что такое разбиение множества

Разбиение множества

Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

Определение

Пусть — произвольное множество. Семейство непустых множеств , где — некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением , если:

При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, число Стирлинга второго рода представляет собой количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей, в то время как мультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества задается числом Белла .

Примеры

Полезное

Смотреть что такое «Разбиение множества» в других словарях:

Разбиение — В математике Разбиение единицы Разбиение множества Разбиение интервала Разбиение числа … Википедия

Разбиение графа — Пример разбиения параллельной граф схемы алгоритма логического управления. В составе блоков, отмеченных разными цветами, нет параллельных вершин Разбиение графа на подграфы (англ. Graph partition) (иногда в литературе также употребляется… … Википедия

Разбиение Вороного — Диаграмма Вороного случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к… … Википедия

Разбиение Дирихле — Диаграмма Вороного случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к… … Википедия

РАЗБИЕНИЕ — 1) Р. представление заданного множества в виде объединения системы множеств, не имеющих попарно общих точек. В дискретной геометрии часто рассматривают Р. нек рого пространства на замкнутые области, к рые покрывают все пространство и попарно не… … Математическая энциклопедия

Разбиение числа — n это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В… … Википедия

Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

Двоичное разбиение пространства — BSP дерево это структура данных, используемая в трехмерной графике. Аббревиатура BSP означает Binary Space Partition двоичное разбиение пространства. BSP дерево используется для эффективного выполнения следующих операций: Сортировки… … Википедия

ИЗМЕРИМОЕ РАЗБИЕНИЕ — пространства с мерой ( М,m) разбиение x. этого пространства на непересекающиеся подмножества (именуемые элементами разбиения), к рое можно получить как разбиение на множества уровня нек рой измеримой функции (с числовыми значениями) на М. Это… … Математическая энциклопедия

НЕПРЕРЫВНОЕ РАЗБИЕНИЕ — топологического пространствах покрытие пространства Xпопарно непересекающимися непустыми множествами, удовлетворяющее условию: каковы бы ни были и окрестность Uмножества Fв X, найдется окрестность Vмножества Fв X, содержащаяся в Uи являющаяся… … Математическая энциклопедия

Источник

Разбиение множества

Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств.

Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса.

Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак.

Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств

Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям:

Тождества алгебры множеств

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения.

Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z)

Дополнение к занятию «операции над множествами»

Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой.

Для симметрической разности выполняются следующие законы:

Источник

Разбиение множества. Множества множеств.Классификация. Разбиение на классы. Примеры кратко

Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

Содержание

Определение

При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес вкомбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, число Стирлинга второго рода представляет собой количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей, в то время какмультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества задается числом Белла .

Примеры

Множество всех профессиональных союзов, а также множество всех воинских частей (дивизий, полков, батальонов, рот, взводов и т. д.) данной армии являются множествами множеств. Эти примеры показывают, что множества, являющиеся элементами данного множества множеств, могут в одних случаях пересекаться, в других случаях, наоборот, не иметь общих элементов.

Так, например, множество всех партий страны есть множество попарно не пересекающихся множеств, так как гражданин не может быть одновременно членом двух политическирх партий. С другой стороны, множество всех воинских частей какой-либо армии есть пример множества множеств, некоторые элементы которого являются подмножествами других элементов: так, каждый взвод есть подмножество некоторого полка, полк есть подмножество дивизии и т. д.

Множество спортивных команд данного города состоит, вообще говоря, из пересекающихся множеств, так как одно и то же лицо может входить в несколько спортивных команд (например, в команду пловцов и в команду волейболистов или лыжников).

Замечание. Для облегчения речи иногда вместо выражения «множество множеств» употребляются как совершенно равнозначащие выражения « система множеств» или «совокупность множеств».

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается

на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

примеры Разбиение на классы. Очень важный класс систем множеств получаем, если рассматриваем всевозможные разбиения какого-нибудь множества на попарно не пересекающиеся множества. Дано множество X, представленное в виде суммы попарно не пересекающихся подмножеств; множества, слагаемые нашей суммы, и являются элементами данного разбиения множества X.

Пример 1. М есть множество всех учащихся в средних школах Москвы. Множество М можно разбить на попарно не пересекающиеся подмножества, например, следующими двумя способами:

1) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одной и той же школы (т. е. разбиваем множество всех учащихся по школам);

2) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одного и того же класса (хотя бы и разных школ).

Пример 2. Пусть X есть множество всех точек плоскости ; возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую g и разобьем всю плоскость на прямые, параллельные прямой g. Множества точек каждой такой прямой и являются теми подмножествами, на которые мы разбиваем множество X.

Если данное множество X разбито на попарно не пересекающиеся подмножества, дающие в сумме множество М, то для краткости говорят просто о разбиении множества М на классы

Источник

Разбиение множества на классы.

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества.

Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса.

Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

Пример 5. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Решите задачу используя круги Эйлера: В группе английский язык изучают 15 студентов, немецкий – 10 студентов, а французский – 5, причем 3 студента изучают одновременно английский и немецкий языки, 2 студента изучают одновременно английский и французский языки, 1 студент изучает одновременно французский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? немецкий язык? французский язык?

1. Указать какие теоретические знания были использованы в ходе выполнения работы.

2. Указать какие умения и навыки были приобретены в ходе выполнения работы.

1) Какое множество называется конечным? пустым?

2) Что называется пересечением двух множеств?

3) Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

4) Известно, что А – множество спортсменов группы, В – множество отличников группы. Сформулируйте условия, при которых: а) А∩В=Ø б)АUВ=А.

Источник

Электронная библиотека

Напомним, что разбиением множества A называется семейство <A_i> его непустых попарно непересекающихся подмножеств, таких, что È_iA_i = A. Подмножества A_i называются блоками разбиения. Если в семействе учитывается порядок подмножеств, и если допускаются пустые блоки, то оно называется упорядоченным разбиением.

Упорядоченные разбиения и обобщенный бином Ньютона

Подмножество A₁ можно выбрать способами. Подмножество A₂ выбирается из оставшихся n-k₁ элементов, его можно будет выбрать способами. Подмножество A₃ можно будет выбрать способами, и т.д. Выбор подмножества A_m определен предшествующими подмножествами. Отсюда получаем:

Поскольку n – k₁ – … – k_m-1 = k_m, то после сокращения дроби получаем нужное равенство.

Рассмотрим как ящики сомножители произведения:

Разбиения и перечисление сюръекций

Пусть <B₁, …, B_k> – разбиение множества X, состоящего из n элементов. Обозначим через P_k(X) множество разбиений X на k блоков, а через P(X) – множество всех

Каждому разбиению мы сопоставили отношение эквивалентности и заметили, что разбиения составляют решетку относительно включения соответствующих отношений эквивалентности. Отсюда множество разбиений будет решеткой относительно неравенства p£s Û, каждый блок B Î s является объединением некоторых блоков из p.

Число S(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества <1,2,3,4, 5, 6, 7>на два блока исчерпываются следующими множествами:

Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:

2. Сколькими способами можно раскрасить 4 полосы флага в 7 цветов, так, чтобы, по крайней мере, две полосы имели одинаковый цвет?

3. Сколькими способами можно раскрасить 4 полосы флага в 7 цветов, так, чтобы рядом находящиеся полосы имели различные цвета?

4. Сколько перестановок p <1,2, …, 5> ® <1,2, …, 5> удовлетворяют условию p(1)¹ 2?

5. В соревновании принимают участие 8 спортсменов. Сколь­кими способами могут быть разделены медали (золотые, се­ребряные и бронзовые)?

8. Сколько чисел между 1000 и 10000 состоят из различных цифр?

9. Сколько семизначных чисел (не начинающихся с 0) состоят из различных цифр?

10. Доказать тождества непосредственно из определения числа :

11. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

1) хотя бы один туз? Ответ:

2) ровно один туз? Ответ:

3) не менее двух тузов? Ответ:

4) ровно два туза? Ответ:

12. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

1) 4 туза, 2 короля, 3 дамы;

2) 2 туза, 2 короля, 2 дамы;

3) 1 туз, 1 короля, 2 дамы, 3 десятки;

4) 4 туза, 4 короля, 2 дамы;

5) 2 туза, 3 короля, 1 дама, 1 десятка;

6) 3 туза, 2 короля, 4 дамы.

13. Разложением числа m называется конечная последовательность (x₁, x₂, ×××, x_n) неотрицательных целых чисел, таких, что x₁+ x₂+ ××× + x_n = m. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3?

Указание. Если в разложении p двоек и q троек, то 2p + 3q = 19. Отсюда получаем следующие варианты разложения:

1. Сколько разложений числа 12 состоит из чисел 2 и 3?

2. Сколькими способами можно разложить число 1024 в произведение трех натуральных чисел, каждое из которых больше 1?

3. Сколько существует на плоскости непрерывных путей из точки (0,0) в точку (n,n) Î N ´ N, состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?

4. Найти число непрерывных путей в декартовой плоскости, соединяющих точку (0,0) с точкой (m,n) Î N´N, проходящих через точку (p,q) и состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?

7. Найти число возрастающих функций <1,2,3,4,5>®<1,2,3,4,5,6,7>.

8. Найти число неубывающих сюръекций <1,2,3,4,5,6,7>®<1,2,3,4,5>.

9. Найти число неубывающих функций <1,2,3,4,5>®<1,2,3,4,5>.

10. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих из не более, чем n цифр, расположенных в неубывающем порядке (цифра 0 не допускается первой для ненулевых чисел). Например, при n = 2, такие числа будут равны:

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, …∙, 89, 99.

11. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих цифр, расположенных в возрастающем порядке.

12. Найти число неотрицательных целых чисел, десятичная запись которых состоит из n разрядов и содержит все цифры, расположенные в невозрастающем порядке.

13. Какое количество m ´ n-матриц можно составить из неотрицательных целых чисел a_ij ³ 0, таких, что S a_ij = k.

14. Десять человек разбились на 5 групп по 2 человека в каждой. Скольким способами это можно сделать?

Указание. Количество упорядоченных разбиений равно 10!/(2!2!2!2!2!). При перестановках групп получаются одинаковые разбиения, отсюда искомое число равно:

1. В группе 20 студентов. Одному человеку положено выдать надбавку к стипендии в размере 1000 рублей, двум – по 500, трем – по 300. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько существует шашечных позиций, состоящих из 10 белых и 10 черных шашек?

3. Сколько различных слов можно составить с помощью перестановок всех букв слова МАТЕМАТИКА. Словом называется произвольная конечная последовательность букв.

4. Оценить число шахматных позиций, содержащих все фигуры и пешки?

5. В урне находится k шаров. Каждый шар может иметь либо белый, либо черный, либо красный цвет. Какова вероятность того, что один шар белый, один – черный (а остальные красные)?

6. Найти коэффициент при в разложении степени в сумму однородных одночленов.

8. Сколько путей, составленных из направленных отрезков единичной длины, существует в трехмерной решетке из (0,0,0) в (p,q,r). Вектора отрезков равны (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Формула включения и исключения

9. Сколько чисел из принадлежащих множеству <1, 2, …, 1000> не делится ни на 10, ни на 12, ни на 9?

10. Группа из 20 студентов сдает зачеты по математике, физике и информатике. Множество студентов, сдавших математику и физику совпадает с множеством студентов, сдавших математику и информатику, и совпадает с множеством студентов, сдавших физику и информатику. Каждый студент сдал, по крайней мере, один зачет. Найти число студентов, сдавших все зачеты, если математику сдали 15, физику – 16, информатику – 17 студентов.

11. Найти число разбиений множества <1,2,3,4,5,6,7>на 3 блока.

12. Найти число разбиений множества, состоящего из 8 элементов.

14. Вывести формулу для числа сюръекций <1, 2, …, m>®<1, 2, …, n> с помощью формулы включения и исключения для подсчета числа несюръективных отображений |U₁È×××È U_n|, где U_i – множество отображений, образ которых не содержит элемент i.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник