что такое распределительное свойство умножения 6 класс
Свойства умножения и деления
Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется.
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?
Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.
Пример 2
Вычислить: 500 * (100 : 5).
Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.
Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.
Пример 3
Упростить выражение: 27a – 16a.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
Краткое описание
Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи. Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю. Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.
Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения. Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов. Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.
Ключевые особенности
Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат. К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d). В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.
Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:
Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.
Основные математические возможности
Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения. А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения. Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.
Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:
Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.
Правила вычитания
Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством. Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа. Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.
Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий. Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25. Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.
Использование двух и более слагаемых
Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:
В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8. Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + 8) * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712. Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.
Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у. Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть. Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.
Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету. Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения. Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.
Умножение нуля
Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком. Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0. Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.
Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.
Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число. Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю. Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.
Распределительное свойство относительно разности
Понять все нюансы помогут следующие три примера:
Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.
Манипуляции с натуральным числом
Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.
Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.
Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.
Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор. Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях. Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.
Презентация по математике на тему «Применение распределительного свойства умножения» (6 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Человек подобен дроби: в знаменателе – то, что он о себе думает, в числителе – то, что он есть на самом деле. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Л.Н. Толстой
«Применение распределительного свойства умножения»
Цели урока: Систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме. Развивать наблюдательность, умение анализировать, вычислительные навыки. Искать наиболее рациональные пути решения задач.
Проверка домашнего задания
Найти соответствие между названием и формулой. а) a · b = b · а А) Распределительный б) (a · b) · с = а · (b · с) Б) Переместительный в) а · b + а · с = а · (b + с) В) Сочетательный 7
Без устного счета не сдвинется с места любая работа!
Разбейте данные числа на группы. 0,5 1 3 1 36 3,6 0,75
0,5 0,75 3,6 Десятичные дроби запишите в виде обыкновенных
Смешанные числа запишите в виде суммы целой части и дробной части.
Вспомним правила умножения дробь на натуральное число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Вспомним правила умножения дробь на дробь.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.
Правила умножения смешанного числа на смешанное число.
Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, надо: 1)записать их в виде неправильных дробей; 2)затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Какими двумя правилами мы воспользовались для решения данного примера? Сформулируем эти правила Решить двумя способами
1 способ Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: 1)записать смешанное число в виде неправильной дроби; 2)затем воспользоваться правилом умножения дроби на натуральное число
2 способ Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: 1)умножить целую часть на натуральное число; 2)умножить дробную часть на это натуральное число; 3)сложить полученные результаты.
Попробуйте решить и прокомментировать примеры: Подсказка Смешанное число представьте в виде суммы целой части и дробной части, а затем умножьте на число
Решите уравнения двумя способами
А я, другим! Я буду решать уравнение одним способом!
Вот мое решение. 3 Ой! Помогите.
Я знаю ответ Я знаю ответ Работа в парах Решите уравнение
Задача. Продолжительность жизни березы 150 лет. Сосна живет в раза дольше березы. Мамонтово дерево – в 5 раз дольше сосны. Какова продолжительность жизни мамонтова дерева? 1750 лет
Решаем примеры: № 536 № 540 (в, г) № 536 Проверка: № 540 (в, г)
№ 536 а) 11 б) в) г) 1 3 19 26
Поднимите смайлики Мне понравилось! Было трудно! Скучно!
П. 15; №№ 567; 571, 576(а). «Математика 6 класс.» Виленкин Н.Я.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-795797
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр
Время чтения: 1 минута
ФИПИ опубликовал демоверсии ОГЭ и ЕГЭ 2022
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
На базе колледжей создадут программы профориентации
Время чтения: 2 минуты
Минобрнауки учредит именные стипендии для студентов из малочисленных народов
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Распределительное свойство умножения
Распределительное свойство умножения — важное правило, полезное в устном счете и при раскрытии скобок.
Распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:
Распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так:
Распределительное свойство умножения верно и для большего количества чисел. Например, для трех слагаемых распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид:
Распределительное свойство умножения упрощает устный счет.
Этот пример можно решить также с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания:
С помощью распределительного свойства умножения можно раскрывать скобки.
(Более подробно тема раскрытия скобок рассматривается после изучения отрицательных чисел).
Распределительное свойство умножения можно применить и в обратном порядке:
Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b плюс c».
Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b минус c».
Более подробно вынесение общего множителя за скобки изучают в курсе алгебры 7 класса.