Как тангенс превратить в котангенс

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Источник

Тангенс и котангенс. Формулы и определение

Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.

Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)

Определения для прямоугольного треугольника:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Определения для числа:

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

\( ctg\ x = \dfrac \), где \( x \neq \pi k \)

Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.

Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:

Для любого допустимого значения х справедливы равенства:

Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:

Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

Источник

Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти тангенсы и котангенсы угла, представленных как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Тангенс и котангенс − теория, примеры и решения

Определение 1. Число, равное отношению

называется тангенсом угла α и обозначается

Определение 2. Число, равное отношению

называется котангенсом угла α и обозначается

Подробнее о синусах и косинусах посмотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор.

Свойство A1. Область определения функции тангенс −это все действительные числа α, удовлетворяющие выражению

где Z множество целых чисел.

Действительно. Из равенства (1) следует, что cos α должен быть отличным от нуля. А это в свою очередь показывает справедливость равенства (3).

Свойство A2. Область определения функции котангенс −это все действительные числа α, удовлетворяющие выражению

где Z множество целых чисел.

Действительно. Из равенства (2) следует, что sin α должен быть отличным от нуля. А это в свою очередь показывает справедливость равенства (4).

Свойство 1. tg α и сtg α нечетные функции, т.е. для любого допустимого значения α справедливы равенства

Доказательство. Воспользуемся равенствами и (cм. на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). Тогда имеем:

.

.

Свойство 2. tg α и сtg α периодичные функции с основным периодом π (180°), т.е. для любого допустимого значения α справедливы равенства

Доказательство. Воспользуемся тем, что или (cм. на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор):

,

,

Использем таблицы синусов и косинусов, и построим таблицу тангенсов и котангенсов некоторых углов, учитывая уравнение (1):

Пример 1. Найти тангенс и котангенс угла равного 420°(или радиан).

Воспользуемся уравнениями (11)− (14):

Воспользуемся уравнениями (11)− (14):

Как мы уже знаем из определения синуса и косинуса sin α=y₂, cos α=x₂ (Рис.1). Покажем, что tg α=AN, ctg α=KP

Построим каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и (см. статью на странице Каноническое уравнение прямой на плоскости):

Тогда учитывая, что , имеем:

Поскольку , , тогда

При x=1 имеем y=tg α. Т.е. tg α − это ординат точки пересечения прямых ON и NA

Выразим в (15) x через y:

Подставляя , , получим:

Взяв y=1, получим x=ctg α. Таким образом ctg α − это абсцисс точки пересечения прямых ON и KP.

Так как для функциий привычнее запись y=f(x), то вместо записей u=tg α и u=сtg α мы будем использовать записи y=tg x и y=сtg x.

График функции тангенс (y=tg x)

Построим график функции тангенс на интервале . Выберем контрольные точки:

Отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 2)

Учитывая свойство 1 построим симметричную к этой кривой относительно начала координат (Рис.3)

В точках функция имеет разрыв. Каждая прямая вида является вертикальной асимптотой графика функции.

График функции котангенс (y=сtg x)

Построим график функции котангенс на интервале [0; π). Выберем контрольные точки:

Взяв π≈3, высислим значения x, отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 5)

В точках функция имеет разрыв. Каждая прямая вида является вертикальной асимптотой графика функции котангенс.

Источник

Тригонометрия. Понятие тригонометрической величины (тангенс и котангенс).

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует, т.е. тригонометрическая величина это функция угла.

Линией тангенса (AD_l, AD₂ и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец А первого диаметра, от точки касания до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM_l, ОМ₂ и. т.д.).

Линией котангенса (BE_l, ВЕ₂ и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец В второго диаметра, от точки касания В до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM₁, OM₂ и т.д.).

Тангенс угла (tgх) – это отношение линии тангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Котангенс угла (сtgх) — отношение линии котангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Знаки тангенса и котангенса для различных четвертей указаны на рисунке ниже:

Секанс (secx) и косеканс (cosecx) проще всего определить как обратные величины косинуса и синуса.

Существуют законы, которые связывают все тригонометрические функции между собой, т. е позволяют их выражать одну через любую другую.

Источник

• ← можно ли выращивать фиалки в квартире
• Как убрать калантикут на странице →