в каком классе проходят минус на минус
Вычитание отрицательных чисел
Всего получено оценок: 88.
Всего получено оценок: 88.
Вычитание отрицательных чисел сложный в психологическом плане процесс: ведь требуется уменьшать изначально маленькое число, примерно такие же проблемы могут возникать при рассмотрении действий с десятичными и обыкновенными дробями. При этом, никаких сложных нюансов в этом вопросе нет. Чтобы избежать ошибок, рассмотрим вычитание отрицательных чисел во всех подробностях.
Вычитание
Что такое вычитание? Фактически это уменьшение некоторого числа. Причем не всегда уменьшение оканчивается на отметке нуля. То есть, может получиться и отрицательное число, и ноль. Не стоит пугаться этого.
В начальной школе детям прививают мысль о том, что отрицательный результат заведомо неправильный. Это, само собой, миф. Но этот миф въедается в подкорку мозга и затрудняет дальнейшее изучение курса математики 5 и 6 классов. Поэтому от ощущений неправильности при получении отрицательных результатов, нужно избавляться путем решения большого количества примеров с самыми разными результатами.
В математике принято говорить, что вычитание – это процесс переноса числа влево по числовой прямой. Левее может оказаться любое значение: положительное, отрицательное, ноль, целое или дробное. Единственный результат, который получиться не может, это иррациональное число. Причем последнее – при условии вычитания рациональных чисел.
Отрицательные числа
Теперь обратим внимание на отрицательные числа. Отрицательным числом считается любое число меньше нуля. Причем в примерах на вычитание речь, чаще всего, идет о рациональных числах.
Если перед вами вычитание корней, то придется пользоваться приближенными вычислениями. С этим ничего не поделать: крайне редко получается выполнить вычисление в точности.
На практике это иногда необходимо, но при записи единицу просто не пишут. Так и получается знак минус при отрицательном числе.
По этому принципу работает правило знаков, которое гласит:
Кажется, что речь идет только об умножении, но на деле это не совсем так:
-6-(-18)=-6-1*(-1)*18=-6+18=12 – вот так это правило выглядит в развернутой форме применительно к операциям вычитания.
Вычитание отрицательных чисел
В вычитании отрицательных чисел ничего сложного нет: правила те же, что и для вычитания положительных или любых других рациональных чисел. Нужно только правильно пользоваться правилом знаков.
Именно для того, чтобы не допускать ошибок при использовании этого правила на практике, рассмотрим все возможные ситуации вычитания отрицательных чисел.
-5-18=-1*(5+18)=-1*23=-23 – то есть, выносится общий множитель, числа складываются по модулю, а потом знак минуса возвращается. При решении число 1 принято не прописывать для сокращения записи
Вообще-то вычитание – это часть операции, которую называют математической или арифметической суммой.
Что мы узнали?
Мы поговорили об отрицательных числах. Еще раз повторили основные правила вычитания, и в отдельности привели правила вычитания отрицательных чисел. Для того, чтобы не допускать ошибок в дальнейшем, рассмотрели все случаи подобного вычитания.
Почему минус на минус всегда даёт плюс?
Польза натуральных чисел
Для начала немного окунёмся в историю арифметики. Совершенно естественно, что в самом начале люди пользовались только натуральными числами — один, два, три и так далее. Их использовали для того, чтобы посчитать реальное количество предметов. Просто так, в отрыве от всего, цифры были бесполезны, поэтому стали появляться и действия, с помощью которых стало возможно оперировать числами. Абсолютно логично, что самым необходимым для человека стало сложение. Эта операция проста и естественна — подсчитать количество предметов становилось проще, теперь не нужно было каждый раз считать заново — «один, два, три». Заменить счёт теперь стало возможным с помощью действия «один плюс два равно три». Натуральные числа складывались, ответ тоже был натуральным числом.
Умножение представляло собой, по сути, такое же сложение. На практике мы и сейчас, например, совершая покупки, так же используем сложение и умножение, как это делали давным-давно наши предки. Однако порой приходилось совершать операции вычитания и деления. И числа не всегда были равнозначны — иногда число, от которого отнимали, было меньше числа, которое вычитали. То же и с делением. Таким образом и появились дробные числа.
Появление отрицательных чисел
В документах Индии записи об отрицательных числах появились в VII веке нашей эры. В китайских документах существуют более древние отметки об этом математическом «факте».
В жизни мы чаще всего отнимаем от большего числа меньшее. Например: у меня есть 100 рублей, хлеб и молоко стоят 65 рублей; 100 — 65 = 35 рублей сдачи. Если же я захочу купить ещё какой-то товар, стоимость которого превышает мои оставшиеся 35 рублей, например ещё одно молоко, то как бы я ни хотел его приобрести, а больше денег у меня нет, следовательно, отрицательные числа мне ни к чему.
Практически для таких же целей и начали впервые использовать отрицательные числа. Китайцы первыми использовали их для записи долгов или в промежуточных решениях уравнений. Но использование это было всё равно лишь для того, чтоб прийти к положительному числу (впрочем, как и наше погашение кредитки). Долгому отвержению отрицательных чисел способствовало то, что они не выражали конкретных предметов. Десять монет — это десять монет, вот они, их можно потрогать, на них можно купить товар. А что значит «минус десять монет»? Они предполагаются, даже если это долг. Неизвестно, вернётся ли этот долг, и превратятся ли «записанные» монеты в реальные. Если при решении какой-нибудь задачи получалось отрицательное число, считалось, что вышел неверный ответ или ответа вообще не существует. Такое недоверчивое отношение сохранялось у людей достаточно долго, даже Декарт (XVII век), совершивший прорыв в математике, считал отрицательные числа «ложными».
Формирование правил действий с отрицательными числами
Рассмотрим уравнение 9х-12=4х-2. Для решения уравнения нужно перенести члены с неизвестным в одну сторону, а известные числа — в другую. Это можно выполнить двумя способами.
Переносим часть уравнения с неизвестным в левую сторону, а другие числа — в правую. Получается:
Ответ найден. За все действия, что нам потребовалось выполнить, мы ни разу не прибегнули к использованию отрицательных чисел.
Теперь переносим часть уравнения с неизвестным в правую сторону, а остальные слагаемые — в левую. Получаем:
Чтобы найти решение, нам нужно одно отрицательное число разделить на другое. Однако верный ответ мы уже получили в предыдущем решении — это х, равное двум. Следовательно, остаётся вывести, что (-10)/(-5)=2.
Что доказывают нам эти два способа решения одного уравнения? Первое, что становится ясно – это то, каким образом выводилась адекватность оперирования отрицательными числами — полученный ответ должен быть таким же, что и при решении с использованием только натуральных чисел. Второй момент — это тот факт, что не нужно больше задумываться над величинами, чтобы получать непременно неотрицательное число. Можно выбирать наиболее удобный способ решения, особенно это касается сложных уравнений. Действия, которые позволили не задумываться над некоторыми операциями (что нужно сделать, чтоб были только натуральные числа; какое число больше, чтоб вычитать именно от него и т.д.), стали первыми шагами к «абстракцианизации» математики.
Естественно, не все правила действий с отрицательными числами сформировались единовременно. Копились решения, обобщались примеры, на основе чего и стали понемногу «вырисовывать» основные аксиомы. С развитием математики, с выделением новых правил, появлялись новые уровни абстракции. Например, в девятнадцатом веке стало доказано, что целые числа и многочлены имеют много общего, хотя внешне отличаются. Все их можно складывать, вычитать и перемножать. Правила, которым они подчиняются, влияют на них одним образом. Что же касается деления одних целых чисел на другие, то здесь «поджидает» занимательный факт — ответом не всегда будет целое число. Этот же закон распространяется и на многочлены.
Затем было выявлено множество других совокупностей математических объектов, над которыми возможно было производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Со временем математики установили, что после исследования свойств операций результаты станет возможно применять ко всем этим совокупностям объектов. Точно так же работают и в современной математике.
Больше интересных материалов:
Сугубо математический подход
С течением времени математики выявили новый термин — кольцо. Под кольцом подразумевают множество элементов и операции, которые можно над ними производить. Основополагающими становятся правила (те самые аксиомы), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества. Для того, чтоб выделить первостепенность структуры, возникающую после введения аксиом, как раз обычно и употребляют термин «кольцо»: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. п. Используя аксиомы и исходя из них, можно выявлять новые свойства колец.
Сформулируем правила кольца, похожие на аксиомы операций с целыми числами, и докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус выходит плюс.
Под кольцом понимается множество с двумя бинарными операциями (в каждом действии участвуют два элемента кольца), традиционно именуемыми сложением и умножением, и следующими аксиомами:
— сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (—A)), что A + (—A) = 0;
— умножение подчиняется сочетательному закону: A · (B · C) = (A · B) · C;
— сложение и умножение связаны следующими правилами раскрытия скобок:
(A + B) · C = A · C + B · C
A · (B + C) = A · B + A · C.
Уточним, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (операция деления не всегда возможна), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если ввести данные аксиомы, получим другие алгебраические структуры, однако со всеми действующими теоремами, доказанными для колец.
Из этого получим утверждения про единицы:
Далее следует доказать некоторые моменты. Во-первых, нужно установить существование лишь одной противоположности для каждого элемента. Допустим, наличие у элемента А два противоположных элемента: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Разберём сумму A + B + C. Используя переместительный и сочетательный законы, а также свойства нуля, получим, что сумма равна:
B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C
C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.
Следовательно, B = C.
Отметим, что и A, и (-(-A)) противоположны к элементу (-A). Отсюда заключаем, что элементы A и (-(-A)) должны быть равны.
Далее, 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B,
Заметим, что 0 · B = 0 для любого элемента B.
0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B,
таким образом, прибавление 0·B не изменяет сумму. Получается, это произведение равно нулю.
Правило сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками
Для суммирования двух отрицательных чисел, необходимо:
суммировать их модули;
перед полученной суммой поставить знак «минус».
В данном случае, складываем модули 9 и 6, и перед получившимся натуральным числом 15 ставим знак «-«.
Сложение рациональных или дробных чисел выполняется аналогичным способом:
К 26,35 прибавляем 25,35 (т. е. мы складываем модули), в итоге получаем 51,75 с отрицательным значением. Перед ним ставим знак «минус».
Для суммирования натуральных чисел со знаками «+» и «-», надо:
из слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением;
перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, которое имело большее значение.
61,2 + (-31,5) = + (61,2 — 31,5) = 30,5
Модуль большего числа со знаком «+», соответственно, сумма получилась положительная:
Большее число со знаком «-», поэтому заменяем плюс на минус и получаем отрицательный ответ.
Как вычитать отрицательные и положительные числа
Для нахождения разности противоположных чисел, надо к уменьшаемому прибавить вычитаемое с противоположным знаком, то есть заменить разность суммой.
Наглядно данное действие лучше представить в виде формулы:
То есть любое выражение, содержащее знаки сложения и вычитания, следует решать как сумму чисел.
-6,1 + 5,6 = 5,6 + (-6,3) = 0,5.
Разность выражения будет положительной, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательной, если значение модуля уменьшаемого меньше вычитаемого. В случае, когда уменьшаемое и вычитаемое одинаковые, их разность будет равна нулю.
Если нужно отнять отрицательное число, то два знака «минус» подряд дают знак «плюс».
Все вышеперечисленные действия возможно выполнить на калькуляторе. Для этого достаточно ввести сначала модуль числа, потом нажать кнопку изменения знака «+/-».
Заключение
Для закрепления изученных правил можно использовать различные методы проверки знаний. На первом этапе лучшим вариантом будет тренажер, с помощью которого решение подобных примеров можно довести до автоматизма.
Так же для закрепления материала подойдет тестирование. Его можно провести в виде самостоятельной работы. В конце изучения всех правил применяется контрольная работа, задания для которой можно подобрать из различных дидактических материалов.
Репетитор по математике о работе с правилом вычитания отрицательных чисел
В ыработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс. От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.
С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах. Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться. В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.
Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?
Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b». Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется. В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?
Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время. Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется. Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:
Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
А) Первое число переписать
Б) Поставить плюс
B) Заменить знак второго числа на противоположный
Г) Сложить полученные числа
Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.
По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)
Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее. В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху. Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.
Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть». Это обязательно! Например, запись 
следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».
Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.
Как репетитору объяснить переход к сложению?
Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а». Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность». Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».
Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.
Нацеленность репетитора по математике на запоминание
Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки. Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение.
Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).
Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками.
Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).
Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков. Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды. Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.
Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например 
. Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемые
Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино.
Очень познавательно.
Сложно деткам объяснить, что самой кажется элементарным.
Спасибо за подсказку.
Спасибо, Александр, все очень доступно, почему в школе так не объяснят… Сайтом вашим пользуемся, дочь в 7кл. тянет программу с трудом, теперь понимаю почему…
Спасибо огромное, Александр!
Замечательный понятный подход к математике. Дочь почти отличница, но ненавидит математику, не склонна к ней, не хочет вникать))) А мне, зная математику, не хватает правильной методики объяснения. Буду обращаться к Вашему сайту по всем темам…