Что такое уравнение равновесия
iSopromat.ru
Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:
Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.
Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, MO=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:
Формы условий равновесия
Первая форма
Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:
причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.
Вторая форма
Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:
Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.
Третья форма
Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.
Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.
Другие условия равновесия
При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):
Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:
Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:
и два уравнения для плоской системы:
В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Уравнения равновесия системы сил
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ
Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.
Если система уравновешена, то получаем условия равновесия:R = 0, Mo = 0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:
Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy ) из этих уравнений получаются только три:
Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:
При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):
Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:
Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:
и два уравнения для плоской системы:
В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Физика:
Контакты
Содержание
Уравнения равновесия
Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:
Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.
Условие равновесия системы сходящихся сил
Проекция силы на ось
Эту проекцию обычно обозначают как Рx или X. В соответствии с определением она равна:
$$ P_x > 0\text<, если >0 \leq \alpha
Момент силы относительно центра
Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.
Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.
Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.
Уравнения равновесия плоской системы сил
Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.
Центр тяжести
Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.
Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил
Условия равновесия произвольной системы сил
Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:
Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:
Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:
Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:
где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.
Условия равновесия плоской системы сил
Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:
Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:
Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.
И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:
Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.
Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.
Уравнения равновесия для плоской системы сил
Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:
Сумма моментов относительно точки A:
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):
Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):
Условие равновесия пространственной системы сил
Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:
Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.
Уравнения равновесия для пространственной системы сил
В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:
iSopromat.ru
Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.
При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат
что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы
из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.
Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.
Пример составления уравнений равновесия
В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F1-F6, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.
Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.
Суммы проекций сил
Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):
здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.
Суммы моментов
Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):
Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах