что такое взаимное расположение точек

На уроках математики в предыдущих классах и в главе 1 вы уже познакомились со свойствами некоторых геометрических фигур. Теперь вы приступаете к систематическому изучению геометрии.

Как уже отмечалось ранее, основными геометрическими фигурами являются точка, прямая, плоскость. Представление об этих фигурах вы уже имеете.

Например, туго натянутая нить дает представление о части прямой, страница книги или грань прямоугольного параллелепипеда — о части плоскости (рис. 22, а, б, в).

Если точка А принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b проходит через точку А. Это записывают так: А

Если точка А не принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b не проходит через точку А. В этом случае используется запись А b (читают: «Точка А не принадлежит прямой b», «Точка А не лежит на прямой b» или «Прямая b не проходит через точку А»).

Например, на рисунке 23, а изображены точка С — вершина квадрата и точка Т, не лежащие на прямой l (С l, Т l), проходящей через вершины А и D квадрата (А l, D l). На рисунке 23, б, в изображена прямая l, проходящая через вершины О и F куба (O l, F l).

В курсе геометрии понятия « точка», « прямая» и «плоскость» относятся к основным понятиям и принимаются без определений, другие геометрические понятия определяются через основные. К основным понятиям относятся также понятия «принадлежать» и «лежать между». Свойства геометрических фигур устанавливаются путем логических рассуждений на основе некоторых утверждений (аксиом), которые принимаются без доказательств. Аксиомы выражают основные свойства геометрических фигур, которые соответствуют формам и отношениям, наблюдаемым в окружающем пространстве.

Утверждение, которое обосновывается путем логических рассуждений, называется теоремой, а само обоснование — доказательством. Доказать теорему — это значит путем рассуждений обосновать, что она следует из некоторых аксиом или ранее доказанных теорем.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости характеризуют следующие основные свойства (аксиомы):

Прямая, которая проходит через точки А и В, обозначается АВ или ВА.

Например, на рисунке 24, а изображена прямая ОF, которая проходит через точки О и F, а на рисунке 24, б, в показана прямая АС, которая проходит через вершины А и С куба и лежит в той же плоскости, что и грань АВСD куба.

1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Рассмотрим понятия пересекающихся и параллельных прямых.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Если прямые а и b пересекаются в точке О, то это обозначается так: О = а b (читают: «Прямые а и b пересекаются в точке О»).

Например, на рисунке 25, а изображены прямые КЕ и TF, которые проходят через вершины прямоугольника и пересекаются в точке Р (Р =TF КЕ).

На рисунке 25, B изображены прямые АС и BD, которые проходят через вершины куба и пересекаются в точке О (О = АС ВD).

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные прямые l₁ и l₂ обозначаются так: l₁ l₂ (читают: «Прямая l₁ параллельна прямой l₂ »).

Например, на рисунке 25, в изображены параллельные прямые ВС и АD (ВСАD).

Теорема. Если две прямые плоскости имеют общую точку, то она единственная.

Пусть две прямые а и b имеют общую точку О. Докажем, что других общих точек эти прямые не имеют. Допустим, что прямые а и b имеют еще одну общую точку O₁. Тогда получается, что через точки O и O₁ проходят две прямые а и b. Но этого быть не может, так как по аксиоме А3 через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, наше предположение неверно, и прямые а и b имеют единственную общую точку.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей с примерами

Содержание:

Взаимное расположение точки и прямой:

Возможны два варианта расположения точки относительно прямой:

Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать друг к другу одно из трех положений:

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная и горизонтальная проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D на прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций.

Плоскость. Способы ее задания, положение относительно плоскостей проекций

Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено:

Всегда от одного способа задания плоскостей можно перейти к другому.

След плоскости – это линия пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Соответственно различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Плоскостью общего положения называется плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскостями частного положения относительно плоскостей проекций называются плоскости параллельные или перпендикулярные им.

Плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая плоскости. Такие плоскости вырождаются в прямую линию (след плоскости) на ту плоскость проекций, к которой они перпендикулярны.

2. Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.

Существует три вида плоскостей уровня: горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости уровня.

1. Горизонтальная плоскость – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.

3. Профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.

Принадлежность прямой и точки плоскости

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.12).

Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.12 изображена плоскость и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости. На рис. 3.13. показана плоскость и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой..

Взаимное расположение прямой и плоскости

Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Этот признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости

Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.

Для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.

Направление линии пересечения известно в том случае, если:

Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.12).

Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей:

1. Пересекаются плоскость общего положения горизонтально- проецирующая плоскость заданная следом.

2. Пересекаются плоскости общего положения заданные следами.

В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей:

3. Пересекаются плоскости общего положения.

Определение видимости на КЧ

Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые штриховыми линиями. При этом предполагается, что:

Даны две пары точек:

Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой на КЧ находится дальше от оси проекций.

Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – метод конкурирующих точек.

Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.

Пересечение прямой с плоскостью

Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости,

1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).

В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Точка и линия

Я не буду рассказывать вам, что об этом пишут в различных учебниках, ведь вы здесь для того, чтобы понять и применять, а не для того, чтобы зубрить. Я расскажу так, чтобы было понятно.

Точка – это воображаемый геометрический объект, не имеющий никаких размеров и не состоящий ни из чего.
У точки нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Ее нельзя измерить. Точка неделимая. Она не состоит ни из каких-либо других частей.

Зачем нужна точка, если она воображаемая? Для чего ее придумали?

Точка выполняет только одну задачу: указание месторасположения.

Пример: точка на карте навигатора указывает нам на то, где находится конечный пункт поездки, то есть, на его местоположение.

Линия – это множество точек, расположенных последовательно друг за другом.

Например, представим себе цепь. Можно вообразить, что каждое ее звено – это точка. И точно так же, как цепь состоит из звеньев, соединенных между собой, так и линия состоит из точек, образно говоря, склеенных друг с другом.

Рис. 1 Цепь и линия

Линия не имеет ширины и высоты, но можно измерить ее длину. Линия состоит из точек.

Как можно измерить то, что состоит из придуманных объектов, не имеющих размеров? Зачем нужна линия?

Действительно, геометрическая точка не имеет размеров, ее невозможно измерить. Но она, как было сказано выше, указывает на местоположение чего-либо конкретного.

Возьмем для примера опять навигатор. Вы на автомобиле проехали от своего дома в любимое кафе.

Рис. 2 Путь автомобиля

Можем ли мы представить автомобиль точкой? Да, можем. Во время движения автомобиль изменял свое местоположение. Чтобы показать на карте, в каких именно местах побывал автомобиль во время поездки, мы обозначим их точками, следовательно, для упрощения рисунка мы смело можем заменить автомобиль точкой. Тогда полный путь от дома к кафе (множество мест на дороге, на которых побывала машина) мы можем изобразить в виде линии, то есть, идущих друг за другом точек. А так как путь от дома к кафе имеет какую-то длину, то и нарисованная линия имеет длину, равную этому пути, а значит, линию можно измерить.

Рис. 3 Контур и диапазон

Как видно на примере рисунка 3-а, при помощи линии обозначено очертание птицы на ветке, а на 3-б – пример решения неравенств методом интервалов.

Для чего нужна линия:
1. Показывает путь движения какого-либо объекта;
2. С ее помощью можно измерить расстояние между какими-нибудь объектами;
3. Служит для обозначения границ объекта или фигуры;
4. Показывает диапазон каких-то значений.

Обозначение точек и линий

Рис. 4 Обозначение точек и линий

Взаимное расположение точек и линии

Точка может принадлежать линии (то есть, быть одной из ее составляющих), а может не принадлежать ей.

Рис. 4.1 Принадлежность точек линии

При записи на письме точка обозначается при помощи знака точка, заключенного в скобки, с добавлением заглавной буквы латинского алфавита: (·) H

Теперь я запишу то, что мы увидели на рисунке 4.1, на языке геометрии, а вы попробуйте прочитать самостоятельно:

Виды линий

Рис. 5 Замкнутая и незамкнутая линия

Замкнутая линия не имеет обрывающихся концов. Она начинается и заканчивается в одной точке. Причем эта точка может находиться в любом месте на этой линии.

Рис. 6 Контур птицы

Незамкнутая линия имеет один или два обрывающихся конца. Начало и конец такой линии находятся в разных местах (точки A и B ).

Рис. 7 Незамкнутые линии

Еще несколько примеров.

1. Ты вышел из дома погулять и вернулся домой. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, замкнутой.

2. Ты вышел из дома, погулял, а потом зашел к соседу. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

3. Ты вышел из дома и пошел к другу в дом напротив. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

Также линии бывают:

Рис. 11 Самопересекающиеся и не самопересекающиеся линии

Попробуйте сформулировать самостоятельно, какие линии называются самопересекающиеся, а какие – не самопересекающиеся.

Рис. 12 Прямая, ломаная, кривая линии

Более подробно о прямых, кривых и ломаных линиях рассмотрено в других уроках.

Источник