в каком классе проходят корень числа
Алгебра. 8 класс
Квадратным корнем из числа b называют такое число, квадрат которого равен b.
Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b.
Обозначение арифметического квадратного корня: 
.
– знак корня, или знак радикала.
Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением.
b – подкоренное выражение.
, если:
1) а ≥ 0,
2) a 2 = b.
, так как
1) 9 ≥ 0,
2) 9 2 = 81.
, так как
1) 0 ≥ 0,
2) 0 2 = 0.
Из определения арифметического квадратного корня следует равенство 
.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок алгебры в 8-м классе по теме «Квадратный корень из произведения и дроби»
Разделы: Математика
Ход урока
I. Организационный момент
Сегодня у нас не совсем обычный урок, к нам пришли гости. Посмотрите на наших гостей, улыбнитесь им, посмотрите друг на друга и тоже улыбнитесь, ведь от улыбки станет всем теплей, поднимется настроение. Ребята, я вас попрошу поставить на полях своих тетрадей ту оценку, которую вы хотели бы получить за урок.
Предлагаю вам выполнить письменную работу “Математический словарь”
Взаимопроверка. Как вы считаете, какая тема объединяет эти математические термины?
( Квадратные корни.) А какую тему мы изучали на прошлом уроке? (Квадратный корень из произведения и дроби.)
Постановка целей урока.
Для того чтобы урок прошел успешно, необходимо повторить теорию.
II. Устная работа
Учитель задает учащимся те вопросы, которые не прозвучали в ходе опроса.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
Даются подробные объяснения.
3. Сравните: 
и 
.
III. Работа на доске и в тетрадях со всеми учащимися
1. Учитель: А как вы нашли произведение и частное корней?
Ученик: Поменяв в тождествах 
=
и 
= 
местами их левые и правые части, получим:
| = и = |
Вопрос. В каком случае пользуются этими тождествами? (При умножении и делении квадратных корней).
2. Разобрать решение примеров 4 и 5 на с. 86 учебника.
3. Решить № 385 (а, б, в, ж) на доске и в тетрадях.
4. Решить № 386 самостоятельно с проверкой. Один ученик решает самостоятельно у доски, остальные учащиеся решают в тетрадях. Если возникают затруднения, можно обратиться за помощью к соседу по парте или к учителю. Затем проверяется решение.
IV. Задания по выбору.
1. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, значение выражения:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Самопроверка с помощью микрокалькулятора.
Ответы: 15; 18; 22; 270; 1,1; 4,1; 0,36; 70.
1) Вычислите 
.
1) 3 
2) 1,4
3) 1 
4) 1,5
2) Решите уравнение 0,5у 2 = 8.
4)Применив свойства арифметического квадратного корня, вычислите 
.
5) Вычислите 
без помощи микрокалькулятора.
6) Даны числа: 0, (7); 1
; 
; 
. Сколько среди них рациональных?
Самопроверка. Работа над ошибками. Итог.
V. Творческое задание “Смотри, не ошибись!”
Определить неизвестный множитель:
? = а;
( + 
) (?) = а – в;
? = в;
( 
— 1) (?) = 1.
VI. Задание “Проверь, не пользуясь микрокалькулятором ”
= 
= 60.
VII. Резервное задание для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся.
= 3.
VIII. Домашнее задание: по выбору п.16, № 387 (1 стр.), 383 или составить задание для учащихся по данной теме. Для желающих № 381.
IX. Подведение итогов.
Выставление оценок самими учащимися.
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Урок 11. Алгебра 8 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»
На этом уроке мы познакомимся с новыми для вас понятиями такими, как квадратные корни и арифметический квадратный корень. А также научимся находить значения корней.
Числа 10 и минус 10 называют квадратными корнями уравнения 
.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Вернёмся к задаче. Мы знаем, что длина – это положительная величина. А значит, корень второго уравнения – минус 10, не подходит. И тогда длина стороны Машиной клумбы равна 10 метрам.
Решая данную задачу, мы с вами столкнулись с неоднозначностью: получили два корня, но к решению задачи подошел только один. И чтобы не было проблем с выбором корня вводят понятие арифметического квадратного корня.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обратите внимание, в определении прозвучала фраза «неотрицательное число». Почему нельзя сказать просто … «положительное число»? … Потому что квадрат нуля, есть само число нуль. А оно, как вы знаете, не является ни положительным числом, ни отрицательным. Поэтому и используют термин «неотрицательное число».
Арифметический квадратный корень из числа а обозначают так:
Знак 
называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова «радикс» – корень).
Выражение, стоящее под знаком корня называют подкоренным выражением.
При чтении записи, слово «арифметический» не произносят, а читают просто «квадратный корень из а».
Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа, называют извлечением корня.
Рассмотрим несколько примеров извлечения корня из числа. Итак, найдём значения корней.
Запомните, квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел.
При 
выражение 
не имеет смысла. Т.к. нет такого числа квадрат, которого бы был отрицательным числом.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство 
.
Задание 1: найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен: 1; 4; 0,3.
Задание 2: найдите значение выражения.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа, называют извлечением корня.
Равенство 
верно, когда выполняются два условия:
1) 
и 2) 
При выражение не имеет смысла.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.
Перечень тем, рассматриваемых на уроке:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»
Площадь квадрата S=16 м².
Обозначим сторону квадрата а, м.
Решим данное уравнение:
Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.
Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обозначение: 
.
Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Обозначение: 
.
.
.
.
На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.
Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Обозначение: 
– корень n-й степени, где
n–степень арифметического корня;
а– подкоренное выражение.
Давайте рассмотрим такой пример: 
.
Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, 
.
Еще один пример: 
.
Мы знаем, что (–3) 5 = –243, следовательно, 
.
На основании этих примеров, можно сделать вывод:
, при условии, что n –нечетное число.
Свойства арифметического корня натуральной степени:
Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:
.
.
.
.
.
.
Найдите значение выражения 
, при 3 3;
Что такое
квадратный корень
В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:
Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?
Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.
Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.
У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:
Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.
Число под знаком корня называют подкоренным выражением.
Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.
Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.
Квадратный корень из нуля
Квадратный корень из нуля равен нулю.
Квадратный корень из единицы
Квадратный корень из единицы равен единице.
Как найти квадратный корень из числа
Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.
Решение примеров с квадратными корнями
№ 307 Алимов 9 класс
Вычислить арифметический квадратный корень из числа.
Как найти квадратный корень из десятичной дроби
При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:
Более подробно разберем на примере ниже.
№ 307 Алимов 9 класс
Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».
По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».
Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».
Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.
Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.
Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».
Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».
Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».
Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:
Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».
Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.
Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».
Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.
В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.
Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7
Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.
Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7
Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.
Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:
«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7 ≈ 2,646