можно ли вероятность выражать в процентах

96% людей не могут ответить правильно на этот вопрос.

Какова вероятность того, что, выбрав вариант ответа случайным образом, вы ответите на данный вопрос правильно?

а) 25% б) 50% в) 75% г) 25%

не надо сюда перепачивать треды с нульчана

1 к 4, значит 25 вроде.

Где вариант 4%? Или 33% можно округлить до 4%?

не, тут уже была подобная задачка, что-то там бесконечная скорость или что то еще. Тут как не ответь на первый взгляд.

На _данный_ вопрос пункт «а»

На какой, блджад, вопрос?!

вероятность один к четырём.

33%
я угадал?
хотя по некой теории имеют равные шансы ещё и 50 и 75.
бяда-бяда

> не надо сюда перепачивать треды с нульчана

если на поставленный в шапке вопрос (т.е. с четырьмя вариантами ответа)

> На какой, блджад, вопрос?!

>96% людей не могут ответить правильно на этот вопрос.

ты бы хоть количество вариантов озвучил, для разнообразия

Источник

Что такое вероятность

Это слово можно слышать каждый день, но, если задуматься, то что такое вероятность? И как часто в повседневной жизни мы встречаемся с вероятностями? Может, не все так просто, как кажется на первый взгляд? Есть несколько интересных свойств (если не сказать странных)..

Вероятность события

Люди начали задумываться о вероятности и случайности наверное с тех пор, как изобрели азартные игры. Древнейшая из них — игра в кости. Самые старые кости датируются 20 веком до нашей ты и были найдены в Египте. Скорее всего, древние люди расценивали исход игры, как волю богов, но не замечать закономерности не могли.

Первым, кто правильно посчитал количество вариантов комбинаций из трех кубиков, был Галилео Галилей. Оказалось, что всего таких комбинаций 216 штук (6х6х6=6 3 ). 3 500 лет до Галилея никто не мог посчитать это правильно, хотя многие пытались.

Сегодня мы сталкиваемся с этим понятием каждый день, но плохо его понимаем и не умеем толком оценивать.

То, что люди не умеют правильно оценивать вероятности и риски с этим связанные, было доказано еще 1979 Даниэлем Канеманом и Амосом Тверски. А в 2020 году за эту работу Канеман, (Тверски к тому времени уже умер) получил Нобелевскую премию по экономике.

Пока приходится выбирать между «точно случится» и «точно не случится», все в порядке, сравниваем ноль и единицу. А как только дело доходит до таких задач как:

Вероятность опоздать на важное собеседование, если долго выбирать в чем пойти составляет 0,6, но если хорошо одеться, вы будете чувствовать себя уверение и вероятность договориться будет выше — 0,7. Можно быстро собраться и шансы опоздать уменьшаться до 0,1, но и вероятность получить работу сократится до 0,3. Ваше решение.

Скорее всего, принять правильное решение сможет только человек применяющий теорему Байеса ежедневно. Так что такое вероятность события и как она определяется?

Вероятность в математике

Объяснить простыми словами вероятность, конечно, можно сразу и на этом закончить, но если «копнуть» глубже, будет немного сложнее, но интереснее. Начнем с простого.

Поначалу все довольно просто, вероятность — это число от 0 до 1, которое выражает возможность наступления события. Если что-то определенно случится, то вероятность события — «единица», если что-то произойти не может, то вероятность «ноль«. А вот между ними, самое непонятное.

Проще всего показать пример с помощью монетки и известной игры «орел и решка». Если исключить такие варианты как: монетка упадет на ребро, повиснет в воздухе или потеряется, то остается либо орел, либо решка. Один бросок монетки два возможных варианта:

А теперь представим, что вам предложили сыграть в игру, ставка 100 долларов. Вы бросаете монетку 3 раза и если выпадет два «орла» подряд, выигрываете, а если нет — проигрываете. Станете ли вы играть, если да, то сколько раундов? Можете написать в комментарии.

Первая странность

Дело в том, что вероятность и ее оценка полезна только в случае бесконечного числа повторений. Или хотя бы достаточно большого числа, чтобы уверено «округлять» значения для достаточной точности.

Вот симуляция подбрасывания монетки, как видно на графике, чем больше повторений, тем ближе к значению 0,5 (когда ровно половина орлов и половина решек). Но, даже если подбросить монету тысячу раз, будет совсем не 50 на 50, а, например, 0,507 и 0,493.

А когда же вероятность будет 0,5? Если подбросить монетку бесконечное количество раз, то вероятность «орла» составит точно 0,5. А если бросков недостаточно, то никаких 50 на 50 не получится. Попробуйте сами провести эксперимент хотя бы с 100 попытками.

Получается, что в идеальном мире математики и в нашем реальном мире вероятности имеют немного разные значения?

Что такое вероятность события?

Это предел частоты наблюдения этого самого события, при условии, что количество наблюдений стремится к бесконечности.

n — это количество наблюдений, e — это количество событий и, самое важное n→ ∞.

То есть вроде бы тоже что и 1/2 несколькими абзацами выше, но уже с условием, что монетку нужно бросить бесконечное количество раз. Говоря простым языком, вероятность обретает смысл, только в случае большого числа повторений, лучше всего, бесконечного.

Вероятность в жизни

Как работает вероятность в реальной жизни. Представим, что вы заболели болезнью, летальность которой — 5%. Значит ли это, что вы точно не умрете? Нет! Это значит, что если бы вы заболели 100 раз, то в 5 случаях из ста умерли бы. Бесполезное знание, не так ли?

Вторая странность вероятности

Вероятность не всегда имеет практическое значение. 5% — это важная величина, но она имеет смысл только на уровне Всемирной организации здравоохранения, где собирают статистику. Они разделят количество умерших на количество заболевших (и тех и других, миллионы) и получат свои 5%.

Для одного конкретного больного же шанс выжить 0,95 не дает никаких гарантий, он вполне может попасть в эти 5% случаев.

То же и с азартными играми и лотереями. Можно сыграть один раз и выиграть, а можно не выиграть никогда. Вероятность выигрыша важна для казино, они имеют дело с достаточно большими числами для которых теория вероятностей работает. Для рядового игрока считать шансы бессмысленно. Это просто вопрос случайности.

Вероятность и проценты

В обывательском понимании вероятность выражается в процентах. Мы говорим о 100% вероятности, когда все точно известно ли 50 на 50, когда может произойти либо одно событие, либо другое. Математик же скажет, что это не верно, вероятность нельзя переводить в проценты. Правильно говорить 0,5, а не 50%.

Хотя количественно, это ничего не меняет. Так что в быту (пока рядом нет математиков) вполне можно считать, что вероятность 0,2 — это 20%.

Физика

Ситуация така же как и с математикой. Пока мы остаемся в рамках классической механики, все интуитивно понятно. Например, что такое вероятность отказа? Это количество отказавших устройств разделенное на количество всех механизмов.

f — количество отказов, n — количество всех механизмов.

Вот только с оговоркой, что речь идет об определенном промежутке времени, если взять, как математики, бесконечность, то вероятность отказа будет равняться 1. То есть все сломается так или иначе.

Если за время работы 10 000 часов из 10 машин сломалась одна, то вероятность отказа будет 1/10=0,1. Опять все просто и скучно на первых порах.

А вот в квантовой механике все намного интереснее. Здесь все состояния частиц являются вероятностями… В случае с монеткой, она будет находиться в состоянии квантовой суперпозиции, говоря простыми словами выпадет орел и решка одновременно.

Если в нашем большом мире ее состояние можно записать 1 (орел) или 2 (решка), то в мире элементарных частиц квантовой физики: 1-2 или 1+2: «с большей вероятностью орел» или «с меньшей вероятностью решка». Причем речь идет не о большом количестве экспериментов, а о вероятности, что монетка находится в каком-то состоянии прямо сейчас.

То есть мы вообще не знаем, орел там или решка выпало.

Чтобы совсем не запутаться в неопределенностях и запутанностях квантовой физики, вернемся к азартным играм.

Обыграть казино можно, если не играть

Представим ситуацию, вы в казино, и видите, что на рулетке выпало «красное» 3 раза подряд. На что вы поставите? На «черное» или на «красное»?

Если вам кажется, что вероятность выиграть при ставке на черное выше, вы ошибаетесь. Тут речь идет о независимых событиях. У рулетки нет памяти, и при каждом броске шарика вероятность выпадения всегда одинаковая и не зависит от предыдущих. Это когнитивное искажение называется «ошибка игрока» или «эффект Монте-Карло».

В 1913 году в казино Монте-Карло «черное» выпало 26 (двадцать шесть) раз подряд. Многие игроки разорились, полагая, что «ну сейчас то точно красное…»

Третья странность

В случае разных видов событий вероятность ведет себя по-разному.

Например: вероятность сбить самолет одной ракетой составляет 0,6, сколько ракет нужно выпустить, чтобы наверняка сбить самолет одной из ракет? Если вы ответите «две», то будете не правы.

В случае несовместных событий (таких которые не могут произойти одновременно) вероятности складываются: 0,6+0,6=1,2 (немного с запасом).

Но в примере с самолетом, как раз таки выпустить несколько ракет мы можем одновременно тогда нужно использовать другую формулу для сложения двух вероятностей:

То есть, нет, двух ракет будет недостаточно.

А если задаться вопросом: может ли случиться так, что обе ракеты попадут в цель? Такое может произойти, тогда такое событие будет совместным и независимым и вероятность его наступления нужно считать иначе:

Очевидно, что шансов попасть двумя ракетами одновременно меньше, чем попасть только одной из двух. Причем в 2,33 раза меньше.

Разницу между совместными и несовместными событиями можно показать на примере игральной кости. Если мы хотим определить с какой вероятностью на кубике выпадет 6, а с какой 5, речь будет идти о несовместных событиях. Одновременно нельзя получить и то и другое значение. А вот если взять две игральные кости, то одновременно выпасть 6 и 5 может и эти события будут совместными и независимыми.

Но в реальности, если обе ракеты будут запущены по одному и тому же самолету, события не будут независимы. Пока пилот будет уворачиваться от первой ракеты, шансы второй попасть в цель будут расти. Значит эти события все-таки как то связаны. Как быть в таком случае? Тут уж начинает работать в полную силу теория вероятностей, простым языком, без математики никак не обойтись.

Теорема Байеса

На помощь приходит формула Байеса, с помощью которой как раз и можно рассчитать вероятность одного события с учетом того, что произошло другое. В нашем примере, первая ракета промахнулась, но это повлияло на шансы второй, например, они выросли до 0,7. Итак, первый выстрел 0,6, а второй 0,7. Получится ли наверняка попасть?

Как рассчитать условную вероятность сбить самолет второй ракетой:

P(a|b)= P(a) х P(b|a) / P(b)

Тут нужно немного объяснить значения.

P(a|b) — это условная вероятность события b (вторая ракета поразила цель) в результате наступления события a (первая ракета промахнулась, но дала повышенный шанс второй).

P(a) — изначальная вероятность события a, без каких-то условий в нашем случае 0,6.

P(b|a) — вероятность события b при условии, что гипотеза a (про повышение шанса) верна. В нашем случае 0,7

P(b) — полная вероятность. Так как ракет у нас две, считать нужно так: вероятность первого события умножить на 1/2, и вероятность второго на 1/2. Первое событие — промах, значит 1-0,6=0,4, второе событие — поражение цели — 0,7

Полная вероятность будет равна 0,4х0,5+0,7х0,5=0,2+0,35=0,55

В итоге мы получим:

Как видите, все равно не рассчитывать на 100% попадание нельзя.

Конечно, ситуация описанная выше, условная. Это просто иллюстрация для расчета вероятности. Современные ракеты имеют табличные вероятности поражения цели близкие к 0,9, но стоит учитывать то, как эти значения получены.

Это некие симуляции для определенных условий, которых очень много. Например, цель движется навстречу или удаляется? С какого ракурса производится пуск, под каким углом? Цель малозаметная или нет, и какова ее эффективная площадь рассеивания?

А вот для более старых ракет воздух-воздух, можно получить реальные данные: количество выпущенных в боевых условиях ракет и количество сбитых противников. Только, эти, правдивые данные, уже устарели.

Какова вероятность угадать…

Как посчитать вероятность угадать PIN код банковской карточки состоящей из 4 цифр? Вероятность случайно угадать одну цифру 1 к 10 (от 0 до 9).

Если бы цифр было две то к каждому подбору одной цифры добавилось бы еще 10 вариантов другой. То есть, ставим на первое место 0, а на втором может быть любая из 10 цифр. Получается 10х10=100 комбинаций. То есть 10 2 (десять в квадрате).

А вот если в качестве пинкода использовать дату рождения то подбирать нужно уже не 4 случайные цифры. Две первые будут не случайными это или 19, или 20. Тогда комбинаций уже не десять тысяч, а всего 2х100=200. Сотня комбинаций для «19» и еще сотня для «20».

Такая это разностороння штука, вероятность. Согласитесь, иногда повседневное понятие может открыться с новой стороны, стоит попытаться разобраться в нем чуть-чуть лучше.

Источник

Что такое вероятность и как ее посчитать

Пусть будет некий абстрактный эксперимент в процессе которого может происходить некое событие. Этот эксперимент провели пять раз, и в четырех из них происходило то самое событие. Какие выводы можно сделать из этих 4/5?

Есть формула Бернулли, которая дает ответ, с какой вероятностью происходит 4 из 5 при известной исходной вероятности. Но она не дает ответ, какая была исходная вероятность, если событий получилось 4 из 5. Оставим пока в стороне формулу Бернулли.

Сделаем маленькую простенькую программку, симулирующую процессы вероятностей для такого случая, и на основе результата вычислений построим график.

Код этой программы можно найти здесь, рядом же вспомогательные функции.

Полученный расчет закинул в эксель и сделал график.

Такой вариант графика можно назвать распределением плотности вероятностей значения вероятности. Его площадь равна единице, которая распределена в этом холмике.

Для полноты картины упомяну, что этот график соответствует графику по формуле Бернулли от параметра вероятность и умноженный на N+1 количества экспериментов.

Далее по тексту, там где в статье употребляю дробь вида k/n, то это не деление, это k событий из n экспериментов, чтобы каждый раз не писать k из n.

Далее. Можно увеличить количество экспериментов, и получить более узкую область расположения основных величин значения вероятность, но как бы их не увеличивали, эта область не сократится до нулевой области с точно известной вероятностью.

На графике ниже изображены распределения для величин 4/5, 7/9, 11/14 и 24/30. Чем уже область, тем выше холмик, площадь которого неизменная единица. Эти соотношения выбраны, потому что они все около 0.8, а не потому что именно такие могут возникнут при 0.8 исходной вероятности. Выбраны, чтобы продемонстрировать, какая область возможных значений остается даже при 30 проведенных экспериментах.

Код программы для этого графика здесь.

Из чего следует, что в действительности экспериментальную вероятность абсолютно точно не определить, а можно лишь предположить область возможного расположения таковой величины, с точностью в зависимости от того сколько произвели замеров.

Сколько бы экспериментов не провели, всегда остается вероятность, что исходная вероятность может оказаться и 0.0001 и 0.9999. Для упрощения крайние маловероятные значения отбрасываются. И берется, скажем, например 95% от основной площади графика распределения.

Такая штука называется доверительные интервалы. Каких-либо рекомендаций, сколько именно и почему процентов нужно оставить я не встречал. Для прогноза погоды берут поменьше, для запуска космических шаттлов побольше. Так же обычно не упоминают, какой все же используется доверительный интервал на вероятность событий и используется ли вообще.

В моей программе расчет границ доверительного интервала осуществляется здесь.

Получилось, что вероятность события определяется плотностью вероятностей значения вероятности, и на это еще нужно наложить процент области основных значений, чтобы можно было хоть что-то определенно сказать, какая все же вероятность у исследуемого события.

Теперь, про более реальный эксперимент.

Пусть будет всем надоевшая монетка, подбрасываем эту монетку, и получаем 4 из 5 выпадений решкой — очень реальный случай. В действительности это не совсем то же самое, что описал чуть выше. Чем это отличается от предыдущего эксперимента?

Предыдущий эксперимент описывался из предположения, что вероятность события может быть равнораспределена на интервале от 0 до 1. В программе это задается строкой double probability = get_random_real_0_1();. Но не бывает монеток с вероятностью выпадения, скажем, 0.1 или 0.9 всегда одной стороной.

Если взять тысячу самых разных монет от обычных до самых кривых, и для каждой произвести замер выпадения путем подбрасывания их по тысяче и более раз, то это покажет, что реально они выпадают одной стороной в диапазоне от 0.4 до 0.6 (это числа навскидку, не буду же я выискивать 1000 монет и каждую подбрасывать 1000 раз).

Как этот факт меняет программу для симуляции вероятностей одной конкретной монеты, для которой получили 4 из 5 выпадения решкой?

Допустим, что распределение выпадения одной стороной для монет описывается как приближение к графику нормального распределения взятого с параметрами средняя = 0.5, стандартное отклонение = 0.1. (на графике ниже он изображен черным цветом).

Когда в программе меняю генерацию исходной вероятности с равнораспределенной на распределенную по указанному правилу, то получаю следующие графики:

Код этого варианта здесь.

Видно, что распределения сильно сдвинулись и теперь определяют несколько иную область, в которой высоковероятно возможна искомая вероятность. Поэтому, если известно, какие вероятности бывают для тех вещей, одну из которых хотим измерить, то это может несколько улучшить результат.

В итоге, 4/5 это ни о чем не говорит и даже 50 проведенных экспериментов не очень информативны. Это очень мало информации, чтобы определить, что за вероятность все же лежит в основе эксперимента.

Как упомянул в комментариях jzha, человек существенно знающий математику, данные графики можно построить и путем точных формул. Но цель данной статьи все же как можно наглядней показать как образуется то, что все в повседневной жизни называют вероятностью.

Для того что бы это строить путем точных формул, это нужно рассмотреть имеющиеся в наличии данные по распределению вероятностей всех монет через аппроксимацию бета распределением, и путем сопряжения распределений выводить уже расчеты. Такая схема это существенный объем по объяснениям, как это сделать, и если я это здесь буду описывать, то это получится скорее статья по математическим расчетам, а не про бытовые вероятности.

Как получить в формулах описанный частный случай с монетой, смотрите комментарии от jzha.

Источник

Алгебра

План урока:

Частота и вероятность

В мире происходят события, которые можно предсказать. Например, можно предсказать приезд лифта после того, как человек нажмет кнопку его вызова. Астрономы могут заранее предсказывать солнечные и лунные затмения.

Однако нередко нам приходится иметь дело с событиями, результат которых заранее предсказать невозможно. Не получается заранее сказать, упадет ли монетка при подбрасывании орлом вверх, также как нельзя заранее предсказать поломку прибора. Такие события называются случайными.

Случайные события обычно могут произойти только в определенной ситуации. Так, событие «выпадение решки» может произойти только при броске монеты. В математике подбрасывание монетки будет называться испытанием или экспериментом.

Здесь не следует воспринимать термин «эксперимент» как некое научное исследование. Испытанием может оказаться любая жизненная ситуация. Приведем несколько примеров опытов и соответствующих им случайных событий:

Здесь важно отметить, что для математики не важно, является ли событие по-настоящему случайным. Возможно, что автобус ходит строго по расписанию, и человек, знающий его, точно может определить, через сколько минут он приедет. Но если рядом стоит другой человек, не знающий этой информации, то для него приезд автобуса будет случайным событием.

Предположим, что есть возможность провести какой-то эксперимент множество раз. Например, кубик можно бросить 500 раз. Обозначим это число, количество экспериментов, как n. В ходе серии этих бросков шестерка выпала, например, 85 раз. Обозначим эту величину, количество произошедших случайных событий, как m. Само событие «выпадение шестерки» обозначим как А. Тогда отношение m/n будет называться частотой случайного события А. В данном случае частота события А равна

Наблюдения показывают, что если условия экспериментов примерно одинаковы, а их число велико, то частота одного и того же события будет примерно одинаковой. Чем больше число испытаний, тем обычно ближе частота события к некоторому постоянному числу. Это число и называют вероятностью случайного события А.

Грубо говоря, частота и вероятность событий – это примерно одно и то же. Частоту определяют на практике, входе эксперимента, а вероятность можно рассчитать аналитически.

Вероятность – это величина, которая характеризует возможность события произойти. Если она близка к единице, то событие, скорее всего, произойдет. Если она близка к нулю, то событие, скорее всего, не случится. Для обозначения вероятности используется буква Р. Если надо указать вероятность конкретного события А, то его записывают как Р(А).

Вероятность – это безразмерная величина, то есть для нее нет никакой единицы измерения. Она может принимать значение от 0 до 1. Иногда на практике ее указывают в процентах. Например, вероятность 0,5 означает 50%. Чтобы перевести вероятность в проценты, ее надо просто умножить на 100.

Элементарные события

Часто одно случайное событие можно представить как результат нескольких случайных событий. Например, событие «выпадение на кубике четного числа» произойдет в том случае, если случится хотя бы одно из следующих событий:

Если событие нельзя «разбить» на более простые события, то его называют элементарным событием. Считается, что в ходе испытания может произойти только одно элементарное событие. Так, при броске кубика произойдет одно из 6 элементарных событий:

В большинстве случаев вероятность элементарных событий одинакова. Действительно, нет причин полагать, что при броске кубика шестерка будет выпадать чаще двойки. Если у двух элементарных событий одинаковая вероятность, то их называют равновозможными событиями.

Если в результате эксперимента происходит одно из равновозможных событий, число которых равно n, то вероятность каждого из них принимается равной дроби 1/n.

Например, при броске кубика может произойти 6 равновозможных событий. Значит, вероятность каждого из них равна 1/6. При броске монетки она может выпасть либо орел, либо решка. Этих событий два, и они равновозможны, поэтому их вероятность равна 1/2, то есть 0,5.

Пример. В урне 20 шариков, один из которых окрашен в желтый цвет. Какова вероятность, что человек, вытаскивающий вслепую один из шариков, вынет именно желтый шар?

Решение. Так как шаров 20, то возможны 20 равновозможных событий, одно из которых – вытаскивание желтого шара. Его вероятность равна 1/20 = 0,05

Пример. Вася составил произвольную последовательность из букв А, Б, В, Г, Д, и записал ее на бумаге. Каждую букву Вася использовал один раз. Аналогично свою последовательность записал и Петя. Какова вероятность, что они оба загадали одну и ту же последовательность.

Решение. Вася записал перестановку 5 букв. Общее количество таких перестановок равно 5! = 1•2•3•4•5 = 120. Все последовательности равновероятны. Значит, вероятность того, что они совпали, равна 1/120.

Противоположные события

Заметим, что если сложить вероятности всех элементарных событий, которые возможны в ходе эксперимента, то получится единица. Действительно, при броске монеты возможны два события с вероятностью 1/2. Сумма их вероятностей составляет 1/2 + 1/2 = 1.

Это правило действует и в том случае, когда речь идет о не равновозможных событиях. Так, при выстреле по мишени возможны два варианта развития событий – попадание в цель или промах. Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3. Это значит, что вероятность промаха составляет 0,7, так как только в этом случае сумма этих вероятностей будет равна единице:

Заметим, что при стрельбе стрелок либо попадет в цель, либо промажет. То есть одно из двух этих событий обязательно произойдет, но только оно одно. Подобные события называют противоположными.

Противоположными являются такие события, как:

Стоит отметить, что победа одной и победа другой команды в футбольном матче – это не противоположные события, так как возможен третий исход – ничья. Однако в ряде спортивных состязаний ничья невозможна, и тогда победы команд – это противоположные события.

Очевидно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример. Вероятность того, что рабочий изготовит годную деталь, оценивается в 0,97. Чему равна вероятность изготовления бракованной детали?

Решение. Изготовление бракованной детали (обозначим это событие как А) и получение годного изделие (событие Б) – это два противоположных события. Их сумма равна единице

По условию Р(А) = 0,97. Тогда

Перенесем в равенстве слагаемое 0,97 в правую часть и получим:

Сложение вероятностей

До этого мы рассматривали элементарные события. Однако значительно чаще нас интересуют более сложные события, которые состоят из элементарных. Как рассчитать их вероятность?

Введем понятие несовместных событий.

Так, при броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число (потому что 5 – это нечетное число). Хоккейный матч не может одновременно окончиться и ничьей, и победой одной из команд.

Заметим, что любые два элементарных события несовместны, также как и любые два противоположных события.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Пример. В забеге на 1500 метров участвуют два китайца. Эксперты полагают, что вероятность победы Мао Луня составляет 0,16, а шансы Ван Юнпо оцениваются в 0,14. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет китаец?

Решение. Обозначим победу Мао Луня как событие А, а победу Ван Юнпо – как Б. Очевидно, что события несовместны, так как победитель будет лишь один. По Условию Р(А) = 0,16, а Р(В) = 0,14.

Событие «победа китайца» произойдет, если выиграет хоть один из этих спортсменов, поэтому произведем сложение вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,16 + 0,14 = 0,3

Заметим, что выполнять сложение вероятностей событий можно и в случае, когда несовместных событий больше двух.

Пример. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,2, 9 баллов с вероятностью 0,25, 8 баллов с вероятностью 0,15. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?

Решение. Здесь несовместные события – это выбивание 10 (событие А), 9 (В) и 8 (С) баллов. Действительно, в ходе одного выстрела стрелок покажет только один результат. Если одно из этих событий случится, то спортсмен получит не менее 8 баллов. Вероятность этого события равна:

Р(А или В или С) = 0,2 + 0,25 + 0,15 = 0,6

Но нас спрашивают о другом, о вероятности того, что стрелок НЕ наберет 8 очков. Очевидно, что он их либо наберет, либо нет. Значит, это противоположные события, поэтому сумма равняется 1. Мы посчитали, что стрелок наберет 8 баллов с вероятностью 0,6. Значит, он не наберет их с вероятностью

Пример. В урне лежит 500 шариков, из которых 120 являются черными. Человек вслепую вытаскивает из урны один шар. Какова вероятность, что он будет черным.

Решение. Присвоим каждому шару номер от 1 до 500, причем первые 120 номеров получат черные шары. Обозначим вероятность того, что вытащат шар с номером n, как Р(n). Очевидно, что события «выбран шар 1», «выбран шар 2», … «выбран шар 500» – это элементарные и равновозможные события. Их вероятность равна 1/500:

Р(1) = Р(2) = Р(3) =…..=Р(500) = 1/500

Эти события несовместны, как и любые элементарные события. Значит, вероятность того, что вытащат черный шар, равна сумме вероятностей:

Р(выбран черный шар) = Р(1) + Р(2) + … + Р(120)

В этой сумме 120 слагаемых, каждое из которых равно 1/500. Следовательно, вся сумма равна произведению 120 и 500

Р(выбран черный шар) = 120•(1/500) = 120/500 = 0,24

В этом примере рассматривался особый случай, когда все элементарные события (вытаскивание конкретного шарика) равновозможны, и несколько из них приводили к одному событию (вытаскиванию черного шара). В итоге мы получили, что вероятность этого события равна отношению числа «благоприятных» для него равновозможных событий (120) к общему числу этих событий (500). Такой же результат мы получим при рассмотрении любой схожей задачи.

В результате мы получили одну из основных формул теории вероятности.

Пример. Компьютер случайным образом генерирует число от 1 до 200. Вероятность появления каждого числа одинакова. Какова вероятность того, что он сгенерирует число от 51 до 75 (включительно)?

Решение. Задача предполагает 200 равновозможных исходов события. Из них 25 (между 51 и 75 находится 25 чисел) являются «благоприятными». Тогда вероятность описанного события равна отношению 25 к 200:

Р = 25/200 = 1/8 = 0,125

Ещё раз напомним принципиальный момент. Такой метод решения задач может быть применен только в том случае, когда все элементарные события равновероятны!

Пример. Изготовлено 10 велосипедов, но из них 3 – с дефектом. Необходимо выбрать 4 велосипеда. Каков шанс, что они все будут без дефекта?

Решение. Выбирая 4 велосипеда из 10, мы составляем, с точки зрения комбинаторики сочетание из 10 по 4. Подсчитаем количество возможных сочетаний:

Теперь подсчитаем, сколько можно составить сочетаний, не содержащих дефектный велосипед. Годных велосипедов 10 – 3 = 7, из них надо выбрать 4. Имеем сочетания из 7 по 4:

Вероятность выбора качественных велосипедов равна отношению количества «благоприятных» исходов (их 35) к общему числу возможных исходов:

Пример. В турнире по футболу участвуют команды «Барселона», «Реал», «Атлетико» и «Валенсия». Эксперты полагают, что:

Определите вероятность победы каждой команды в турнире.

Обозначим за х вероятность победы «Валенсии». Шансы «Реала» и «Атлетико» в 1,5 раза выше, а потому составляют по 1,5х. Вероятность триумфа «Барселоны» в 4 раза выше, чем у «Реала», а потому составляют 4•1,5х = 6х.

Ясно, что турнир выиграет лишь одна команда, то есть речь идет о несовместных событиях. С другой стороны, какая-то команда обязательно его выиграет, а потому в вероятности побед команд дадут единицу. В результате, используя формулу сложения вероятностей, можно записать уравнение:

х + 1,5х + 1,5х + 6х = 1

Решив уравнение, мы нашли, что шансы триумфа «Валенсии» составляют всего 0,1. Шансы «Реала» и «Атлетико» равны

Вероятность успеха «Барселоны» составляет

Ответ. «Барселона» – 0,6, «Реал» и «Атлетико» – по 0,15, «Валенсия» – 0,1.

Умножение вероятностей

До этого мы рассматривали сложные события, которые происходили тогда, когда происходило одно из элементарных событий. Например, в забеге, где участвовали два китайца, представитель Поднебесной побеждал, если выигрывал ИЛИ 1-ый китаец, ИЛИ 2-ой. Ключевое слово здесь – ИЛИ.

Однако в некоторых случаях событие происходит лишь тогда, когда происходят одновременно сразу два более простых события. Пусть надо вычислить вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты они оба раза упадет на орлом вверх. Возможны 4 случая:

Все 4 исхода удобно представить в виде таблицы. По вертикали запишем результат 1-ого броска монеты, а по горизонтали – второго:

Видно, что лишь в одном из 4 случаев орел выпадет оба раза. Поэтому вероятность будет равна 1/4, или 0,25.

Этот результат можно было получить иначе. Событие ОО случится, только если случатся два события: Орел выпадет при первом броске,и он же выпадет во второй раз. Вероятность каждого из них равна 1/2, или 0,5. Если перемножить эти две вероятности, то снова получим 0,5•0,5.

Рассмотрим более сложный случай с броском двух шестигранных кубиков. Какова вероятность, что в сумме выпадет ровно 12 очков. Снова построим таблицу, по вертикали укажем результат первого броска, по горизонтали – второго, а в ячейках – выпавшую сумму:

Всего получилась табличка с 36 ячейками. Лишь в одной из них стоит число 12. Эта сумма на кубиках будет лишь тогда, когда на обоих кубиках выпадет по шестерке. Так как ячеек 36, а каждая комбинация равновозможна, то вероятность выпадения 12 равна 1/36. Обратите особое внимание, что, например, семерка записана сразу в 6 ячейках (по диагонали, начиная с нижнего левого угла). Значит, вероятность выпадения семерки за 2 броска равна 6/36 = 1/6. И действительно, на практике 7 очков выпадет у игроков в 6 раз чаще, чем 12. Посчитайте с помощью таблицы самостоятельно, какого вероятность выпадения 10 очков.

Как и в случае с монеткой, число вероятность 1/36 можно получив, перемножив вероятность того, что в первой кости выпадет шестерка (1/6), и того, что на второй кости выпадет она же (1/6):

Введем одно важное понятие – независимые события.

Так, какое бы число не выпало на 1-ой кости, вероятность выпадения на второй, например, четверки останется равной 1/6. Как бы ни падала монетка при первом броске, при 2-ом шанс выпадения орла останется равным 1/2.

Для наглядности приведем пример зависимых событий. Пусть А – вероятность победы в забеге одного бегуна, и Р(А) = 0,1. В – вероятность победы второго бегуна, и Р(В) = 0,1. Но очевидно, что победить может лишь один спортсмен. Поэтому, если случится событие А, то вероятность события В изменится – она опустится до нуля.

Таблички, которые мы строили для игры в кости, не всегда удобно использовать, поэтому на практике используют теорему умножения вероятностей.

Ещё раз обратим внимание, что оно действует только для независимых случайных событий.

Пример. Рабочий изготавливает две детали. Вероятность изготовления первой детали с браком составляет 0,05, а второй детали – 0,02. Рабочего оштрафуют, если обе детали будут сделаны с браком. Какова вероятность штрафа для рабочего?

Решение. Штраф выпишут, если одновременно произойдет два независимых события – будет допущен брак при изготовлении И 1-ой, И 2-ой детали. Ключевое слово – И, а не ИЛИ, как в случае со сложением вероятностей. Вероятность такого развития событий найдем, произведя умножение вероятностей:

Умножение вероятностей событий возможно и тогда, когда их больше двух.

Пример. Для победы команды в турнире ей надо выиграть все 4 оставшиеся встречи. Вероятность победы в каждой игре составляет 80%. Какова вероятность победы в турнире?

Решение. Обозначим вероятности победы в отдельных матчах как Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. По условию они все равны 0,8. Команда станет чемпионом, только если случатся все события. Вероятность этого можно найти, применив формулу умножения вероятностей:

Пример. В первой партии 4% лампочек бракованы, а во второй – 5%. Из каждой партии берут по лампочке. Какова вероятность того, что обе выбранных лампочки окажутся бракованными? Какова вероятность, что они обе окажутся исправными? Какова вероятность, что ровно одна лампа будет бракованной?

Решение. Обозначим выбор бракованной детали из 1-ой партии как событие «брак-1», а выбор годной детали (годная-1). Эти события противоположны, то есть сумма их вероятностей равна единице.

Р(брак-1) + Р(годная-1) = 1

Р(годная-1) = 1 – Р(брак-1)

По условию Р(брак-1) = 0,04. Следовательно, Р(годная-1) = 1 – 0,04 = 0,96.

Аналогично для второй партии можно записать, что Р(брак-2) = 0,05, Р(годная-2) = 0,95.

Будут выбраны две бракованные детали только в том случае, когда произойдут события Р(брак-1) и Р(брак-2). Вероятность этого, по правилу умножения вероятностей, равна:

Две годные детали бут выбраны, если одновременно случатся события Р(годная-1) и Р(годная-2). Это случится с вероятностью

Пример. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,3, а из второго – 0,4. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?

Решение. Пусть событие «попал-1» означает попадание из 1-ого орудия, а «попал-2» – попадание из 2-ого орудия. Казалось бы, нам надо найти вероятность попадания ИЛИ 1-ого, ИЛИ 2-ого орудия. Однако слово ИЛИ здесь не означает, что вероятности можно просто сложить! Вспомним, что закон сложения вероятностей действует только для несовместных событий. Но выстрелы из орудий таковыми не являются, так как возможно одновременное попадание двух снарядов в мишень.

Введем события «промах-1» и «промах-2», означающие промах из 1-ого или второго орудия. Их вероятности составляют

Р(«промах-1») = 1 – Р(«попал-1») = 1 – 0,3 = 0,7

Р(«промах-2») = 1 – Р(«попал-2») = 1 – 0,4 = 0,6

Одно попадание случится в случае, если произойдет одно из двух «сложных» событий:

Вероятность события А можно рассчитать так:

Р(А) = Р(«попал-1») •Р(«промах-2») = 0,3•0,6 = 0,18

Аналогично рассчитаем и вероятность Б:

Р(Б) = Р(«попал-2») •Р(«промах-1») = 0,4•0,7 = 0,28

События А и Б несовместны, а потому их вероятности можно сложить

Р(А) + Р(Б) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Обозначается она так:

Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С.

Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность А также можно найти с помощью умножения

Пример. В урне находится 52 шара, из них на 4 написана буква Т. Из урны последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность, что на обоих вытащенных шарах будет буква Т?

Решение. Так как в урне 52 шара, и лишь на 4 есть буква Т, то шанс на то, что первым вытащат именно шар с буквой Т, равен 4/52 = 1/13. Если это событие произошло, то в урне остался 51 шар, и лишь на трех будет находиться нужный символ. Тогда вероятность появления шара с буквой Т составит 3/51 = 1/17. Общая же вероятность появления 2 таких шаров подряд найдется как произведение этих вероятностей:

Р = (1/13)•(1/17) = 1/221 ≈ 0,004525

Эту вероятность можно рассчитать и иначе, по аналогии с задачей про бракованные велосипеды, которая приведена выше. Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 52:

Но всего 6 способами можно выбрать 2 шара из 4:

Поделив число благоприятных исходов на их общее количество, получим искомую вероятность:

Пример. Известно, что вероятность мужчины дожить до 90 лет составляет 5,126%, а до 95 лет – 1,326%. С какой вероятностью мужчина, которому уже сейчас 90 лет, доживет до 95 лет?

Решение. Пусть А – это дожитие до 95 лет, С – дожитие 90-летнего мужчины до 95 лет, В – дожитие до 90 лет. Чтобы отпраздновать 95-летие, человек сначала должен отметить 90-летний юбилей, а потом ещё прожить 5 лет. Другими словами, чтобы случилось А, сначала должно случиться В, а потом событие С при условии В. То есть можно записать

По условию Р(А) = 0,01326, а Р(В) = 0,05126. Зная это, легко найдем Р(С|B):

Р(С|B) = 0,01326/0,05126 ≈ 0,2587

Это и есть вероятность мужчины, отметившего 90-ый день рождения, дожить до 95 лет.

Вероятность и геометрия

Теория вероятности затрагивает и геометрию. Пусть есть отрезок АВ, в середине которого располагается точка С.

Теперь мы ставим на отрезке АВ случайную точку D. С какой вероятностью она попадет наАС, а с какой на ВС? Так как эти отрезки ничем не отличаются, то можно предположить, что события «попадание точки на АС» и «попадание точки на ВС» являются равновероятными событиями. Так и есть. Их вероятность обоих событий составляет 0,5.

Теперь предположим, что точка С выбрана так, что отрезок АС вдвое короче, чем ВС, то есть ВС = 2 АС:

Чему в этом случае равны вероятности попадания случайной точки D на отрезки АС и ВС? Для ответа на этот вопрос раздели ВС надвое с помощью ещё одной точки K:

Получили три одинаковых отрезка АС, СК и КВ. Раз они одинаковы, то и вероятности случайной точки оказаться на каждом из этих отрезков равны:

Отсюда вероятность попадания точки на ВС равна 2/3:

Р(ВС) = Р(СК) + Р(КВ) = 1/3 + 1/3 =2/3

Получили, что вероятность попадания точки на ВС вдвое выше, чем на АС. И при этом ВС вдвое длиннее. И это не случайно. В общем случае верно следующее правило:

Данное свойство может пригодиться не только в геометрии, но и при решении задач.

Пример. Прохожий пришел на остановку автобуса в случайный момент времени. Он знает, что автобус ходит с интервалом в 40 минут, но не знает, когда отъехал предыдущий автобус. С какой вероятностью автобус придется ждать менее 10 минут?

Решение. Построим схему. На ней время будем откладывать по горизонтальной оси. Отметим точки, соответствующие приезду автобуса (А₁, А₂, А₃, А₄), и точку, соответствующую приходу прохожего (D):

Ясно, что точка D окажется между какими-то двумя точками, которым соответствуют последовательные прибытия поезда.На рисунке это А₂ и А₃. В каком случае время ожидания составить менее 10 минут? В том случае, если точка D окажется на «расстоянии» менее 10 минут от точки А₃, то есть попадет в отрезок ВА₃:

Отрезок ВА₃ вчетверо короче отрезка А₂А₃, поэтому вероятность точку D попасть на него составляет 1/4. Именно такова вероятность, что прохожему придется ждать автобус менее 10 минут.

В случае, когда точка случайным образом ставится не на отрезке, а на плоской фигуре, то справедливо следующее правило:

Пример. В треугольнике АВС проведена средняя линия NM. С какой вероятностью случайная точка, отмеченная на треугольнике АВС, попадет и на треугольник ANM?

Источник