в каком году появилась двоичная система счисления

Двоичная система счисления

Все что-то слышали о двоичной системе счисления, все знают, что это некий «язык компьютеров». Но почему именно так? Почему не пользоваться привычной десятичной системой? В чем, собственно, смысл?

Что такое двоичная система? Это позиционная система счисления с основанием 2. Вот только цифры «два» в ней нет, есть только 0 и 1, и так как цифры две, система называется двоичной (бинарной).

Современный цифровой язык, это ноли и единицы, больше ничего и не нужно. Самое интересное, так называемый машинный код использовался людьми задолго до появления самих машин, а, возможно, даже по появления чисел.

Зачем нужна двоичная система

Двоичная, или бинарная система счисления удобна своей простотой. С помощью комбинации нолей и единиц можно записать любой число и любую букву, что угодно может быть закодировано таким образом.

Но главное, что значения всего два. Это либо «ноль», либо «единица». Сигнал либо есть, либо его нет, свет горит или не горит, есть отверстие или нет (перфокарта), намагничен сектор или размагничен… Аналогии можно приводить бесконечно. Главное, что кодировать сигнал просто. Не нужно создавать сложные механизмы или устройства, достаточно только двух состояний.

Например, еще до того как люди научились считать и писать, сигналы передавались с помощью дыма от костра или ударов в барабаны.

Бинарная система — это просто, ничего проще просто нет. Есть, конечно, и древнейшая унитарная система, где значение всего одно (например, только 1) но с ее помощью нельзя ничего закодировать.

В любой микросхеме транзистор может прибывать в двух положениях «закрыто» или «открыто» (0 или 1) ток пропускается или нет.

Кстати, азбука Морзе — это тоже двоичный код (точка или тире), так же, как и древнейшая сигнальная система — «оптический телеграф». Это это просто огонь костра, который можно закрыть и открыть (огонь есть, или огня нет) ночью, а днем так же использовать дым.

Да, двоичная система используется потому, что с ее помощью удобно кодировать информацию, нужны всего 2 значения. Но удобно ли это считать?

Как считать

Как использовать двоичную систему для записи чисел? Так же как и десятичную. Самым простым примером можно считать кодовый замок, такой как на чемоданах. Каждый диск которого, вращается и может принимать значение от 0 до 9. Достаточно представить, что вместо десяти цифр есть только 2, ноль и единица.

Так как система позиционная, это будет выглядит так:

Сейчас здесь записано число «ноль». Чтобы получилась единица, нужно провернуть крайний правый диск один раз.

Начинается самое интересное, как будет выглядеть число «два»? Крутим правое колесико… И снова получаем 0, ведь других значений нет. Нужно поступить так же, как и в десятичной системе, перенести разряд влево. Только в десятичной, это происходит когда значение превышает 9, а в двоичной сразу после 1.

Сто в двоичной системе — это 1100100.

Очень интересно в бинарной системе выглядит таблица умножения:

Легко запомнить, неправда ли? 0*0=0, 0*1=0, 1*1=1… И все!

Все математические операции выполняются точно так же

Если сложит в столбик то получается нагляднее

100

Складываем ноли, получаем 0, складываем две единицы, получаем ноль (2 раза провернули диск) и единичку переносим вправо.

Как видите, математика та же, вот только запись чисел неудобная, слишком много нолей и единиц, для человека — неудобно, машине же все равно.

Так же как с цифрами можно поступить с буквами. Латинская буква «a» будет выглядеть как 01001010 кириллическая «а» — 000011100010111000011001, и даже пробел — 00010100.

История создания

Ясно, что человечество пользовалось двоичным кодом очень давно. И сигнальные системы с дымом от костров и даже китайская Книга Перемен (700 лет до нашей эры) с ее гексаграммами известны очень давно. Но окончательно практический смысл бинарный код получил совсем недавно (если не считать азбуку Морзе).

Великий Лейбниц занимался двоичной системой в 17 веке, но применить бинарную систему счисления было особо негде. В том же Веке Паскаль создал свою счетную машину (суммирующую), использующую десятичную систему. Оказалось, что считать на таком «калькуляторе» не так уж и удобно.

Суммирующая машина Паскаля (десятичная)

И только в 40-х годах 20 веке, вместе с появлением первых электронный вычислительных машин двоичный код явил всю свою безусловную полезность и красоту. Именно как машинный язык. Записывать информацию в котором гораздо проще, чем привычными нам средствами, буквами и цифрами.

То же самое, в двоичном коде можно сделать проще

Для чего нужна двоичная система счисления сегодня, мы прекрасно знаем, у каждого в кармане есть смартфон. На самом деле, ноли и единицы используются намного чаще, чем десятичная система, даже если мы, люди, этого и не видим. Не удивительно, мы использовали двоичную систему на протяжении всей истории, но до эры машин даже не замечали этого.

Источник

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Содержание

Двоичные цифры

В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

История

Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x_2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

Целые числа со знаком записываются в виде:

Дробные числа записываются в виде:

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,1101₂=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,1101₂= 0,8125₁₀
2) 0,356₈=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,356₈=0,46484375₁₀
3) 0,A6E₁₆=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E₁₆=0,65185546875₁₀

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,116₁₀=11001110,0001110110₂

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Источник

Двоичная система

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует один двоичный логический элемент (инвертор с логикой на входе) с двумя состояниями (открыт, закрыт).

Содержание

Таблица умножения двоичных чисел

Использование двоичной системы при измерении дюймами

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1 называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110011. Какому числу оно эквивалентно? Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего запишите данное число следующим образом:

Затем, начиная с двоичной точки, двигайтесь влево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110011 равнозначно 51.
Либо .

Преобразование методом Горнера

Для того, что бы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева-направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел к ближайшей степени двойки, неменьшей этого числа

Ниже приведена функция, возвращающая число, неменьшее аргумента, и являющееся степенью двух.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем в остаток 1 или 0. Продолжать деление надо пока в делимом не будет 1. Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи (начиная с конца): 10011.

Другие системы счисления

В статье «Системы счисления (продолжение)» [1] описываются преимущества и недостатки 4-ричной системы счисления по сравнению с двоичной в компьютерах, созданных Хитогуровым.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Двоичная система» в других словарях:

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА — ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА, в математике система счисления, имеющая ОСНОВАНИЕ 2 (десятичная система имеет основание 10). Она наиболее пригодна для работы с компьютерами, поскольку отличается простотой и соответствует двум положениям (открытое 0 и закрытое… … Научно-технический энциклопедический словарь

двоичная система — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN binary system … Справочник технического переводчика

двоичная система — dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. binary system vok. Binärsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Automatikos terminų žodynas

двоичная система — dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. binary system; dyadic system vok. Binärsystem, n; Dualsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Fizikos terminų žodynas

Двоичная система — Жарг. студ. Шутл. Сильное опьянение. ПБС, 2002 … Большой словарь русских поговорок

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ДВОИЧНАЯ система СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Современная энциклопедия

Двоичная система счисления — ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Двоичная система исчисления — система, использующая для представления буквенно цифровых и иных символов наборы комбинаций цифр 1 и 0, основа используемых в цифровых ЭВМ кодов … Издательский словарь-справочник

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — позиционная система счисления с основанием 2, в которой имеются две цифры 0 и 1, и их последовательностями записываются все натуральные числа. Напр. цифра 2 записывается как 10, цифра 4 = 22 как 100, число 900 как 11 значное число: 11 110 101 000 … Большая политехническая энциклопедия

Источник

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с целочисленным основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с целочисленным основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Содержание

История

Индийский математик Пингала ( 200 год до н. э. ) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления. [1] [2]

В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам. [3] (См. Шифр Бэкона )

Таблицы умножения и сложения двоичных чисел

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1 называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, что бы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева-направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел к ближайшей степени двойки, не меньшей этого числа

Ниже приведена функция, возвращающая число, не меньшее аргумента, и являющееся степенью двух.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем в остаток 1 или 0. Продолжать деление надо пока в делимом не будет 1. Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи (начиная с конца): 10011.

Программная реализация перевода (Borland Delphi 7): Используется метод деления с остатком.

См. также Деление с остатком (деление по модулю)

Двоичные показательные позиционные системы счисления с основанием показательной функции не равной 2

Сравнение с другими системами счисления

Сравнение различных показательных систем счисления по одному параметру — удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел приводится в статье « Число представимых чисел в позиционных системах счисления ».

Применения

В цифровых устройствах

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

См. также

Примечания

Ссылки

Источник