в каком классе изучают синусы и косинусы тангенсы котангенсы
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
В каком классе изучают синусы и косинусы тангенсы котангенсы
Или их изучают в разных классах, в зависимости от того, какой это курс математики: алгебра или геометрия?
моя в 8 еще не изучала
а я изучала в 8 по пограмме 1-10
На геометрии изучают в конце 8-го, хотя иногда бывает и только в 9-ом, вроде бы.
На алгебре всегда изучали в 9-ом, но в новой программе переехали аж в 10-ый.
Или их изучают в разных классах, в зависимости от того, какой это курс математики: алгебра или геометрия?
на геометрии в 8, как отношение сторон в прямоугольном треугольнике
на алгебре в 9, со всякими формулами приведения и пр.
в 10-11, по-моему, аркиснусы и арккосинусы, плюс графики функций
Там могут и в 5-м изучать.:065: Я про программу в «нормальной» школе интересовалась.
моя дочь учится по новой нумерации 11 лет, началка 1-4 (т.е. полных 11 лет)
по геометрии в 8 классе, по алгебре весной в 9 классе проходили. Программа самая обычная, т.к. языковая гимназия
:)) я в 89 ещё не родилась, так что, видимо, по новой).
:005: моя в 8 не проходила (настаивает категорически), а наши в одной школе учатся:065:
Что-то у вас с геометрией в школе. как бы это сформулировать. Должны были проходить. В третьей четверти.
а вместе с треугольниками не проходили по геометрии?
вот по алгебре в 9классе точно проходили:ded:, а по геометрии может я и путаю:009:
учебник Атанасяна.
Вот вернется моя с отдыха через неделю, тогда и спрошу;)
Что-то у вас с геометрией в школе. как бы это сформулировать. Должны были проходить. В третьей четверти.
учебник Атанасяна, но деть клянется, что не проходили. Может опять наш класс не успел «типа». или не созрел:015:
В современных учебниках по алгебре, 2009-2010 гг. (в Алимове, например), тригонометрия вынесена вообще в 10 класс. Ну это для тех, у кого алгебра 3 часа в неделю, конечно. И для них это не очень удивительно. В ГИА никакой тригонометрии нету вроде как.
а теорему Пифагора проходили?
она там соседствует с синусами-косинусами
и времени и «созревания» на них много не надо 🙂 намекните учителю, если что 🙂
Да, теорему Пифагора прошли хоть? Или они там курс 7 класса два года изучали?
Да, теорему Пифагора прошли хоть? Или они там курс 7 класса два года изучали?
теорему Пифагора прямо в конце года перед каникулами проходили:)
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;
3) Знаки тригонометрического выражения.
Число 
(пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?
У точек первой четверти 
у точек второй четверти 
у точек третьей четверти 
у точек четвёртой четверти 
В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами
А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?
Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.
1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.
Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол 
переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.
Синусом угла
является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 
.
Косинусом угла
является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 
.
Если угол 
то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь 
, значит
Если угол 
, то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь 
, 
, значит
, 
.
Если угол 
, то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь 
, 
, значит 
, 
На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла 
.
Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол 
.
во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.
Ответ: 
Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла 
.
Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен 
.
а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.
Ответ: 
Определить знаки синуса и косинуса угла 
.
Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.
в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.
Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.
Определить знаки 
.
Решение: Знаем, что
, а 
. Значит, 
. Точка во второй четверти.
Ответ: 
2.Знаки тангенса и котангенса.
Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу: 
Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: 
.
Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.
Определить знак тангенса угла 
Решение 
, угол второй четверти
Определить знак тангенса угла 
.
Решение: Угол 
в третьей четверти, тангенс положительный.
Ответ: 
Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:
Конспект урока математики в 10 классе по теме «Синус и косинус. Тангенс и котангенс.» (базовый уровень, учебник Мордковича).
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема: Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
1. На предыдущих уроках мы познакомились с математической моделью «числовая окружность» и научились изображать любое число точкой на этой окружности.
(Повторить, что такое единичная окружность, можно, просмотрев презентацию № 1.)
Проверь себя! Отметь на числовой окружности числа:
; 
; 
.
У тебя должно получиться:
2. Расположив числовую окружность в координатной плоскости, мы научились находить декартовы координаты точек.
Таким образом каждому числу соответствует точка на окружности, а каждой точке – две координаты.
Число t => точка М => (координата х; координата у)
Ясно, что для большинства точек координаты могут быть найдены только приблизительно, но для «особенных» точек, выражающих целое число 
, а также вторые, третьи, четвёртые и шестые части , мы нашли координаты абсолютно точно.
(Повторить, как это делалось, можно, просмотрев презентацию № 2.)
3. Выполнение заданий из учебника.
а) t =0 
М(1;0) 
б) t = 
не существует, т.к. на ноль делить нельзя;
г) t =π М(-1;0) 
б) t = 
;
в) t = 
М( 
; 
) 
;
г) t = 
М( 
) 
Найти значение выражения.
а) 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
= 
;
б) 
= 0, т.к. 
=0.
Для выполнения этих заданий всегда нужно иметь перед собой составленную ранее схему:
Советую всегда иметь перед глазами эту картинку, пока она не будет сама возникать в памяти, т.к. выучить наизусть таблицу значений тригонометрических функций, как стихотворение, нельзя.
На следующих уроках будет рассказан алгоритм восстановления в памяти значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для чисел из первой четверти.
Домашнее задание: §6 стр. 49-51, № 6.4, 6.6вг, 6.7б.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.