговая рефлексия

– Итак, ребята, наш урок подходит к концу. Какую задачу решали на уроке?
– С каким математическим понятием мы сегодня познакомились? (ПЕРЕМЕННАЯ)
– А вот как работалось на уроке, я предлагаю вам, оценить по следующим параметрам: если кому-то из вас было легко и интересно (зелёный); трудно, но интересно (синий); трудно и не интересно (красный).

В конце урока, если останется время можно дать задание:

Источник

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

Д.: Это пример с окошечком.

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Источник