в каком классе изучают теорему пифагора по геометрии

Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок)

Разделы: Математика

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала

(Подготовка к восприятию нового материала).

По готовым рисункам заданы классу вопросы:

Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).

1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 45 0 )

3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?

Рисунок 3 Рисунок 4

По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

III. Объяснение нового материала.

“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)

А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:

1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”

Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.

Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?

Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:

Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.

Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.

В каком из европейских городов есть улица Пифагора?

Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.

После этого объявляется тема урока и цель.

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.

Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.

Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.

Показываю рисунок 7.

Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.

Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 (с 2 = а 2 + в 2 ).

1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).

2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?

S_EFLD = S_PKMN + 4SD _ABC = c 2 + 4ав = с 2 + 2ав

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав

А для чего нужна теорема Пифагора?

Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)

Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.

Найдите d по рисунку 11.

d 2 = 6 2 + 8 2 (треугольник прямоугольный)

Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?

Ответ: только для прямоугольного треугольника.

А теперь вернемся к задаче о лотосе.

x 2 + x + — x 2 = 4

x = 3.

Ответ: 3 фута.

Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.

AC 2 = 0,5 2 + 1 2 = 0,25 + 1 = 1,25

х 2 = AC 2 + CD 2 = 1,25 + 1 = 2,25

Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)

Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).

IV. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

Домашнее задание.

П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.

Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.

V. Итог урока.

Вопросы к учащимся:

Источник

Тема урока: «Теорема Пифагора и ее применение»

Разделы: Математика

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х-педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении).

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

1. Найдите пропущенное число (рис.1).

2. Назовите два следующих числа.

Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2).

— Какие бывают треугольники?

— Какой треугольник называется прямоугольным?

— А какая фигура называется квадратом?

— Как мы находим его площадь?

— Ребята, наша исследовательская деятельность продолжается.

Назовите элементы прямоугольного треугольника (рис.3).

(На боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон)

— Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

— Итак, определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

— Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – “Теорема Пифагора”. Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

— На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

— Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

(Правая боковая сторона доски с треугольником)

Дано: АВС-прямоугольный

доказать: с 2 = a 2 + b 2

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а 2

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в 2

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с 2

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

— Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

“Пифагоровы штаны во все стороны равны”
и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала
(на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

У египтян была известна задача о лотосе. «На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами (рис.6).

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами

На экране компьютера появляется карта Древнего мира (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник (см. презентацию – приложение).

Учитель: А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 8).

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9).

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским” (рис.10).

У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы, каждый самостоятельно, решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на доске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса (рис.11).

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора.

А за великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса “Учителя года”, успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками (рис.12).

— Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами” (см. последний слайд презентации – приложение).

Информационные технологии на уроках геометрии

а) Развитие психических процессов: памяти, внимания, мышления, воображения.

б) Повышение мотивации обучения учащихся.

в) Расширение кругозора учащихся и обогащение словарного запаса. Развитие познавательного интереса.

Обучение детей трудолюбию и аккуратности.

“…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…” Иоганн Кеплер

ХОД УРОКА.

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении)

Назовите элементы прямоугольного треугольника/(ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/

— Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

— Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ

— Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – “Теорема Пифагора”. Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

— На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

–Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

/правая боковая сторона доски с треугольником/

доказать: с 2 = a 2 + b 2

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а 2

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в 2

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с 2

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

–Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

“Пифагоровы штаны во все стороны равны” и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала.

( на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

У египтян была известна задача о лотосе. «На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами. (рис.6)

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами

На экране компьютера появляется карта Древнего мира. (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник. (см. презентацию )

Самостоятельная работа

Учитель: А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 8)

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9)

Математическое лото

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.(рис.10)

У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы, каждый самостоятельно, решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на доске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса. (рис.11)

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора

А за великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса “Учителя года”, успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками.(рис.12)

— Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами”

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Цели урока:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Прогнозируемый результат:

1-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

2-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

3-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения нестандартных задач.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Основные этапы урока:

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

III. Вступительное слово учителя.

Ребята, я рада видеть вас на нашем уроке и предлагаю вам перенестись в Древнюю Грецию и стать учениками пифагорейской школы, которая расположена на острове Самос в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолете, ведь время у нас ограничено – 45 минут. Итак, мы в самолете.

А вот уже мы «ступили» на остров (слайд 2)

Нас встречает житель этого острова. (слайд 3)

– Какой геометрической фигурой он представлен?

– Какой треугольник называется прямоугольным?

– Как называются его стороны?

– Укажите название каждой стороны треугольника.

– Перечислите некоторые свойства прямоугольных треугольников.

– Как найти площадь прямоугольного треугольника?

IV. Устная работа.

Чтобы попасть в самое «сердце» острова решите несколько задач.

а) По данным рисунка 1 найдите угол β.
б) По данным рисунка 2 определите вид четырехугольника KMNP.

V. Создание проблемной ситуации.

Решите задачу: «Найдите длину лестницы, приставленной к дому, если один ее конец находится на расстоянии 2 м от стены, а другой на стыке стены. Высота дома 4 м». (слайд 5)

Итак, из рисунка видно, что нужно найти гипотенузу АВ, зная катеты АС и ВС. Но мы пока не умеем решать такие задачи, поэтому цель урока – установить связь между сторонами прямоугольного треугольника, научиться находить гипотенузу, зная катеты и, наоборот, зная гипотенузу и один из катетов, находить другой катет. Зависимость между гипотенузой и катетами установил древнегреческий ученый Пифагор, доказав теорему, которая называется теоремой Пифагора.

Тема урока «Теорема Пифагора» (слайд 6)

VI. Прежде чем, доказывать теорему Пифагора, проведем практическую работу по вариантам.

(слайд 7 этапы практической работы)

(один ученик выполняет у доски)

Что вы можете сказать о полученных площадях?

Вывод: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал Пифагор. (Слайд 8)

VII. Мы с вами на о. Самос, нас встречают экскурсоводы.

б) 2-й экскурсовод. В 530 г. до н.э. Пифагор основал так называемую пифагорейскую школу. Около сорока лет учёный посвятил себя, созданной им школе. Учеников школы называли пифагорейцами. Они занимались не только математикой, но и философией, естественными науками.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

VIII. Интересна и история теоремы Пифагора.

Об этом вы узнаете из учебника геометрии 7-9 автор Л. С. Атанасян и др. стр. 130. Известно более 100 способов доказательства теоремы, докажем один из них.

Доказательство теоремы (один ученик у доски). (слайд 9)

IX. Решение задач.

1) Решите задачу о нахождении длины лестницы. (вернуться к слайду 5)

2) Решение задач по готовым чертежам. (слайд 10)

3) Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII Бхаскары: (слайд 11)

(один из учащихся решает у доски, если возникнут трудности, воспользоваться подсказками (слайды 15-16))

X. Мы возвращаемся домой. Подведем итог путешествия.

Аргументировано оценивается деятельность учащихся на уроке, замечания и предложения по уроку.

Домашнее задание п. 37 №№ 1492 (б), 1489 (в), 1488. (слайд 12)

XI. А сейчас веселая минутка

(С вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?)

(слайд 13 видео-ролик из детского юмористического киножурнала «Ералаш»)

Источник