Что такое условная вероятность события

Математика — онлайн помощь

Случайное событие определяется как событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются другие дополнительные условия, то вероятность называют условной. Например, часто приходится вычислять вероятность одного события при дополнительном условии, что произошло другое событие.

Пусть А и В – наблюдаемые события в испытании.

Условной вероятностью Р(В/А) наступления события В при условии, что событие А произошло в результате испытания, называется величина определяемая равенством . (13.1.10)

Аналогично определяется условная вероятность Р(А/В)

, где Р(А)>0, P(B)>0. (13.1.11)

Основанием для подобного введения условной вероятности служит свойство 5, справедливое для статистического и классического определения вероятности.

ПРИМЕР 13.1.12 В урне 3 белых и 2 красных шара. Из урны последовательно без возвращения извлекают два шара (испытание). Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен красный шар (событие А).

Решение. После первого испытания, когда произошло событие А, в урне осталось 4 шара, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность равна .

Определим теперь по формуле (13.1.10).

Вероятность появления красного шара в первом испытании .

Найдем вероятность того, что в первом испытании извлечен красный шар, а затем – белый. Общее число случаев совместного появления двух шаров любого цвета .

При этом событию случаев.

Следовательно, .

.

Как и следовало ожидать, ответ получился такой же, как и при непосредственном вычислении.

Теоремы умножения вероятностей

Из формул (13.1.10), (13.1.11) получается теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Случайные события называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, имело место или нет другое событие. Если для примера 13.1.12 в первом испытании наступило бы событие А (извлечен не красный, а белый шар), то

.

Следовательно, событие В зависит от события А.

ТЕОРЕМА 13.1.1 Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
. (13.1.12)

ПРИМЕР 13.1.13 Вероятность попадания ракеты в цель (событие А) . Вероятность поражения цели при попадании в нее одной ракеты (событие В) . Найти вероятность поражения цели при пуске одной ракеты.

Решение. Событие АВ – ракета попала в цель и цель поражена.

По теореме 13.1.1: .

Теорему 13.1.1 можно обобщить на случай любого числа событий.

ТЕОРЕМА 13.1.2 Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже наступили.

.(13.1.13)

В частности, для трех событий:

. (13.1.14)

Событие А называется независимым от события B, если выполняется условие
, где . (13.1.15)

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, что следует из формулы (13.1.13) с учетом формулы (13.1.15): (13.1.16)

где .

Это означает, что свойство независимости событий взаимно.

События А и В называются независимыми, если . (13.1.17)

Формула (13.1.17) выражает теорему умножения для независимых событий.

Теорема 13.1.3 Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора из событий выполняется равенство:
.

ТЕОРЕМА 13.1.4 Вероятность произведения нескольких независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий: . (13.1.18)

Независимость событий

Формулы (13.1.17), (13.1.18) позволяют установить независимость (зависимость) событий, если известны вероятности всех нужных событий. На практике независимость событий обычно устанавливают из физических соображений.

ПРИМЕР 13.1.14 Два стрелка производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка (событие А1) , вероятность попадания в цель для второго стрелка (событие А2) .

Чему равна вероятность того, что оба стрелка попадут в цель?

Решение. События — независимы.
.

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Учебник по теории вероятностей

1.5. Условная вероятность

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Примеры решений на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Получаем
.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.

Источник

Зависимые события и условная вероятность

На предыдущем уроке мы ознакомились с основными теоремами сложения и умножения вероятностей, а также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Кратко повторим, что такое независимость событий: события и являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.

Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.

Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие является зависимым, если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло, называется условной вероятностью наступления события и обозначается через . При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них).

Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:

а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.

Решение: рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.

а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого тоже была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена карта другой масти.

Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: (т.к. все червы остались в колоде).

Ответ:

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению:
– вероятность наступления события при условии, что до этого были извлечены две червы.

Для самостоятельной тренировки:

В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце урока.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися. Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в «разогретой» задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна .

На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:

В нашем случае:
– вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.

Аналогично:
– вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти и затем черва.

Вероятность события получилась заметно больше вероятности события , что, в общем-то, было очевидно безо всяких вычислений.

И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2) вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:
, впрочем, это ещё щедрый шанс.

Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество.

Закрепим материал несколькими типовыми примерами:

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.

Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий.

Решение: всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:

а) Рассмотрим события – первый шар будет белым, – второй шар будет белым и найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.

По классическому определению вероятности: . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому:
– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут белыми.

б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным

По классическому определению: – вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.

в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)

После извлечения белого шара (с вероятностью ) в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– искомая вероятность.

Ответ:

Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: – того, что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.

События образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
,что и требовалось проверить.

И сразу же предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решения и ответы в конце урока.

Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.

Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Пусть, например, студент наугад отвечает на вопросы какого-нибудь теста – данные события хоть и происходят одно за другим, но незнание ответа на один вопрос никак не зависит от незнания других ответов =) Хотя, закономерности тут, конечно, есть =) Тогда совсем простой пример с неоднократным подбрасыванием монеты – сей увлекательный процесс даже так и называется: повторные НЕзависимые испытания.

Я как мог, старался отсрочить этот момент и подбирать разнообразные примеры, но если в задачах на теорему умножения независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами =) Поэтому никуда не деться – снова урна:

Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:

а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.

Решение: всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.

Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности.

а) Рассмотрим событие: – все три шара будут черными.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

б) Второй пункт интереснее, рассмотрим событие: – будет не меньше двух шаров черного цвета. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: либо все шары будут чёрными (событие ) либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой .

Событие включается в себя 3 несовместных исхода:

в 1-м испытании извлечён белый и во 2-м и в 3-м испытаниях – чёрные шары
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – БШ и в 3-м – ЧШ
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – ЧШ и в 3-м – БШ.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет 2 чёрных и 1 белый шар.

На всякий случай озвучу примерный ход рассуждений при конструировании, например, произведения :
«в 1-м испытании с вероятностью извлекается ЧШ, после чего в урне останется 9 шаров, среди которых 6 белых и 3 чёрных. И во 2-м испытании с вероятностью извлекается БШ, после чего в урне останется 8 шаров, среди которых 5 белых и 3 чёрных. И, наконец, в 3-м испытании с вероятностью будет снова извлечён ЧШ»

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет не менее двух черных.

Ответ:

Вы просто не сможете от этого отказаться =):

Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами

А почему бы и нет? Ситуация более чем реалистичная: представьте, начался экзамен, в аудиторию пригласили 5 человек. Проведите самостоятельное исследование – какова вероятность того, что хоть кому-то из этих пяти добровольцев повезёт с билетом?

К вопросу о тактике и стратегии сдачи экзамена мы вернёмся в конце статьи, а пока рассмотрим ещё одну стандартную задачу о перекладывании шаров из урны в урну:

В первой урне содержится 12 шаров, из них 7 белых, во второй – 6 шаров, из них 3 белых. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

Решение: по условию, из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, и, очевидно, он может быть как белым, так и не белым. В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:

– из 1-й урны во 2-ю будет переложен белый шар;
– из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар.

Обозначим через зависимое событие – из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Несовместные исходы удобно расписать по пунктам:

1) По классическому определению: – вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет переложен белый шар. Пусть гипотеза осуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых теперь 4 белых шара. Таким образом: – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что во 2-ю урну будет переложен белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

2) По классическому определению: – вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет переложен не белый шар. Пусть гипотеза осуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых по-прежнему 3 белых. Таким образом: – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен не белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Подводим итог. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Ответ:

Более интересная вариация по теме:

В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар.

Для решения задания нужно рассмотреть 3 несовместные гипотезы, привлечь на помощь комбинаторику и воспользоваться типовой задачей на классическое определение вероятности.

Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко, в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны – смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей. Кстати, там немало и других интересных заданий.

А в заключение этой статьи мы разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал на самом первом уроке =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:

Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.

Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос: в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или если зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?

Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.

Рассмотрим событие: – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: .

Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:

– Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
– Настя вытянет «плохой» билет, т.е. увеличит шансы Пети.

Событие же (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым.

1) Предположим, что Настя с вероятностью «увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности:

2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью «избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению:

Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:

Вероятность… осталось той же! Хорошо, рассмотрим событие: – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.

Здесь гипотез будет побольше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности !

Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неизменными. НО. Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» будут слишком уж преувеличенными высказываниями. Даже если Петя знает всего лишь 3 билета из 30, то его шансы составляют 10%, что заметно выше нуля. И из личного опыта расскажу обратный случай: на экзамене по аналитической геометрии я хорошо знал 24 вопроса из 28, так вот – в билете мне попались два «плохих» вопроса; вероятность сего события подсчитайте самостоятельно 🙂

Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики всё же выгоднее придерживаться в реальных условиях? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:

Если Вы готовы к экзамену хорошо, то, наверное, лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят» работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.

Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов к экзамену достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. Иными словам, «больше знает, чем не знает». В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Действуйте по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!), и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха. Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть: расклад «24 билета/8 плохих» будет лучше соотношения «30 билетов/10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!

Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять). Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что Вам останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы 😉

Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит внятное вероятностное обоснование!

Ну, а если на экзамене произойдёт «несчастный случай», не расстраивайтесь и вспомните моё пожелание:

Задача 2: Решение: рассмотрим события: – при 1-й, 2-й, 3-й и 4-й попытках соответственно будет извлечён выигрышный билет.

а) Пусть событие состоялось. Тогда в конверте осталось 9 билетов, среди которых 2 выигрышных. По классическому определению:
– вероятность того, что 2-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого извлечён выигрышный билет.

б) Если произошли события , то в конверте осталось 8 билетов, среди которых 1 выигрышный. По классическому определению:
– вероятность того, что 3-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого было извлечено два выигрышных билета.

в) Если произошли события , то в конверте не осталось выигрышных билетов. По классическому определению:
– вероятность того, что 4-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого были извлечены три выигрышных билета.

Ответ:

Задача 4: Решение: всего: 4 туза в колоде. Рассмотрим события – первой картой будет извлечён туз, – 2-й картой будет извлечён туз. По классическому определению вероятности: . В случае осуществления события в колоде останется 35 карт, среди которых 3 туза, поэтому: – вероятность того, что 2-й картой будет извлечён туз, при условии, что до этого был извлечен туз.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд.
Ответ:

Задача 5: Решение: всего: 6 + 5 + 4 = 15 шаров в урне. Рассмотрим следующие события:
– 1-й шар будет черным;
– 2-й шар будет красным;
– 3-й шар будет белым.

а) По условию, события и уже произошли, а значит, в урне осталось 13 шаров, среди которых 4 белых. По классическому определению: – вероятность того, что 3-й шар будет белым при условии, что до этого был извлечён черный и красный шар.

б) По классическому определению: . Предположим, что событие произошло, тогда в урне осталось 14 шаров, среди которых 5 красных. По классическому определению: – вероятность того, что 2-й шар будет красным при условии, что 1-й был чёрным.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что первый шар окажется черным и второй – красным и третий – белым

Ответ:

Задача 7: Решение: рассмотрим события:
– хотя бы одному из пяти студентов достанется билет с простыми вопросами;
– всем пятерым достанутся непростые билеты.
Данные события являются противоположными, поэтому .
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Таким образом: – искомая вероятность
Ответ:

Задача 9: Решение: рассмотрим зависимое событие (после перемещения двух шаров из 2-й урны будет извлечён белый шар) и предшествующие ему несовместные гипотезы:
– из 1-й урны во 2-ю будут переложены два белых шара;
– будет переложен белый и чёрный шар;
– будут переложены два чёрных шара.
способами можно извлечь два шара из первой урны.

1) способами можно извлечь два белых шара из 1-й урны. По классическому определению: – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара. При осуществлении данной гипотезы во 2-й урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению: – вероятность того, что из 2-й урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) способами можно извлечь белый и черный шар из 1-й урны. По классическому определению: – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены белый и черный шар. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом: – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

3) способом можно извлечь два черных шара из 1-й урны. По классическому определению: – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Таким образом: – вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий:

– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Ответ:

Источник