Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.
Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.
Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций (проецированием на дополнительную плоскость), приведенными в предыдущем параграфе.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.
Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 176, в). Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом Rh равным образующей конуса sfd, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора, равна приблизительно
38 мм (L = √l5 2 + 35 2 = √l450 ≈ % 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле
В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.
Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке s. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.
pdf Презентация «Развёртки поверхностей геометрических тел»
pdf Длина окружности и площадь круга
pdf Развёртки многогранников и тел вращения
pdf
Возьмите карандаш и проведите на гранях куба (рис. 1) кратчайший путь из точки А в точку В.
Казалось бы, надо провести линию в переднюю вершину куба, а затем вниз по ребру. Но этот путь, увы, не кратчайший.
Развернём грани куба в одну плоскость, отметим точки А и В и соединим их прямыми, как показано на рисунке 2.
Кратчайший путь, как видим, проходит через середины ребер куба, а не через его вершины. Этот путь обозначен на рисунке 3, сплошными тонкими линиями.
Плоская фигура, полученная нами на рисунке 2, называется разверткой куба.
Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Оформление чертежа развёртки
От линий сгиба на развёртке, которые проводят штрихпунктирной линией с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба». Над изображением развёртки выносят специальный знак, размеры которого изображены на рисунке 5.
Рис.5. Обозначение развёртки
Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при последовательным совмещением всех граней поверхности (многогранника) с плоскостью чертежа в последовательности их расположения на многограннике.
При построении развертки надо найти сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.
Призма
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней – прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований.
Для построения развертки прямой призмы – параллелепипеда, достаточно знать три размера: длину, ширину и высоту призмы (рис. 6).
Рис. 6. Развертка поверхности параллелепипеда
Возьмём правильную прямую шестиугольную призму (рис. 7). Все боковые грани призмы – прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы – правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Рис. 7. Развертка поверхности прямой шестиугольной призмы
Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Пирамида
Рис. 8. Развертка поверхности правильной четырёхугольной пирамиды
Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 8) истинную длину наклонного ребра SA, равную s’a’1, из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s’a’1. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Рис. 9. Развертка поверхности правильной пятиугольной пирамиды
Конус
Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 10).
Рис. 10. Развертка поверхности прямого кругового конуса
Построение конуса выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом R1 равным образующей конуса s’a’, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора (a 2 +b 2 =c 2 ), равна приблизительно 38 мм (L=√15 2 +35 2 =√1450≈ 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле:
где R – радиус окружности основания конуса (15 мм); L – длина образующей боковой поверхности конуса (38 мм).
В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.
Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.
Цилиндр
Общеизвестно также, что развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – развернутой длине окружности основания 2πR (рис. 11).
Рис. 11. Развертка поверхности прямого цилиндра
В школе на уроках географии вы пользуетесь географическими картами. На картах мира (рис. 12, а) земной шар изображается в виде кругов — восточного и западного полушария.
Но разве развертка шара – круг или, точнее, два круга?
Попытаемся развернуть и совместить с плоскостью шаровую поверхность. Сделать это без складок и разрывов не удастся. Многие геометрические фигуры легко развертываются в плоскость, а шар – нет.
Если поверхность глобуса разрезать вдоль меридианов на маленькие дольки (сегменты) и выпрямить их, то в каждой из этих выпрямленных долек мы можем не заметить никаких видимых искажений. Но развертку мы получим с разрывом (рис. 12, б).
Рис. 12. Географическая карта
Именно такие «дольки» нарезают по контуру и наклеивают одну возле другой на поверхность школьного глобуса. Присмотритесь к глобусу, и вы убедитесь, что это так.
Чтобы получить карту без разрыва, приходится допускать некоторые неточности, которые сводятся к искажению направлений, расстояний и площадей, неодинаковых в разных частях карты.
Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке 13: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.
16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров.
Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.
Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — прямоугольников и двух оснований — многоугольников.
Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани — равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания — правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а — два вида; б — развертка поверхностей
Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.
Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая — длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды.
Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а — два вида; б — развертка поверхностей
Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.
Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D — диаметр окружности основания, L —длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.
Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а — два вида; б — развертка поверхностей
Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б): Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
1. РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом «Инструмент»
2. УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Комитета стандартизации и метрологии СССР от 29.12.91 N 2302
Настоящий стандарт разработан методом прямого применения международного стандарта ИСО 5420-83 «Развертки. Термины, определения и типы» и полностью ему соответствует
4. ССЫЛОЧНЫЕ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ДОКУМЕНТЫ
Обозначение НТД, на который дана ссылка
5. ПЕРЕИЗДАНИЕ. Август 2004 г.
Настоящий стандарт устанавливает термины и определения понятий конструктивных размеров, геометрических параметров и типов разверток.
Термины, установленные настоящим стандартом, обязательны для применения во всех видах документации и литературы (по данной научно-технической отрасли), входящих в сферу работ по стандартизации и (или) использующих результаты этих работ.
1. Для каждого понятия установлен один стандартизованный термин.
2. Заключенная в круглые скобки часть термина может быть опущена при использовании термина в документах по стандартизации.
В алфавитном указателе данные термины приведены отдельно с указанием номера одной статьи.
3. Приведенные определения можно, при необходимости, изменять, вводя в них производные признаки, раскрывая значения используемых в них терминов. Изменения не должны нарушать объем и содержание понятий, определенных в данном стандарте.
В случаях, когда в термине содержатся все необходимые и достаточные признаки понятия, определение не приводится и вместо него ставится прочерк.
4. В стандарте приведены иноязычные эквиваленты стандартизированных терминов на немецком (de), английском (en) и французском (fr) языках.
5. В стандарте приведены алфавитные указатели терминов на русском языке и иноязычных эквивалентах.
Термины-эквиваленты на итальянском, голландском и словацком языках приведены в приложении.
* Вводная часть стандарта приведена в соответствии с типовой вводной частью, принятой для государственных стандартов на термины и определения.
1. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ РАЗМЕРОВ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАЗВЕРТОК
1.1 ось (развертки): Продольная центровая линия развертки (черт.1А, 1В и 1С)
Развёртка поверхности, фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными.
Также близко по смыслу понятие развёртки в оригами.
В технике развёрткой называют плоскую заготовку или чертёж плоской заготовки, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём изгибания. В этом случае развёртка не вполне отвечает математическому определению, из-за необходимости учёта изменения длин изгибаемого материала.
развёртка — развёртка … Словарь употребления буквы Ё
РАЗВЁРТКА — (1) в машиностроении: а) осевой многолезвийный режущий инструмент для повышения точности формы, размеров отверстия и уменьшения шероховатости поверхности; применяется для чистовой обработки отверстий (см. ); б) развёрнутый в плоскости контур… … Большая политехническая энциклопедия
развёртка — 1. РАЗВЁРТКА, и; ж. Спец. 1. к Развернуть развёртывать (1 зн.). 2. Развёрнутая на плоскости поверхность детали или целого тела сложной формы. Р. цилиндра. 2. РАЗВЁРТКА, и; мн. род. ток, дат. ткам; ж. 1. к Развертеть разверчивать. (1 2 зн.). 2.… … Энциклопедический словарь
развёртка — развёртка, развёртки, развёртки, развёрток, развёртке, развёрткам, развёртку, развёртки, развёрткой, развёрткою, развёртками, развёртке, развёртках (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
РАЗВЁРТКА — РАЗВЁРТКА, развёртки, жен. 1. только ед. Действие по гл. развернуть в 1, 2 и 10 знач. развертывать. 2. Развернутая на плоскости поверхность геометрического тела (спец.). Чтобы склеить куб, цилиндр, конус, надо начертить на бумаге их развертки и… … Толковый словарь Ушакова
РАЗВЁРТКА — РАЗВЁРТКА, и, жен. 1. см. развернуть, ся и развертеть. 2. Металлорежущий инструмент (спец.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
развёртка — развёртка, и; р. мн. ток … Русское словесное ударение
РАЗВЁРТКА — электронная перемещение электронного луча в электронно лучевом приборе (осциллог рафич. трубке, кинескопе, электронно оптич. преобразователе и т. п.) с целью изучения функциональной зависимости нек рой физ. величины от независимой переменной.… … Физическая энциклопедия
развёртка — развёртка, и, род. п. мн. ч. ток … Русский орфографический словарь
развёртка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN scanscanningsweep … Справочник технического переводчика
Развёртка — I в геометрии, 1) развёртка кривой прямолинейный отрезок, длина которого равна длине этой кривой. Разыскание такого отрезка называется спрямлением кривой. Иногда под Р. кривой понимают её эвольвенту (см. Эволюта и эвольвента). 2)… … Большая советская энциклопедия
Предыдущий урок
Поурочное планирование 
pdf Презентация «Развёртки поверхностей геометрических тел»
Многогранники