07.3. Примеры статистических моделей и гипотез, ранги и ранжирование

Ранги. Во многих случаях имеющиеся в нашем распоряжении числовые данные (например, значения элементов выборки) носят в той или иной мере условный характер. Например, эти данные могут быть тестовыми баллами, экспертными оценками, данными о вкусовых или политических предпочтениях опрошенных людей и т. д. Анализ таких данных требует особой осторожности, поскольку многие предпосылки классических статистических методов (например, предположения о каком-либо конкретном, скажем нормальном, законе распределения) для них не выполняются. Твердую основу для выводов здесь дают только соотношения между наблюдениями типа «больше-меньше», так как они не меняются при изменении шкалы измерений. Например, при анализе анкет с данными о симпатиях избирателей к политическим деятелям мы можем сказать, что политик, получивший больший балл в анкете, более симпатичен отвечавшему на вопросы человеку (респонденту), чем политик, получивший меньший балл. Но на сколько (или во сколько раз) он более симпатичен, сказать нельзя, так как для предпочтений нет объективной единицы измерения.

В подобных случаях (которые мы будем более подробно рассматривать в последующих главах), имеет смысл вообще отказаться от анализа конкретных значений данных, а исследовать только информацию об из взаимной упорядоченности. Для этого от исходных числовых данных осуществляют переход к их Рангам.

Определение. Рангом наблюдения называют тот номер, который получит это наблюдение в упорядоченной совокупности всех данных — после их упорядочения по определенному правилу (например, от меньших значений к большим или наоборот).

Чаще всего упорядочение чисел (набор которых составляют упомянутые выше данные) производят по величине — от меньших к большим. Именно такое упорядочение и связанное с ним ранжирование (присвоение рангов) мы будем иметь в виду в дальнейшем.

Пример. Пусть выборка состоит из чисел 6, 17, 14,5, 12. Тогда рангом числа 6 оказывается 2, рангом 17 будет 5 и т. д.

Определение. Процедура перехода от совокупности наблюдений к последовательности их рангов называется ранжированием. Результат ранжирования называется ранжировкой.

Статистические методы, в которых мы делаем выводы о данных на основании их рангов, называются ранговыми. Они получили широкое распространение, так как надежно работают при очень слабых предположениях об исходных данных (не требуя, например, чтобы эти данные имели какой-либо конкретный закон распределения). В последующих главах этой книги мы рассмотрим применение ранговых методов в наиболее распространенных практических задачах.

Средние ранги. Трудности в назначении рангов возникают, если среди элементов выборки встречаются совпадающие. (Так часто бывает, когда данные регистрируются с округлением.) В этом случае обыкновенно используют Средние ранги.

Средние ранги вводятся так. Предположим, что наблюдение , имеет ту же величину, что и некоторые другие из общего числа П Наблюдений. (Эту совокупность одинаковых наблюдений из набора называют Связкой, количество таких одинаковых наблюдений в данной связке называют ее размером.) Средний ранг , в ранжировке наблюдений есть среднее арифметическое тех рангов, которые были бы назначены и всем остальным элементам связки, если бы одинаковые наблюдения оказались различны.

В качестве примера рассмотрим выборку 6, 17, 12, 6, 12. Ее ранжировка равна .

Покажем на примерах, как может проходить математическая формализация практических задач и как сформулированные на естественном языке вопросы превращаются в статистические гипотезы.

Тройной тест. Рассмотрим распространенный в психологии тройной тест (его другое название — тест дегустатора). Он состоит из серии одинаковых опытов, в каждом из которых испытуемому предъявляют одновременно три стимула. Два из них идентичны, а третий несколько отличается. Испытуемый, ориентируясь на свои ощущения, должен указать этот отличающийся стимул. Например, испытуемому могут быть предложены три стакана с жидкостью: два с чистой водой, а третий — со слабым раствором сахара, либо наоборот — два стакана подслащенных, а третий — с чистой водой. Задание для испытуемого — указать стакан, отличающийся от двух других.

Опыты стараются организовать так, чтобы они проходили в одинаковых условиях и чтобы в каждом из них испытуемый мог полагаться только на свои ощущения. В результате подобного однократного эксперимента можно получить как правильный, так и неправильный ответ.

При слабой концентрации раствора, когда его трудно отличить от воды, из одного ответа нельзя сделать определенного заключения о способности испытуемого чувствовать данную концентрацию. Испытуемый может случайно ошибиться, даже если в целом он способен отличать данную концентрацию сахара от чистой воды. С другой стороны, правильный ответ не исключает того, что испытуемый его просто угадал, не отличая раствора от воды.

Эти свойства эксперимента мы можем перечислить в виде следующих допущений:

• в каждом испытании ответ испытуемого случаен;

• существует вероятность правильного ответа, которая неизменна во все время испытаний;

• результаты отдельных испытаний статистически независимы.

Коротко это выражается так: статистической моделью эксперимента служит схема Бернулли.

Сформулировав математическую модель явления, перейдем к выдвижению статистических гипотез. Интересующая нас способность испытуемого характеризуется вероятностью правильного ответа, которую мы обозначим Р. В этом опыте она нам неизвестна. Естественно, эта вероятность зависит от степени концентрации сахара. Если концентрация очень мала и не воспринимается, то у испытуемого нет оснований для выбора. Он «наудачу» будет указывать один из трех стаканов. В этих условиях вероятность правильного ответа .

Предположим, что экспериментатора интересует, начиная с каких концентраций испытуемый отличает раствор от воды. Тогда для данной концентрации экспериментатор может выдвинуть предположение, что испытуемый ее ощутить не в состоянии. В изложенной модели это предположение превращается в статистическую гипотезу о том, что . Примем следующую форму записи статистической гипотезы: . Если же экспериментатор предполагает, что испытуемый может ощутить наличие сахара, то соответствующая статистическая гипотеза состоит в том, что , т. е. . Возможна и гипотеза о том, что , она соответствует тому, что испытуемый способен отличить раствор от воды, но принимает одно за другое.

Экспериментатор может выдвигать и другие гипотезы о способности испытуемого к различению концентраций. Например, возможна такая гипотеза: испытуемый способен ощутить присутствие сахара, ошибаясь один раз из десяти. В этом случае вероятность правильного ответа равна 0.9 и гипотеза примет вид: Н : р = 0.9.

Заметим, что с чисто математической точки зрения гипотеза вида проще, чем или . Действительно, при мы имеем дело с одним (полностью заданным) биномиальным распределением, а в других случаях перед нами семейство распределений. Ясно, что с одним распределением иметь дело проще.

Сейчас мы не будем рассматривать процесс проверки этих гипотез (он описан в п. 4), а вместо этого приведем еще один пример перевода естественнонаучной задачи на статистический язык, т. е. построения статистической модели явления и выдвижения гипотезы для проверки.

Парные наблюдения. На практике часто бывает необходимо сравнить два способа действий по их результатам. Речь может идти о сравнении двух методик обучения, эффективности двух лекарств, производительности труда при двух технологиях и т. д. В качестве конкретного примера рассмотрим эксперимент, в котором выясняется, на какой из сигналов человек реагирует быстрее: на свет или на звук.

Эксперимент был организован следующим образом. Каждому из семнадцати испытуемых в случайном порядке поочередно подавались два сигнала: световой и звуковой. Интенсивность сигналов была неизменна в течение всего эксперимента. Увидев или услышав сигнал, испытуемый должен был нажать на кнопку. Время между сигналом и реакцией испытуемого регистрировал прибор. Результаты эксперимента приведены в табл. 1.

Время реакции на свет и на звук, в миллисекундах

I — номер испытуемого, I = 1. 17; Xi — время его реакции на звук, YI — время его реакции на свет.

Вместо поставленного выше вопроса о том, на какой из сигналов человек отвечает быстрее, выдвинем другой: можно ли считать, что время реакции человека на свет и на звук одинаковы? Логически эти вопросы тесно связаны: если мы отвечаем отрицательно на второй из них, мы тем самым признаем, что различия есть. После этого уже не трудно понять, когда время реакции меньше. Если же на второй вопрос мы отвечаем положительно, то первый после этого просто снимается. С математической же точки зрения второй вопрос проще, как мы увидим из дальнейшего обсуждения.

Итак, время реакции на звук, X, и время реакции на свет, Y, различно у разных людей, несмотря на то, что во время опыта они находились в одинаковых условиях. Ясно, что наблюдаемый разброс во времени реакции не связан с изучаемым явлением (различием двух действий). По-видимому, этот разброс можно объяснить различиями между испытуемыми и/или нестабильностью времени отклика на сигнал у каждого испытуемого. Как бы то ни было, эти колебания не имеют отношения к той закономерности, что нас интересует. Поэтому мы объявляем их случайными. Так сделан первый шаг к статистической модели: переменные Xi и Yi признаны реализациями случайных величин, скажем Xi и Yi. Поскольку каждый испытуемый решал свои задачи самостоятельно, не взаимодействуя с другими испытуемыми и не испытывая с их стороны влияния, мы будем считать случайные величины X1, Y1. Х17, Y17 Независимыми (в теоретико-вероятностном смысле).

Если экспериментатор уверен, что группа испытуемых достаточно однородна, он может дополнительно предположить, что и . Если обозначить общие значения параметров через A и B соответственно, то статистическую модель в этом случае можно сформулировать так: случайные величины независимы и распределены по закону ; случайные величины тоже независимы, не зависят от и распределены по закону . Параметры A, B и неизвестны. Тогда гипотезу о равном времени реакции можно записать следующим образом:

Ясно, что задача с меньшим числом неопределенных параметров, как во второй постановке, в принципе должна давать более точные ответы. При проверке гипотез это означает, что мы сможем принять или отвергнуть проверяемую гипотезу с большей степенью уверенности. Но следует помнить, что уменьшение количества параметров в модели является следствием принятия дополнительных предположений об имеющихся данных. Так, в приведенном выше примере мы предположили, что и , что и дало нам возможность уменьшить количество параметров в модели с 35 до 3. Но если сделанные дополнительные предположения являются неправомерными, то использование полученной математической модели может привести к неверному заключению. Например, при обработке наших данных по однородной схеме можно получить неверный ответ, если фактически эти данные однородными не являются.

Итак, при построении статистической модели постоянно приходится вводить упрощающие математические предположения и одновременно оценивать, насколько они приемлемы с содержательной точки зрения. И часто надо быть готовым к тому, чтобы отказаться от недопустимых предположений или заменить их чем-то другим.

Другой путь построения статистической модели — так называемый Непараметрический. Здесь мы не делаем предположений о том, что наблюдаемые случайные переменные имеют какой-либо параметрический закон распределения. В этом случае мы делаем меньше математических допущений, а значит, здесь меньше опасности принять неоправданное предположение. Зато при этом мы используем не всю информацию об имеющихся данных, а только ту ее часть, которая не зависит от конкретного вида распределения исходных данных. Например, при проверке гипотезы о равном времени реакции на свет и звук мы должны будем использовать не сами значения времен реакций Xi и Yi, а их Ранги В объединенной выборке Xi и Yi. По сравнению с параметрическим методом (если предположения о параметрическом характере случайных событий справедливы), мы получим при этом несколько менее точные выводы, но зато непараметрический метод имеет гораздо более широкую область применимости.

Итак, при построении статистической модели приходится делать ряд предположений. Большую часть этих предположений мы не проверяем (и часто даже и не можем проверить). Некоторые предположения мы Выбираем для проверки их совместимости со статистическим материалом и называем такие предположения статистическими гипотезами. НиЖе Мы расскажем, как осуществляется проверка статистических гипотез.

Источник

Что такое ранг в статистике

Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!

Средний ранг

Пусть имеется выборка из n наблюдений . Упорядочим выборку по возрастанию: . Предположим, что наблюдение имеет ту же величину, что и (совпадающие с ним) некоторые из остальных Z наблюдений.

Средний ранг в ранжировке наблюдений есть среднее арифметическое из рангов, которые были бы назначены и остальным значениям Z, таким же, что и , если бы равные наблюдения оказались различными.

Пример. Ранжируем выборку из пяти наблюдений (11,12,14,14,14). Значение «14» встречается в ней 3 раза. Если бы равные наблюдения мы считали различными, то набор рангов для этой выборки был бы (1,2,3,4,5). Поскольку все значения «14» равноправны, присваиваем им усреднённый ранг (3+4+5)/3=4 и получаем набор рангов (1,2,4,4,4).

Синоним: midrank – средний ранг, срединный ранг.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Стратегии присвоения рейтингов

Стандартный конкурсный рейтинг (рейтинг «1224»)

В соревновательном рейтинге элементы, которые сравниваются с равными, получают один и тот же ранговый номер, а затем в ранжируемых числах остается пробел. Количество номеров ранжирования, оставленных в этом промежутке, на единицу меньше, чем количество сравниваемых элементов, равных. Эквивалентно, номер ранжирования каждого элемента равен 1 плюс количество элементов, ранжированных выше него. Эта стратегия ранжирования часто применяется для соревнований, так как это означает, что если два (или более) участника занимают одинаковую позицию в рейтинге, положение всех тех, кто занимает место ниже, не изменяется (т. Е. Участник занимает второе место только в том случае, если ровно один человек набирает больше, чем они, третье, если ровно два человека набирают больше, чем они, четвертое, если ровно три человека набирают больше, чем они, и т. д.).

Таким образом, если A занимает место впереди B и C (которые сравниваются одинаково), которые оба занимают место выше D, тогда A получает рейтинг номер 1 («первый»), B получает рейтинг номер 2 («совместный второй»), C также получает рейтинг номер 2 («совместный второй») и D получает рейтинг 4 («четвертый»).

Модифицированный рейтинг конкурса (рейтинг «1334»)

Таким образом, если A занимает место впереди B и C (которые сравниваются одинаково), которые оба занимают первое место в D, тогда A получает рейтинг номер 1 («первый»), B получает рейтинг номер 3 («совместная третья»), C также получает рейтинг номер 3 («совместный третий») и D получает рейтинг 4 («четвертый»). В этом случае никто не получит рейтинг 2 («второй»), и это останется как пробел.

Плотный рейтинг (рейтинг «1223»)

При плотном ранжировании элементы, которые сравниваются в равной степени, получают один и тот же ранговый номер, а следующие элементы получают следующий за ним ранговый номер. Эквивалентно, номер ранжирования каждого элемента равен 1 плюс количество элементов, ранжированных выше него, которые различаются по порядку ранжирования.

Таким образом, если A занимает место впереди B и C (которые сравниваются одинаково), которые оба занимают место выше D, тогда A получает рейтинг номер 1 («первый»), B получает рейтинг номер 2 («совместный второй»), C также получает рейтинг номер 2 («совместный второй») и D получает рейтинг 3 («третий»).

Порядковый рейтинг (рейтинг «1234»)

При порядковом ранжировании все элементы получают различные порядковые номера, включая элементы, которые сравниваются одинаково. Присвоение различных порядковых номеров элементам, которые сравниваются одинаково, может выполняться случайным образом или произвольно, но обычно предпочтительнее использовать произвольную, но последовательную систему, поскольку это дает стабильные результаты, если ранжирование выполняется несколько раз. Примером произвольной, но последовательной системы может быть включение других атрибутов в порядок ранжирования (таких как алфавитный порядок имени участника), чтобы гарантировать, что никакие два элемента не совпадают в точности.

С этой стратегией, если A занимает место впереди B и C (которые сравнивают равные), которые оба занимают место выше D, тогда A получает рейтинг номер 1 («первый»), а D получает рейтинг номер 4 («четвертый»), и либо B получает ранжирующий номер 2 («второй»), а C получает ранжирующий номер 3 («третий»), или C получает ранжирующий номер 2 («второй»), а B получает ранжирующий номер 3 («третий»).

При компьютерной обработке данных порядковое ранжирование также называется «нумерацией строк».

Дробное ранжирование (рейтинг «1 2,5 2,5 4»)

Элементы, которые сравнивают равные, получают одинаковый номер ранжирования, который является средним значением того, что они имели бы в порядковом рейтинге; эквивалентно, номер ранжирования, равный 1, плюс количество элементов, ранжированных выше, плюс половина количества элементов, равных ему. Эта стратегия обладает тем свойством, что сумма номеров ранжирования такая же, как и при порядковом ранжировании. По этой причине он используется при вычислении количества Борда и в статистических тестах (см. Ниже).

Таким образом, если A опережает B и C (которые в сравнении равны), которые оба занимают место впереди D, то A получает рейтинг 1 («первый»), B и C получают каждый рейтинг 2,5 (среднее значение «совместное второе / третье место»). «) и D получает рейтинг 4 (» четвертый «).

Вот пример: Предположим, у вас есть набор данных 1.0, 1.0, 2.0, 3.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.0, 5.0.

Порядковые ранги: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Таким образом, дробные ранги следующие: 1.5, 1.5, 3.0, 4.5, 4.5, 6.0, 8.0, 8.0, 8.0.

Рейтинг в статистике

Некоторые виды статистических тестов используют расчеты на основе рангов. Примеры включают:

Некоторые ранги могут иметь нецелые значения для связанных значений данных. Например, когда имеется четное количество копий одного и того же значения данных, вышеописанный дробный статистический ранг связанных данных заканчивается на 1/2.

Функция ранжирования в Excel

Сравнение рейтингов

Рейтинг и социально-экономическая оценка

Методология ранжирования, основанная на некоторых конкретных индексах, является одной из наиболее распространенных систем, используемых политиками и международными организациями для оценки социально-экономического контекста стран. Вот несколько ярких примеров: Индекс человеческого развития (ООН), Индекс ведения бизнеса (Всемирный банк), Индекс восприятия коррупции (Transparency International) и Индекс экономической свободы (Фонд наследия). Например, Индикатор «Ведение бизнеса» Всемирного банка измеряет правила ведения бизнеса и их соблюдение в 190 странах. Страны ранжируются по 10 показателям, которые синтезируются для получения окончательного рейтинга. Каждый индикатор состоит из подиндикаторов; например, индикатор регистрации собственности состоит из 4 субпоказателей, измеряющих время, процедуры, затраты и качество системы регистрации земли. Очевидно, что такие ранги основаны на субъективных критериях присвоения баллов. Иногда принятые параметры могут приводить к несоответствиям с эмпирическими наблюдениями, поэтому при применении этих критериев могут возникнуть потенциальные ошибки и парадокс.

Рейтинг как социальная игра

Источник

Правила ранжирования

Меньшему значению начисляется меньший ранг.

Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.

В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам.

Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составили бы, скажем, 10.2 сек; 10.5 сек; 10.7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

и т.д.

Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

Источник