Что такое узлы и пучности

Узлы стоячей волны

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст = 0). Это точки среды, для которых

(m = 0,1, 2. ).

(m = 0,1, 2. ).

Расстояния пучность—пучность и узел—узел равны λ/2, а расстояние пучность—узел равно λ/4.

Образование стоячих волн наблюдают при

интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная — узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — получается пучность.

Уравнение стоячей волны и его анализ

Частным случаем интерференции волн, являются стоячие волны.

Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.

Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.

При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида

и где α-разность фаз волн в точках плоскости x=0, образуется плоская синусоидальная стоячая волна, описываемая уравнением

Амплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущих волн является периодической функцией координаты x.

Положение узлов и пучностей находится из условий

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн.

В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты x рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты x. При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачком на π,так как при этом cos(k*x+α/2) изменяет свой знак на противоположный.

Источник

Что такое узлы и пучности

Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Волны накладываются друг на друга, не возмущая (не искажая друг друга). Это и есть принцип суперпозиции волн.

Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза ):

Сложим уравнения и преобразуем по формуле суммы косинусов (5.4.3):

.

Т.к. , то можно записать:

.

Учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

В выражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:

где суммарная амплитуда .

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), , суммарная амплитуда равна максимальному значению: , – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), и суммарная амплитуда колебаний равна нулю , – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а), и узел – если более плотная (рис. 5.5, б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Источник

Что такое узлы и пучности

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета — так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением

Тогда уравнение (99.1) примет вид

Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).

Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.

Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :

Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) — стоячую волну деформации.

На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.

Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Источник

Стоячая волна

Всего получено оценок: 129.

Всего получено оценок: 129.

Одним из интересных явлений, связанных с волновыми процессами, является образование в среде стоячей волны. Рассмотрим механизм возникновения стоячих волн более подробно.

Прямые и отраженные волны

Если натянуть длинный шнур и резко двинуть один из его концов в поперечном направлении, то возбужденная волна побежит по шнуру, и ее будет легко наблюдать. Если второй конец шнура закреплен, и общие механические потери невелики, то волна, добежав до закрепленного конца шнура, отразится и начнет движение по шнуру обратно.

Рис. 1. Колебания закрепленного шнура рукой.

Длина отраженной волны будет равна длине прямой волны, амплитуда будет близка к ней (поскольку потери невелики), фаза же будет отличаться.

Действительно, в закрепленном конце сила упругости удерживает шнур в одном положении, поэтому она направлена противоположно отклонению шнура, а значит, она действует на шнур в противофазе относительно прямой волны.

Таким образом, если на одном конце будут возбуждаться гармонические волны, двигающиеся по шнуру, а на другом конце эти волны будут отражаться, то по шнуру будут двигаться одновременно с равной скоростью две волны, имеющие одинаковые длины, одинаковые амплитуды, но разные фазы.

Образование пучностей

Если в некоторой точке в какой-то момент отклонение прямой и обратной волн совпадут, то в этот момент отклонение шнура будет иметь двойную амплитуду. Допустим, это будет максимум. В следующие моменты отклонения и прямой, и отраженной волны в этой точке будет все меньше и меньше, до тех пор, пока до этой точки не дойдут минимумы обоих волн. Поскольку длины волн и скорости распространения одинаковы, то минимумы волн в эту точку придут также одновременно. В результате точка отклонится в сторону минимума на двойную амплитуду волны.

То есть, в шнуре, по которому двигаются две волны в противоположном направлении, будет существовать ряд точек, которые колеблются с двойной амплитудой. Такие точки называются пучностями.

Образование узлов

Более интересное явление произойдет в точке, между соседними пучностями. Эта точка называется узлом. В узле одна волна опережает пучность на четверть волны, а другая – отстает от нее настолько же.

Если в обоих волнах в пучности в данный момент максимум, то в узле в обоих волнах нулевое отклонение. Тоже самое происходит и в момент, когда в пучности минимум.

Но самое интересное происходит, когда в пучности нулевое отклонение. В этот момент в узле одна волна имеет максимум, а другая – минимум. Волны складываются, и, поскольку их амплитуды равны, в узле амплитуда опять равна нулю.

Таким образом, амплитуда колебаний в узле равна нулю в любой момент времени.

Рис. 2. Узлы и пучности стоячей волны.

Стоячая волна

Поскольку скорость перемещения прямой и обратной волн одинакова, пучности и узлы всегда остаются на одном месте. Узлы образуются там, где обе волны одновременно могут иметь нулевое отклонение. Легко видеть, что расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Поскольку между двумя соседними узлами всегда есть одна пучность, то расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны.

Такое состояние шнура (и вообще, среды, в которой распространяются волны), когда в нем имеется ряд неперемещающихся узлов и пучностей, называется стоячей волной.

В отличие от бегущей волны, стоячая волна не переносит энергию. В самом деле, поскольку стоячая волна состоит из двух бегущих в противоположные стороны волн, каждая из которых несет энергию в своем направлении, то общий баланс энергии равен нулю. Вся энергия стоячей волны уходит во внутреннюю энергию среды.

Рис. 3. Коэффициент стоячей волны.

Что мы узнали?

Стоячая волна – это явление сложения прямой и отраженных волн, при которых в среде имеются узлы и пучности. Стоячая волна не переносит энергию, вся ее энергия переходит во внутреннюю энергию среды. Для характеристики стоячей волны, используется специальный коэффициент.

Источник