что такое рациональные неравенства определение

Рациональные неравенства (ЕГЭ 2022)

Хочешь без труда решать ЛЮБЫЕ неравенства?

Тогда начни с рациональных! Они станут твоей крепкой опорой в решении других неравенств.

Читай эту статью и ты во всём разберешься!

Рациональные неравенства — коротко о главном

Определение рационального неравенства

Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов \(\displaystyle f\left(x\right)\) и \(\displaystyle g\left(x\right)\).

Стандартный вид рационального неравенства

Строгие рациональные неравенства

Рациональные неравенства — подробнее

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(\displaystyle x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство: \(\displaystyle \frac<-2>\le \frac\)

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Перенос. Общий знаменатель. Разложение на множители

Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях!

Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!

Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Источник

Рациональные неравенства и их системы с примерами решения

Содержание:

Простые рациональные неравенства и их системы

Рациональные неравенства одной переменной и методы их решения

Пример:

Решите неравенство: 2(2х-5)(Зх-8)(5-4х) 0, то мы можем возвести обе части заданного неравенства в квадрат: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определениеПри что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определениезаданное неравенства обязательно выполняется:

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Замена переменной

Этот метод аналогичен соответствующему методу замены переменной, использованному при решении иррациональных уравнений.

Пример:

Решите неравенство: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Решение:

Выпишем неравенство в виде:что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Введем новую переменную: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определениеВ этом случае

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Значит: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Пример:

Решите неравенство: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Решение:

Введем новую переменную: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Отсюда, что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определениеи получим рациональное неравенство от переменной t:

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Из последнего неравенства найдем х:

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Решение целых и дробно рациональных неравенств

Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства. Они являются частными случаями рациональных неравенств, изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.

Навигация по странице.

Что такое рациональные неравенства?

В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.

Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:

Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.

В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике [1, c.12] дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.

Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.

Рациональное неравенство будем называть целым, если обе его части – целые рациональные выражения.

Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.

Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.

Решение целых неравенств

Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x) (знак неравенства, естественно, может быть иным ≤, >, ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства.

В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.

Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом.

Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6 :
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x) (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x) (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.

Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.

По чертежу записываем ответ что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

Решение дробно рациональных неравенств

Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x) (≤, >, ≥), где r(x) и s(x) – некоторые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них – дробное. Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения.

Алгоритм решения дробно рационального неравенства с одной переменной r(x) (≤, >, ≥):

Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.

Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x) (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x) (≤, >, ≥).

Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.

На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.

Решите рациональное неравенство что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

Воспользуемся алгоритмом решения рациональных неравенств.

Теперь добиваемся того, чтобы в правой части неравенства был нуль, для этого переносим выражение из правой части в левую, не забыв изменить знак этого выражения. В результате приходим к равносильному неравенству что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

Дальше нужно преобразовать выражение в левой части к виду, удобному для применения метода интервалов. Сначала выполним приведение алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю, который очевидно есть (x−3) 2 ·(x+1) :
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Еще выражение в числителе можно свернуть по формуле квадрат суммы:
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Найдите решение неравенства что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

Соберем все в левой части неравенства: что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение.

Теперь преобразуем выражение в левой части неравенства. Начнем с первой дроби:
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

С учетом этого результата имеем
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Заканчивая тему, покажем пример, в котором вывод о решении рационального неравенства делается на основе ОДЗ.

Каково решение рационального неравенства что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение?

Начинаем как всегда с ОДЗ, ей отвечает система что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение. Эта система не имеет решений, так как
что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Таким образом, рациональное неравенство что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определениене имеет решений, так как оно не имеет смысла ни при каких значениях переменной.

Источник

Решение целых и дробно рациональных неравенств

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

А вот неравенство вида 5 + x + 1 x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Как решать целые неравенства

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · ( x + 3 ) + 2 · x − ( x + 1 ) 2 − 1 ≤ 0

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

( x 2 + 1 ) 2 − 3 · x 2 − ( x 2 − x ) · ( x 2 + x ) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Ответ: любое действительно число.

Решение

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

( x 2 + 2 ) · ( x + 4 ) − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Решение

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Как решать дробно рациональные неравенства

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Решение

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю ( x − 3 ) 2 · ( x + 1 ) :

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

Используем метод интервалов:

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Решение

Переносим выражения из правой части в левую:

Далее выполняем преобразование левой части. Сначала преобразуем первую дробь:

Учитывая получившийся результат, запишем:

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Решение

Решений у этой системы нет, поскольку

Источник

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

что такое рациональные неравенства определение. Смотреть фото что такое рациональные неравенства определение. Смотреть картинку что такое рациональные неравенства определение. Картинка про что такое рациональные неравенства определение. Фото что такое рациональные неравенства определение

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

Квадратные неравенства

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Графическая интерпретация решения:

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения:

Графическая интерпретация решения:

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем методом интервалов.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

НеравенствоГрафическое решениеФорма записи ответа
x c