что такое секанс и косеканс

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Что такое секанс и косеканс

Синусом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left( \right)\).

Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)

Тангенсом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)

Котангенсом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)

Секанс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left( \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)

Косеканс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left( \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)

В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left( \right)\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)

График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Источник

КОСЕКАНС

— одна из тригонометрических функций:

К.- функция неограниченная нечетная периодическая (с периодом 2p). Производная К.:

Смотреть что такое «КОСЕКАНС» в других словарях:

КОСЕКАНС — (ново лат. cosecans, вместо complementi secans дополнение секанса). Секанс угла, дополняющий данную дугу до 90°. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КОСЕКАНС секанс (см.) угла, дополнительная к данному … Словарь иностранных слов русского языка

КОСЕКАНС — КОСЕКАНС, в ТРИГОНОМЕТРИИ отношение длины ГИПОТЕНУЗЫ к длине стороны, противоположной острому углу в прямоугольном треугольнике. Косеканс угла А обычно сокращенно обозначают как cosec (А). Это величина, обратная синусу … Научно-технический энциклопедический словарь

КОСЕКАНС — (новолат. cosecans от complementi secans секанс дополнения), одна из тригонометрических функций … Большой Энциклопедический словарь

КОСЕКАНС — [сэ], косеканса, муж. (лат. cosecans) (мат.). Тригонометрическая функция секанс дополнительного угла. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

КОСЕКАНС — муж. матем. секанс дополнения дуги и угла к 90°. Косинус муж. синус дополнения угла к 90°. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

косеканс — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

косеканс — косеканс. Произносится [косэканс] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

Косеканс — Косеканс тригонометрическая функция. Она определяется как В прямоугольном треугольнике косеканс соответствует отношению длины гипотенузы (здесь обозначена зелён … Википедия

косеканс — [сэ], а; м. [от лат. co вместе и secans секущий] Матем. Одна из тригонометрических функций секанс дополнительного угла. * * * косеканс (новолат. cosecans, от complementi secans секанс дополнения), одна из тригонометрических функций. * * *… … Энциклопедический словарь

Косеканс — (новолат. cosecans, сокращение от complementi secans Секанс дополнения) одна из тригонометрических функций (См. Тригонометрические функции); обозначение cosec. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение гипотенузы к … Большая советская энциклопедия

Косеканс — см. Тригонометрия … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Источник

СЕКАНС

Смотреть что такое «СЕКАНС» в других словарях:

СЕКАНС — (лат., от secare сечь, рассекать). В тригонометрии: радиус круга, проведенный из центра круга до конца касательной черты, за окружность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. СЕКАНС лат. secans, от secare … Словарь иностранных слов русского языка

СЕКАНС — (лат. secans секущая) одна из тригонометрических функций … Большой Энциклопедический словарь

СЕКАНС — [сэ], секанса, муж. (латин secans, букв. рассекающий) (мат.). Тригонометрическая функция угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению гипотенузы к катету, прилежащему к углу. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

СЕКАНС — муж. тригоном. луч (радиус) круга, протянутый до конца касательной черты, за окружность. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

секанс — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

секанс — секанс. Произносится [сэканс] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

Секанс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

секанс — а; м. [от лат. secans секущий] Матем. Одна из тригонометрических функций угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению гипотенузы к катету, прилежащему к данному углу. * * * секанс (лат. secans секущая), одна из тригонометрических функций … Энциклопедический словарь

Секанс — [лат. secans, здесь секущая (прямая); от seco режу, рассекаю], одна из тригонометрических функций (См. Тригонометрические функции); обозначение sec. В прямоугольном треугольнике С. острого угла называют отношение гипотенузы к катету,… … Большая советская энциклопедия

Источник

История тригонометрических функций

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.

Определение и графики тригонометрических функций

Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
Множество действительных чисел: R
Координаты точки окружности: x, y

Радиус круга: r
Целые числа: k

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞ Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Тригонометрия в природе.

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

· Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

· К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

· Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

· Основной земной ритм – суточный.

· Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

· Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Связь биоритмов с тригонометрией

· Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

· Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

· Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

· диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

· Детская школа Гауди в Барселоне

· Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

· Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Значения тригонометрических функций

Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:
=180рад

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Источник