в каком классе изучают матрицы по математике

Элективный курс «Алгебра матриц», 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Данная программа «Алгебра матриц» является элективным курсом для учащихся 9 классов. На основе полученных знаний и с помощью матричной символики в профильном математическом классе изучается курс «Математическая статистика».

Матричная символика оказалась весьма удобным и эффективным способом упорядочения информации. Представление совокупностей математических элементов в виде матриц и правила операций над ними оказались плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Работа с матрицами не только экономит время, но и определяет более высокий уровень математической культуры и мышления.

Данный курс преследует цель познакомить учащихся с матричной символикой и основными понятиями алгебры матриц, а также научить их уверенно оперировать с матрицами как объектами более общего характера по сравнению с числами и функциями. Этот курс является базой для изучения курса «Математическая статистика». В то же время он облегчает усвоение информатики и способствует более глубокому восприятию информационно-вычислительной техники. Курс «Алгебра матриц» расширяет представление о возможностях математики. В результате изучения курса «Алгебра матриц» учащиеся узнают:

— типы и формы матриц;

— действия над матрицами;

— понятие определителя и его свойства;

— методы вычисления определителей.

— складывать, перемножать матрицы;

— вычислять определители методом элементарных преобразований, единственного деления, опорного элемента.

В процессе изучения материала предполагаются традиционные формы обучения в сочетании с нетрадиционными(индивидуальная работа, групповая, взаимное обучение, саморазвитие).

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

— срезы знаний, умений в процессе обучения;

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческая активность и результативность учащихся.

Динамика интереса отслеживается с помощью анкетирования на первом и последнем занятиях, собеседования в процессе работы.

Итоговый контроль предусматривает:

— творческую работу по преобразованию определителей;

— написание и защиту рефератов.

Учебно-тематическое планирование материала

Источник

Урок «Операции с матрицами» в 11 классе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА. ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ

Учитель математики «Специализированного экономического лицея»

Город Актау Мангистауской области

Дидактические основы урока:

Программа прикладного курса в экономическом лицее предназначена для 10-11 классов с углубленным изучением математики, содержит 68 часов и рассчитана на уже полученные знания математики по всем темам школьного курса. Данная программа существует с 2005 года и показала свою результативность. Она является прикладным курсом (2 ч в неделю) к основным часам (4 часа алгебры +3 часа геометрии).

Задачи: углубление и расширение знаний учащихся по высшей математике, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, подготовка необходимого аппарата для изучения математики, физики на первом курсе технического высшего учебного заведения.

Программа прикладного курса опубликована в республиканском методическом журнале «Физика и математика» в 2005 году, несколько раз утверждалась методистами облИПК. Проведены открытые уроки на областном семинаре учителей математики, интерактивные уроки. Распространен опыт учителей в областных и городских щколах. Отправлены статьи для публикации в республиканский методический журнал в этом году.

Данная разработка урока предназначена для учителей математики, которым интересна программа прикладного курса и тема урока.

Цель урока: формирование понятия «матрица», практических умений и навыков.

Теоретическая часть урока: Анимацией называется искусственное представление движения в кино, на телевидении или в компьютерной графике путем отображения последовательности рисунков или кадров с частотой, при которой обеспечивается целостное зрительное восприятие образов.

Принятое в мире профессиональное определение “анимация” (в переводе с латинского “анима” – душа, “анимация” – оживление, одушевление) как нельзя более точно отражает все современные технические и художественные возможности анимационного кино, ведь мастера анимации не просто оживляют своих героев, а вкладывают в их создание частичку своей души.

Что такое компьютерная анимация?

Это “оживление” изображений на экране дисплея, синтез динамических изображений на компьютере.

Большой вклад в создание анимационных роликов внесла математика, а точнее матричная алгебра.

Ведь чтобы создать движущийся объект на экране, нужны программы, в основе которых лежат матрицы. Объект имеет координаты в пространстве. Задавая матрицы трансформации: поворота, смещения, увеличения и т.д., мы можем заставить объект двигаться, вращаться, поворачиваться.

Начнем знакомство с матрицы.

Например, матрицу А называют матрицей размера 3х3 или матрицей третьего порядка.

-единичные матрицы. На главной диагонали расположена цифра 1

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. В матричном исчислении эти матрицы играют роль чисел 1 и 0 в арифметике.

Практическая часть урока:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.Например:

+ =

Умножение матрицы на число: например 2х =

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Например, умножение двух матриц:

№ 1.

№ 2.

№ 3. х =

Найти значение матричного многочлена f ( A ):

№ 4.f(x)= , еслиА =

f(A)=-2 +5A+9E=-2

№ 5.f(x)= , еслиА =

f ( A )=3

№ 6. f ( x )= , если А=

f ( A )=

+

№ 7. f ( x )= ,еслиА= ответ:

№ 8. f ( x )= , еслиА= ответ:

№ 9. f ( x )= , еслиА= ответ:

№ 10. х =

№ 11. х =

Выводы : Обращение к ученикам: «На уроке вы усвоили понятие «Матрица», научились складывать и умножать матрицы. На следующих уроках прикладного курса математики вы научитесь вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, научитесь решать системы уравнений методом Гаусса и с помощью формул Крамера (то есть с помощью определителей матрицы находить решение системы уравнений)»

130000 Мангистауская область город Актау 15 микрорайон 31 здание «Специализированный экономический лицей»

Источник

Урок по теме: «Квадратная матрица». 11-й класс

Класс: 11

Урок по теме “Квадратная матрица” входит в состав содержательной линии “Информационные технологии”.

Продолжительность урока – 2 часа.

Первая часть урока – проверка знаний учащимися основных понятий темы массивы: табличные данные, их индексация, размерность, объявление, типы массивов, обращение к элементу массива (проводится в виде фронтального опроса).

Вторая часть – знакомство с новой темой на основе обучающей программы-презентации “Квадратная матрица”, в которой рассказывается об основных понятиях темы: об индексации элементов матрицы, о главной и побочной диагоналях, различных способах формирования массива.

Учащимся предлагаются для решения дифференцированные задания с постепенно возрастающим уровнем сложности.

Тип урока: лекционно-практическое занятие.

Оборудование: ПЭВМ, раздаточный материал.

1. Приветствие учащихся. Запись числа, темы урока: “Квадратная матрица”.

2. Фронтальный опрос.

Учащимся предлагается ответить на вопросы “Проверочных заданий”.

1. Что такое массив?

2. Какие массивы Вам известны?

3. Какой массив называется двумерным?

4. Как выглядит обращение к элементу массива А в общем случае?

5. Что такое размерность массива?

6. Перечислите элементы программы, содержащей массив?

7. Что такое объявление массива?

8. Расшифруйте следующие записи: Все ли описания сделаны верно?

i,j: integer;var B: arrey [1..7,1..4] of integer;

i,j: integer;var C: array [1..4,1..4] of real;

i,j: real;var D: array [1..N,1..M] of integer;

9. Какие вам известны способы заполнения массива?

10. Рассмотрим двумерный массив А (рис. 2.1.):

Объявите данный массив.

Определите месторасположение элементов со следующими значениями

3. Квадратная матрица (рассказ учителя сопровождается демонстрацией презентации по данной теме).

Квадратная матрица- это двумерный массив, в котором количество строк равно количеству столбцов. Обращение к элементу происходит также как и в обычном двумерном массиве A[i,j]. Умение работать с квадратными матрицами пригодится вам при решении систем уравнений. Существует целый арсенал численных методов решения систем уравнений, базирующийся на понятии матрица.

Перечислим основные свойства квадратной матрицы (рис. 3.1.):

2. Квадратная матрица, у которой все элементы, исключая элементы главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей (рис. 3.2.)

3. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей (рис. 3.3.):

Обращение к элементу главной диагонали выглядит как A[i,i], к элементу побочной как A[i,n-i+1], где n – количество строк матрицы.

Итак, мы уже знаем, что при составлении программ с массивами выполняются несколько этапов:

1. Объявление массива.

2. Заполнение его одним из трех способов: с клавиатуры, по правилу, случайным образом.

3. В зависимости от условия задачи выполнение расчетов или сортировки элементов матрицы.

Объявление квадратной матрицы в общем виде выглядит следующим образом:

Например, объявляется целочисленная квадратная матрица из 5 строк

var A: array [1..5,1..5] of integer;

Опишите объявление матрицы из 7 строк, заполненной вещественными числами: var A: array [1..7,1..7] of real; i,j: integer;

Для заполнения квадратной матрицы используется один из трех уже известных нам стандартных блоков:

Источник

Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

Умножение матрицы на число

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Источник

План конспект урока по математике на тему «Матрицы. Операции с матрицами. Определитель»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ООО Учебный центр «ПРОФЕССИОНАЛ»

2 курс ( ГБОУ ПОО «Златоустовский техникум технологий и экономики»)

на тему «Матрицы. Операции с матрицами. Определитель»

Разработала: Русакова Яна Викторовна

Проверила: Гусева Валентина Борисовна

начальник методической службы ГБОУ ПОО «Златоустовский техникум технологий

Дата проведения: 28 мая 2017г.

Тип урока: урок изучения нового материала

Образовательная: отработать теоретический материал по теме: «Матрицы. Операции с матрицами. Определитель». Сформировать навыки выполнения операций над матрицами, вычисления определителя матрицы.

Развивающая: содействовать развитию вычислительных навыков учащихся, логического мышления,

Воспитательная: воспитывать умение применять теоретические знания на практике; внимательность, самостоятельность.

Планируемые образовательные результаты.

Студент должен знать:

понятие матрицы и ее элементы;

основные виды матриц;

свойства операций над матрицами;

понятие минора алгебраического дополнения и определителя матрицы.

виды определителей и их свойства.

Студент должен уметь:

определять вид матрицы

выполнять операции с матрицами (сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу).

вычислять определитель матрицы.

Основные термины, понятия: матрица, определитель матрицы, минор, алгебраическое дополнение.

Оборудование : доска, мел, компьютер, проектор.

1) Организационный этап. (2 мин.)

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. (2 мин.)

3) Первичное усвоение новых знаний. (30 мин.)

4) Первичная проверка понимания. (25 мин.)

5) Первичное закрепление. (15 мин.)

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. (4 мин.)

7) Рефлексия (подведение итогов занятия). (2 мин.)

1. Организационный этап.

Приветствие студентов. Проверка наличия студентов в аудитории.

2. Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Матричная алгебра широко применяется в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике, электронике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений.

При решении систем линейных уравнений используют такие методы как: Метод Гаусса, Метод Крамера, Матричный метод. Данные методы связаны с понятием матрицы и определителя матрицы.

3. Первичное усвоение новых знаний.

Определение матрицы. Виды матриц.

Матрица – таблица прямоугольной формы, заполненная числами или символами их обозначающими.

Матрица записывается в виде:

2) А=

m – количество строк;

n – количество столбцов.

Дана матрица A размера 3×4.

Матрицу называют квадратной, если количество ее строк и столбцов совпадают ( m = n ).

Матрица — квадратная матрица третьего порядка.

Матрица строка – матрица размера , состоящая из одной строки.

Матрица столбец – матрица размера , состоящая из одного столбца.

Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали, равны дулю.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Единичная матрица – диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице.

;

Операции над матрицами.

Операция сложения матриц вводится для матриц одинакового размера. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.

,

Свойства операции сложения матриц:

Операция вычитания матриц производится аналогично сложению.

Найти сумму и разность матриц и

Умножение матриц на число.

При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.

,

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Свойства операции умножения матриц:

Найти произведение двух матриц и

,

Вычисление определителя второго порядка

Дана квадратная матрицы второго порядка.

Определителем второго порядка матрицы A называется число

Из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

Вычислить определитель второго порядка.

Вычисление определитель третьего порядка (метод треугольников)

Дана квадратная матрицы третьего порядка

Определителем третьего порядка матрицы А называется число

Для начала перемножаем элементы главной диагонали и описываем два треугольника вокруг диагонали следующим образом:

Элементы, стоящие на вершинах треугольника, перемножаем.

Затем ставим минус, перемножаем элементы побочной диагонали и описываем два треугольника вокруг побочной диагонали:

Вычислить определитель третьего порядка методом треугольников.

Разложение определителя по элементам какой-либо строки или столбца.

Минором какого либо элемента определителя А называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которого находится этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя А называется его минор, взятый со знаком

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

— разложение определителя по элементам строки.

— разложение определителя по элементам столбца.

— величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами;

— определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число (то же самое и для столбца);

— определитель меняет знак, если поменять местами строки или столбцы;

— общий множитель строк или столбцов можно вынести за знак определителя;

— определитель равен нулю, если все элементы какого-либо столбца или строки равны нулю;

— определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

4. Первичная проверка понимания.

Студенты выходят к доске и с помощью преподавателя решают задания.

Пример 11. Дана матрица и . Найти:

Пример 12: Вычислить определитель второго порядка.

Пример 13: Вычислить определитель третьего порядка методом треугольника

Пример 14: Вычислить определитель разложением по элементам, какой либо строки или столбца.

Воспользуемся свойствами определителя и обнулим все элементы, стоящие в первом столбце кроме первого. Для этого: каждый элемент первой строки умножим на 2 и прибавим к ним соответствующий элемент второй строки; каждый элемент первой строки умножим на (-5) и прибавим к ним соответствующие элементы третьей строки.

Пример 15: Вычислить определитель четвертого порядка.

5. Первичное закрепление.

Студентам предлагается самостоятельно на оценку выполнить следующие задания:

1. Даны матрицы ,

Найти:

2. Дана матрица . Вычислить определитель матрицы.

3. Вычислить определитель

6. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

1. Выучить теоретический материал;

2. Выполнить действия над матрицами

, ,

3. Вычислить определитель матрицы третьего порядка

4. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка

7. Задание ученикам по рефлексии их деятельности.

Итак, сегодня мы с вами изучили тему: «Матрица и определитель». Давайте повторим основные понятия данной темы: матрица, виды матриц, определитель, минор, алгебраическое дополнение. Какие действия мы можем выполнять с матрицей?( сложение, вычитание, умножение на число, перемножения матриц).

Также мы научились: вычислять определитель второго порядка, третьего порядка методом треугольников, применять метод вычисления определителя с помощью разложения по элементам строки и столбца.

Список использованной литературы

Шипачев В.С. Начала высшей математики: Учебное пособие для вузов. – 3-е издание., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 384с.: ил.

Конспект лекция по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009 – 608с.: ил.

Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.- 320с.

Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч:Учебное пособие для вузов/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко.. — 7-е, 1999. —288 с. Изд., испр. – М.:ООО «Издательство Оникс»: «Издательство «Мир и образование»», 2008.-368с.

Источник