Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
D = 2r, значит r =
D
.
2
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
S = π(
D
) 2 = π
D 2
= π
D 2
.
2
2 2
4
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
S =
πr 2
· n =
πr 2 n
,
360
360
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
πr 2 n
= n ·
πr
·
r
,
360
180
2
где
nπr
— это длина дуги сектора.
180
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
В данной публикации мы рассмотрим определение сегмента круга и формулы, с помощью которых можно вычислить его площадь (через радиус и центральный угол кругового сектора). Также разберем примеры решения задач для демонстрации практического применения формул.
Определение сегмента круга
Сегмент круга – это часть круга, которая ограничена дугой окружности и ее хордой.
Хорда – это часть прямой (секущей), которая пересекает круг. Концы хорды соединяются с центром круга, в результате чего образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются радиусом окружности. Если к этом треугольнику добавить сегмент, получится сектор.
Формулы нахождения площади кругового сегмента
Через радиус и центральный угол в градусах
α° – угол в градусах.
Через радиус и угол сектора в радианах
αрад – угол в радианах.
Примеры задачи
Задание 1 Найдите площадь сегмента круга, если его радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, стягивающего сегмент, составляет 45 градусов.
Решение Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:
Решение В данном случае мы можем получить радиус из формулы, в которой задействован угол в радианах:
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства. Число π
Формулы для площади круга и его частей
Формулы для длины окружности и ее дуг
Площадь круга
Длина окружности
Длина дуги
Площадь сектора
Площадь сегмента
Основные определения и свойства
Фигура
Рисунок
Определения и свойства
Окружность
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
Числовая характеристика
Рисунок
Формула
Площадь круга
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
Числовая характеристика
Рисунок
Формула
Длина окружности
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Длина окружности
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Сегмент — плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой. Как частный случай, круговой сегмент: часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.
Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:
где — угол в радианах.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Сегмент (геометрия)» в других словарях:
Сегмент — (от лат. segmentum отрезок, полоса, от seco режу, рассекаю) часть чего либо. В математике Сегмент, или отрезок множество точек прямой, включающее свои концы. Сегмент (геометрия) плоская фигура, заключённая между … Википедия
Сектор (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Сектор. Сектор круга закрашен зелёным Сектор в геометрии часть круга, ограниченная дугой и двумя ра … Википедия
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера
Жёсткость (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Жёсткость (значения). Жёсткость свойство подмногообразия в евклидовом пространстве (или, более обще, в пространстве постоянной кривизны), заключающееся в том, что любая его изометрическая… … Википедия
Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда … Википедия
Жесткость (геометрия) — Жёсткость свойство подмногообразия M в евклидовом пространстве (или, более обще, в пространстве постоянной кривизны), заключающееся в том, что любая его изометрическая вариация (бесконечно малое изгибание) является тривиальной, то есть… … Википедия
История математики — История науки … Википедия
Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
Ford C-Max — Ford C Max … Википедия
Вавилонская математика — Данная статья часть обзора История математики. Вавилонская табличка с вычислением = 1.41421296. Вавилоняне писали … Википедия
Сегмент (от лат. segmentum — отрезок, полоса, от seco — режу, рассекаю) — часть чего-либо.
Полезное
Смотреть что такое «Сегмент» в других словарях:
СЕГМЕНТ — (геомет.) часть круга, заключающаяся между дугою круга и хордою, стягивающею эту дугу. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. СЕГМЕНТ (лат. segmentum). Отрезок круга, заключающийся между хордой и… … Словарь иностранных слов русского языка
СЕГМЕНТ — и (разг.). СЕГМЕНТ, сегмента, муж. (лат. sagmentum отрезок). 1. Площать между дугой и ее хордой (мат.). Сегмент круга. || Честь тела, ограниченная плоскостью и отсекаемой ею частью поверхности тела (мат.). Сегмент шара. 2. Один из расположенных в … Толковый словарь Ушакова
сегмент — раздел, секция; отрезок; макросегмент, участок, членик Словарь русских синонимов. сегмент сущ., кол во синонимов: 10 • бизнес сегмент (1) • … Словарь синонимов
сегмент — а, м. segment, лат. segmentum отрезок. ♦ геол. Мы имеем как бы отдельные сегменты и той пластической массы, движение которой ( flux plastique) обуславливает деформацию земной коры.. эти сегменты пластического потока (segment de flux )… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
сегмент — (неправильно сегмент; встречается в профессиональной речи) … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке
СЕГМЕНТ — (лат. segmentum от seco рассекаю),1) часть круга, ограниченная дугой и ее хордой.2) То же, что отрезок … Большой Энциклопедический словарь
СЕГМЕНТ — СЕГМЕНТ, а, муж. 1. В математике: то же, что отрезок прямой. 2. В геометрии: часть круга, ограниченная дугой и её хордой, а также часть шара, отделённая секущей плоскостью. 3. Один из многих однородных члеников тела нек рых животных, а также один … Толковый словарь Ожегова
СЕГМЕНТ — муж., геом. отрезок круга или шара. Отрезок круга, часть площади круга, между тетивою (хордою) и окружностью; отрезок шара, часть толщи его, между любым кругом и поверхностью шара. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
СЕГМЕНТ — [segmentum отрезок] 1. В ботанике, в сложных листьях папоротников и птеридоспермов доли последнего порядка, цельные или надрезанные; у простоперистых листьев беннеттитов и саговниковых непосредственно боковые доли листа. 2. У некоторых животных… … Геологическая энциклопедия
СЕГМЕНТ — (от лат. segmentum отрезок, часть), или метамер, отдел тела животного, расчлененного вдоль главной оси на участки, в к рых повторяютсянек рые его органы. Сегментация может быть наружной, как напр. у кольчатых червей или у членистоногих, у к рых… … Большая медицинская энциклопедия
Основные определения и свойства. Число π
,
,
,
,
,
,
— угол в радианах.