что такое векторное пространство над полем

Векторное пространство

Э.Г.Позняк [1]

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;
4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;
5) 1∙x = x;
6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);
7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя);
8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Аналогично определяется понятие векторного пространства над произвольным полем K.

Примеры векторных пространств:

Подпространства

Для развития геометрических методов в теории векторного пространства нужно указать пути обобщения таких понятий, как модуль (длина) вектора, угол между векторами и т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам x и y из L ставится в соответствие число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y.

Литература:
Александров П.С., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1979;
Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, 3 изд., М., 1984;
Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971;
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., Лийейная алгебра и многомерная геометрия, 2 изд., М., 1974;
Архангельский А.В., Конечномерные векторные пространства, М., 1982.

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди «Не укради»

Источник

Линейные пространства: определение и примеры

Аксиомы линейного пространства

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:

Источник

Векторное пространство

Полезное

Смотреть что такое «Векторное пространство» в других словарях:

векторное пространство — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=5045] векторное пространство линейное пространство Множество векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов… … Справочник технического переводчика

Векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Векторное (линейное) пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства … Википедия

векторное пространство — vektorių erdvė statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n; пространство векторов, n pranc. espace vectoriel, m … Radioelektronikos terminų žodynas

векторное пространство — математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений. * * * ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности… … Энциклопедический словарь

векторное пространство — vektorinė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n pranc. espace vectoriel, m … Fizikos terminų žodynas

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — линейное пространство, над полем К, аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение удовлетворяющее следующим аксиомам Из аксиом 1) 4) вытекают следующие важные свойства векторного… … Математическая энциклопедия

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений … Большой энциклопедический политехнический словарь

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — (линейное про странство) (матем.), обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — над топологическим полем (т. п.), К векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение непрерывно; 2) отображение непрерывно (при… … Математическая энциклопедия

Нормированное векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В нашем пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина… … Википедия

Источник

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

удовлетворяющее следующим аксиомам

Наибольшее применение в математике и приложениях имеют В. п. над полем комплексных чисел или над полем действительных чисел; они наз. соответственно комплексными В. п. или действительными В. п.

Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свойства многих классов функций, часто встречающихся в анализе.

Из примеров В. п. самыми фундаментальными и наиболее ранними являются n-мерные евклидовы пространства. Почти столь же важными примерами являются многие функциональные пространства: пространство непрерывных функций, пространство измеримых функций, пространство суммируемых функций, пространство аналитич. функций, пространство функций ограниченной вариации.

Понятие В. п.есть частный случай понятия модуля над кольцом, а именно, В. н. есть унитарный модуль над полем. Унитарный модуль над некоммутативным телом также наз. векторным пространством над телом; теория таких В. п. во многом сложнее теории В. п. над полем.

Одной из важных задач, связанных с В. п., является изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпространств В. п. и базисов в В. п.

Прямой линией, проходящей через две точки хи уВ. п. Е, наз. множество элементов вида Множество наз. плоским множеством, если вместе с любыми двумя точками оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из нек-рого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): ; это означает, что каждый элемент представим единственным образом в виде причем это равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между Fи G.

в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества Мявляется наименьшим подпространством, содержащим М, и наз. линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация наз. тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество Мназ. линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из Мотличны от нуля.

Каждый элемент может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации элементов максимального линейно независимого множества:

В связи с этим максимальное линейно независимое множество наз. базисом В. п. (алгебраическим базисом). Все базисы данного В. п. имеют одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п. Если эта мощность конечна, пространство наз. конечномерным В. п.; в противном случае оно наз. бесконечномерным В. п.

Поле Кможно рассматривать как одномерное В. п. над полем К;базис этого В. п. состоит из одного элемента; им может быть любой элемент, отличный от нуля. Конечномерное В. п. с базисом из пэлементов наз. n-мерным пространством.

В теории действительных и комплексных В. п. важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество Мв действительном В. п. наз. выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками х, у отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории В. п. занимает теория линейных функционалов на В. п. и связанная с этим теория двойственности. Пусть Еесть В. п. над полем К. Линейным функционалом на Еназ. аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Еобразует В. п. над полем Котносительно операций

Это В. п. наз. сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрич. терминов. Пусть (соответственно ); аннулятором множества D, или ортогональным дополнением множества D (соответственно множества Г) наз. множество

подпространство В. п. Е, то существуют естественные изоморфизмы между и

Подмножество наз. тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент:

Частным случаем этого понятия является линейный функционал, или линейный оператор из Е ₁ в K.

Два В. п. Е ₁ и E₂ наз. изоморфными В. п., если существует линейный оператор («изоморфизм»), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами. Е ₁ и E₂ изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Имеют место соотношения откуда следует, что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Тявляется изоморфизмом.

С теорией линейных отображений В. п. тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений В. п.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Райков Д. А., Векторные пространства, М., 1962; [3] Дай М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [41 Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; [5] Халмош П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., M., 19fiS; [61 Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969. М. И. Кадец.

Источник

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

Занимаясь математикой, мы встречались с различными множествами, которые в чем-то похожи друг на друга. Так, при изучении множеств всех свободных векторов, всех матриц одинаковых размеров, всех функций, заданных на действительной прямой, замечаем, что во всех этих множествах определены операции сложения и умножения на число, причем обладают эти операции одинаковыми свойствами. В связи с этим нет необходимости каждое из перечисленных множеств изучать в отдельности. Все похожие множества мы объединяем в одну Категорию и изучаем одновременно на основании общих свойств одинаковых операций. Конечно, каждое из множеств обладает и какими-то особенностями. Например, во множестве свободных векторов определены операции векторного и смешанного произведения, во множестве матриц — транспонирование, а во множестве функций — дифференцирование. При изучении категорий мы отвлекаемся от различий входящих в нее множеств, а изучаем только их общие качества. Итак, сейчас мы приступаем к изучению первой категории в нашем курсе – категории линейных пространств.

§1. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом

Будем называть Полем и обозначать буквой Р множество действительных либо множество комплексных чисел.

Пусть V – множество элементов произвольной природы. Говорят, что в V Задана Внутренняя операция, если задан закон, по которому каждой паре элементов X И Y, Принадлежащих V , Ставится в соответствие элемент Z, также принадлежащий V.

Примерами внутренних операций являются: сложение во множествах чисел, матриц, векторов, функций; умножение во множестве чисел, векторное произведение.

Пусть теперь V – множество элементов произвольной природы, Р – поле действительных или комплексных чисел. Говорят, что в V Задана Внешняя операция – умножение на числа из Р – Если задан закон, по которому каждой паре элементов XV И αР ставится в соответствие элемент .

Примерами внешних операций являются: умножение чисел (V= Р =R, Или V = Р = С, Или V = C, P = R), умножение вектора на число, умножение матрицы на число.

В определении линейного пространства участвуют два множества: множество элементов произвольной природы V и поле Р действительных либо комплексных чисел. Чтобы их различать, будем элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами со стрелками , а элементы поля Р – числа – малыми греческими буквами (α,β…).

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V Элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р , причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1*. —Коммутативность сложения;

2*. —Ассоциативность сложения;

3*. -существование нейтрального элемента);

4*. -существование противоположного элемента;

5*. ;

6*. ;

7*. ;

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то – комплексным.

Упражнение. Может ли действительное линейное пространство состоять только из одного элемента? Только из двух элементов?

Примеры линейных пространств

1. V = V3 – множество свободных векторов, Р = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение вектора на число. Мы видим, что аксиомы линейного пространства просто «списаны» со свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Поэтому линейное пространство и имеет второе название – векторное, а элементы произвольного линейного пространства называются векторами.

2. V = R, P = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение чисел. Очевидно, все аксиомы выполняются, поэтому поле действительных чисел является действительным линейным пространством. Точно так же поле комплексных чисел является комплексным линейным пространством.

3. V = C, P = R. Внутренняя операция–сложение комплексных чисел, внешняя – умножение комплексного числа на действительное. Очевидно, и в этом случае аксиомы выполняются. Значит, множество комплексных чисел является как комплексным, так и действительным линейным пространством.

5. — множество всех решений однородной системы линейных уравнений – линейное пространство относительно обычных операций сложения решений и умножения решения на число.

6. V=F(R) — множество всех функций, определённых на всей действительной прямой – действительное линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

8. Пусть — множество упорядоченных наборов N Действительных чисел, P = R. Введём в операции сложения и умножения на число следующим образом: положим

Таким образом, в Эти операции являются соответственно внутренней и внешней. Проверим выполнение аксиом.

1*. ;

2*.

3*.

4*.

;

5*.

Аналогично проверяется выполнение оставшихся трёх аксиом.

Точно так же можно показать, что множество

|>

Является как комплексным, так и действительным линейным пространством относительно тех же операций.

Чтобы не создалось иллюзии, что все множества, элементы которых можно складывать и умножать на числа, будут линейными пространствами, приведём примеры множеств, которые таковыми не являются.

1. Множество натуральных чисел не является действительным линейным пространством относительно обычных операций, так как операция умножения натурального числа на действительное не является внешней (например, ).

2. Множество всех разрывных на отрезке [A,B] функций не является действительным линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число, так как операция сложения не является внутренней (при сложении разрывных функций может получиться непрерывная).

3. Пусть Введём в Внутреннюю и внешнюю операцию следующим образом:

Так как операция сложения введена обычным образом, то она удовлетворяет всем аксиомам для нее.

Проверим выполнение аксиом для операции умножения на число.

5*.

6*.

7*.

8*. , если .

Итак, введённые здесь внутренняя и внешняя операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства за исключением одной, последней, про которую студенты часто забывают, считая её очевидной.

Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º.В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

►Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два

Нейтральных элемента: и . Тогда

Итак, мы пришли к противоречию.◄

2º.В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

►Предположим, что некоторый элемент имеет два различных противоположных — и , то есть . Получаем:

—

Опять пришли к противоречию.◄

3º.

►◄

Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

►

Таким образом, — противоположный к . Поэтому, на основании 2-го следствия, ◄

5º.

►◄

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

►а) – утверждение верно.

в) Тогда имеем:

◄

§2. Линейная зависимость и независимость элементов

Определение. Система элементов

(1)

Линейного пространства над полем Р называется Линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие, что

. (2)

Система (1) называется Линейно независимой, если равенство (2) выполняется Только в том случае, когда

, (3)

Т. е. когда из равенства (2) вытекает (3).

Примеры линейной зависимости и независимости

1. V = C, P = C; . Положим . Очевидно, , значит, 1 и I линейно зависимы над полем С.

2. V = C, P = R; . В этом случае в качестве и комплексные числа использовать нельзя. Составим равенство (2):

, . (4)

В равенстве (4) числа и — соответственно действительная и мнимая части комплексного числа, которое равно 0, поэтому равны 0 и его действительная и мнимая части, т. е. . Таким образом, числа 1 и I над полем действительных чисел линейно независимы.

3. Так как

То существуют числа , среди которых есть отличные от нуля, такие, что равенство (2) выполняется, и т. о., рассматриваемые функции линейно зависимы.

4. В следующих двух примерах приведем два основных метода доказательства линейной независимости функций.

А) Метод частных значений. Составляем равенство (2):

(5)

Заметим, что в правой части равенства (2) – нейтральный элемент линейного пространства, значит, в правой части (5) – нейтральный элемент пространства функций, т. е. функция, тождественно равная 0. Равенство (5) следует понимать как равенство функций, оно справедливо для всех . Например, получаем:

Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.

Б) Используем производные. Составляем равенство (2):

(6)

Равенство (6) справедливо опять же для любого , т. е. функция

Тождественно равна 0, значит, тождественно равна 0 и любая её производная. Имеем:

При получаем: =0, следовательно, эта система функций линейно независима.

5.

(7)

Составляем линейную комбинацию и приравниваем её нейтральному элементу:

Следовательно, система (7) линейно независима.

6.

(8)

Как обычно, составляем линейную комбинацию и приравниваем ее нейтральному элементу:

И поэтому, система (7) линейно независима.

Упражнение. Докажите, что для любого натурального система функций линейно независима.

Простейшие свойства линейной зависимости.

1º.Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.

(9)

Содержит нейтральный элемент и пусть, например, . Положим

(10)

Среди чисел (10) есть отличные от нуля и

Значит, система (9) линейно зависима. ◄

2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

►Пусть система (9) содержит линейно зависимую подсистему и пусть, например, подсистема

Линейно зависима. Это означает, что существуют числа

(11) не все равные 0, такие, что . Положим

(12)

Среди чисел (12) есть отличные от 0, так как таковые есть среди чисел (11), и

.

Таким образом, исходная система линейно зависима. ◄

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

3º Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

►Необходимость. Дано: система линейно зависима. Значит, существуют числа , не все равные 0, такие, что справедливо равенство

. (13)

Пусть, например, Тогда из (13) можно выразить :

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных, например, Положим

(14)

Cреди чисел (14) есть отличные от 0 и , значит, исходная система линейно зависима. ◄

(15)

Линейно независима, а система

— (16)

Линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (15).

►В силу линейной зависимости системы (16) существуют числа не все равные 0 такие, что

(17)

Предположим, что Значит, среди чисел есть отличные от нуля, и из (17) вытекает, что что противоречит линейной независимости (15). Таким образом, , и из (17) получаем требуемое утверждение.◄

5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.

►Достаточность вытекает из первого свойства.

Необходимость. Пусть система линейно зависима, тогда существует число такое, что . Значит, на основании 6-ого следствия из аксиом (§1), .◄

Следующие два свойства формулируем для пространства свободных векторов.

6º.Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия коллинеарности из аналитической геометрии ◄

7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия компланарности. ◄

§3. Базис и координаты в линейном пространстве

Определение. Базисом линейного пространства V Над полем Р называется упорядоченная система

(1)

Элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1*., такие, что

(2)

2*. Система (1) линейно независима.

Если система (1) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется Системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (2) называются Координатами вектора в базисе (1), а само равенство (2) – разложением вектора по базису (1). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.

2. Так как , то () — линейно независима. Кроме того, , а значит, система () является и системой образующих и, поэтому, базис.

3. .. Таким образом, (1, I) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в §2. Значит – это и базис.

4.

(3)

Следовательно, (3) – система образующих пространства . В §2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства .

5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.

6. ,

(4)

Очевидно, поэтому (4) – система образующих пространства . Так как эта система ещё и линейно независима (см. §2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.

Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

() — (5) базис линейного пространства ,

(6)

Разложение нулевого вектора по базису (5). В силу линейной независимости (5) из (6) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор в базисе (5) имеет два разных набора координат: и . Тогда

()=

=[аксиомы 1*,2* и 6* из определения линейного пространства]=

= (7)

Равенство (7) – это разложение по базису (5) нулевого вектора, и поэтому, все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (5), и пусть Тогда

(8)

Равенство (8) – это разложение вектора по базису (5), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (5). В силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем: ◄

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (то есть с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, то есть, если и то

Матричный критерий линейной зависимости и независимости

Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.

Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец , составленный из координат вектора в этом базисе.

Лемма. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.

► Пусть заданы векторы

, (9)

— их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Согласно следствию из свойств координат векторов, координатный столбец линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации координатных столбцов векторов-слагаемых. Имеем:

<(9) линейно зависима>

, не все равные нулю, что

, не все равные нулю, что <столбцы линейно зависимы>.◄

Теорема (матричный критерий). Для того чтобы система векторов

Была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.

Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.

Доказательство вытекает из доказанной выше леммы и из теоремы 2 §3 главы 2.

§4.Размерность линейного пространства

Определение. Число N называется Размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется N-мерным, если в V существует линейно независимая система из N векторов, а любая система из (N+1)- го вектора линейно зависима. Пространство считается 0-мерным.

Следствие. В N-мерном пространстве любая система из M векторов при M>N линейно зависима.

Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные N – мерные пространства называются конечномерными.

Определение. Линейное пространство V называется Бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из N векторов.

Теорема 1. Для того чтобы линейное пространство V было N-мерным необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из N векторов.

► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из N векторов

(). (1)

Тогда в V есть линейно независимая система из N векторов (это система (1)). Покажем, что любая система из (N+1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них:

(). (2)

Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1). Обозначим — координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда

(так как эта матрица имеет только N строк). По матричному критерию, система (2) линейно зависима и, таким образом, .

Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть

() — (3)

Одна из таких систем. Но система

() (4)

Линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§2) вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3), т. е.

Таким образом, (3) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄

Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в N-мерном пространстве Любая линейно независимая система из N векторов является базисом.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространствф V содержит одинаковое количество векторов.

►Пусть в пространстве наряду с базисом (3) есть еще и некоторый базис

(), (5)

Состоящий из M векторов (M≠N). Рассмотрим два случая:

А) M>n. Тогда (5) линейно зависима согласно следствию к определению размерности, что противоречит определению базиса.

Источник