что такое радиан в математике

Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.

Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.

В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.

– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!

Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.

Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.

А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).

А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926. Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Источник

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

Также можно выразить один градус в радианах.

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

История

Понятие радиан, в отличие от градуса угла, обычно приписывается Роджеру Котсу в 1714 году. Он описал радиан во всем, кроме названия, и признал его естественность как единицы угловой меры. До того, как термин « радиан» стал широко распространенным, единицу измерения обычно называли круговой мерой угла.

Идея измерения углов по длине дуги уже использовалась другими математиками. Например, аль-Каши (ок. 1400 г.) использовал так называемые части диаметра в качестве единиц, где одна часть диаметра была 1 / 60 радиан. Они также использовали шестидесятеричные единицы диаметра.

Символ единицы

Конверсии

Преобразование радианов в градусы

угол в градусах знак равно угол в радианах ⋅ 180 ∘ π <\ displaystyle <\ text <угол в градусах>> = <\ text <угол в радианах>> \ cdot <\ frac <180 ^ <\ circ>> <\ pi>>>

угол в радианах знак равно угол в градусах ⋅ π 180 ∘ <\ displaystyle <\ text <угол в радианах>> = <\ text <угол в градусах>> \ cdot <\ frac <\ pi><180 ^ <\ circ>>>>

Преобразование радиана в градус

Таким образом, справедливо следующее эквивалентное соотношение:

По определению радиана полный круг представляет:

Объединение обоих вышеуказанных отношений:

2 π рад знак равно 360 ∘ <\ displaystyle 2 \ pi <\ text > = 360 ^ <\ circ>> ⇛ 1 рад знак равно 360 ∘ 2 π <\ displaystyle \ Rrightarrow 1 <\ text > = <\ frac <360 ^ <\ circ>> <2 \ pi>>> ⇛ 1 рад знак равно 180 ∘ π <\ displaystyle \ Rrightarrow 1 <\ text > = <\ frac <180 ^ <\ circ>> <\ pi>>>

Преобразование радианов в градусы

1.2 рад знак равно 1.2 ⋅ 200 г π ≈ 76,3944 г <\ displaystyle 1.2 <\ text > = 1.2 \ cdot <\ frac <200 ^ <\ text >> <\ pi>> \ приблизительно 76,3944 ^ <\ text >> 50 г знак равно 50 г ⋅ π 200 г ≈ 0,7854 рад <\ displaystyle 50 ^ <\ text > = 50 ^ <\ text > \ cdot <\ frac <\ pi><200 ^ <\ text >>> \ примерно 0,7854 <\ text < рад>>>

Преимущества измерения в радианах

В частности, результаты анализа с участием тригонометрических функций могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражаются в радианах. Например, использование радианов приводит к простой формуле предела

что является основой многих других тождеств в математике, в том числе

Тригонометрические функции также имеют простое и элегантное расширение рядов при использовании радианов. Например, когда x выражается в радианах, ряд Тейлора для sin x принимает следующий вид:

В том же духе математически важные отношения между функциями синуса и косинуса и экспоненциальной функцией (см., Например, формулу Эйлера ) могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражены в радианах (и в противном случае беспорядочно).

Размерный анализ

Хотя полярные и сферические координаты используют радианы для описания координат в двух и трех измерениях, единица измерения получается из координаты радиуса, поэтому мера угла по-прежнему безразмерна.

Использование в физике

Радиан широко используется в физике, когда требуются угловые измерения. Например, угловая скорость обычно измеряется в радианах в секунду (рад / с). Один оборот в секунду равен 2 π радиан в секунду.

Точно так же угловое ускорение часто измеряется в радианах в секунду в секунду (рад / с 2 ).

Кратные SI

Источник

Что такое радиан

Нам привычно измерять углы в градусах. Полный оборот – это 360 градусов, прямой угол – 90 градусов. Но почему в одном обороте градусов именно 360, а не, например, 400. Так повелось исторически, еще с древнего Вавилона. То есть, градус – это не естественная мера угла, а историческая, потому что так когда-то договорились.

Для простых вычислений градусы оказались удобны, но для более сложных расчетов потребовалась какая-то естественная, натуральная, привязанная к природе единица измерения. В качестве такой естественной величины был выбран радиан: угол, у которого длина дуги равна радиусу.

То сеть, радиан – это «природная» единица измерения угла, которая связана с геометрическими свойствами окружности. Радианы не удобны в быту, но существенно упрощают сложные расчеты.

А градус – это договорная единица измерения. Она удобна в быту. Фраза «Поверни деталь на 45 градусов» всем понятна. Но так уж получилось, что, например, в тригонометрии градусы не очень удобны.

Разберемся, как связаны градусы и радианы. Мы знаем, что длина окружности равна 2πR. Значит, по длине окружности можно выложить 6,28 радиусов. Соответственно, в полном обороте, в 360 градусах содержится 6,28 радиан.

На рисунке 1 показано, как круг разделен на шесть сегментов по одному радиану в каждом. При этом остается еще один маленький сегмент 0,28 радиан.

Рисунок 1. В полном обороте содержится 6,28 радиан

Переводить радианы в градусы и обратно удобно с помощью пропорций. Например, определим, сколько радиан в 30 градусах.

А теперь определим, сколько градусов в 0,5 радианах:

Понравилась статья? Размести ссылку на сайт в социальных сетях

Источник

Измерение углов: градусы и радианы

Для измерения углов принято использовать две основные единицы: градусы и радианы.

Начнем с привычных градусов.

Полный круг составляет 360 градусов – это мы все знаем.

А вот в часе 60 минут, в круге 360 градусов. И в сутках 24 часа. Древние шумеры умудрились придумать двенадцатеричную систему счисления! И при этом они тоже считали по пальцам. Нет, у них не было по 6 пальцев на каждой руке. Просто считали не пальцы, а фаланги четырех пальцев (кроме большого).

Кстати, круг легко делится именно на 6 частей (умеете?). А число 12 (дюжина) делится на 2, 3, 4, 6 и, собственно, 12.

И это не все. Древние шумерские астрономы обнаружили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на Востоке и заходит почти точно на Западе, причем от восхода до заката проходит по небу путь, в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов.

Точнее, угловой диаметр Солнца равен примерно 32 угловых минуты, то есть чуть больше 0,5 градуса. Он еще и немного меняется в течение года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая.

Так что утверждение о том, что в День равноденствия Солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам» (то есть 360 видимым диаметрам солнца) – верно с некоторой точностью.
Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.

Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно?

Наша Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней (точнее, за 365,242 суток), и это – солнечный год.

И тогда лунный год – это 12 месяцев, в каждом месяце 30 дней (округлили), вот и получается 360 дней в году, почти столько же, сколько в солнечном, в котором 365 дней.

«Может быть, боги хотели сделать в году ровно 360 дней, но им кто-нибудь помешал, вот и получилось 365». Возможно, так и рассуждали древние астрономы, деля круг на 360 частей, 360 градусов. Тем более, что 360 – число, имеющее целых 24 делителя.

Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360. Очень удобно делить 360 градусов на части!

Обозначается: 360°. Этот кружок вверху – специальный символ для обозначения градуса.

Есть и другая мера измерения углов – радианная.

1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности.

Как перевести градусы в радианы и наоборот?

Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как – к величине угла, опирающегося на эту дугу, то есть к углу в 1 радиан.

Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полной окружности и длина отмеченной на рисунке дуги.

Из этой пропорции получаем, что радиан. Значит, полный круг – это радиан. Тогда полкруга – это радиан, четверть круга (то есть ) – это радиан.

Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.

Источник