Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.
Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.
Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.
Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед — это:
Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.
Свойства параллелепипеда
Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.
Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Формулы прямого параллелепипеда:
Прямоугольный параллелепипед
Определение прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!
Куб: определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
Свойства куба:
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac). Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1. Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4 AD = 6 AA1= 5 Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора: BD 2 = AB 2 +AD 2 BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52 В треугольнике BDD1 угол D = 90°. BD1 2 = 52 + 25 = 77.
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра образуют с основаниями прямые углы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:
V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.
Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.
Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.
Остальные четыре грани называют боковыми гранями.
Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.
Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.
Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.
Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.
Длину бокового ребра называют высотой.
Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.
Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.
У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.
Все грани куба равны между собой.
Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.
Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.
Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.
Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.
1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.
2) Согните их к середине, как показано на картинке.
3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.
4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.
5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.
№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?
Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:
S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см 2
Ответ: 45 см 2
№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?
Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.
Выбранный для просмотра документ prjamoygoljnij parallelepiped.doc
Тема урока: «Прямоугольный параллелепипед».
1) дать представление о прямоугольном параллелепипеде, дать понятия грань, ребра, вершины параллелепипеда, помочь учащимся вывести формулу для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба, научиться применять ее для решения задач
2)развивать логическое мышление, наблюдательность, интуицию, упорство, волю для достижения цели, самостоятельность, развивать умение обобщать, конкретизировать.
3) воспитывать чувство коллективизма, чувство уверенности в себе.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Постановка целей и задач урока
Актуализация опорных знаний и умений учащихся. а) Блиц-опрос.
Чтобы начать сегодняшний урок, мне хотелось бы узнать, готовы ли вы к уроку, какое у вас настроение, есть ли у вас желание узнать что-то новое на сегодняшнем уроке? На сегодняшнем уроке вам потребуется внимание, настойчивость и упорство, чтобы достичь поставленных целей.
Актуализация опорных знаний и умений.
(текст с помощью проектора выводится на экран в виде слайдов)
Площадь прямоугольника равна …
Выражение Р = 2х(а+в) называется …
Прямоугольник, у которого длина и ширина равны, называется …
У равных фигур площади и периметры …
Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна …
Вычислите примеры и расшифруйте слово.
Тема урока: «Прямоугольный параллелепипед».
В действительности мы часто встречаем предметы, имеющие похожую форму. Они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета, но по форме они напоминают друг друга. Например: коробок, шкаф, колонки и т.д.
Оглянитесь вокруг себя.
Задание. Назовите три предмета, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда.
Ребята, что бы вы хотели узнать о прямоугольном параллелепипеде?
Вопросы записываются на доске.
1. Чем отличится прямоугольник от прямоугольного параллелепипеда?
2. Как найти площадь прямоугольного параллелепипеда?
3. От какого слова произошло название параллелепипед?
Стороны граней называются рёбрами, а вершины граней – вершинами параллелепипеда.
Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер?
Сколько у прямоугольного параллелепипеда вершин?
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней?
Итак, мы с вами выяснили, что прямоугольный параллелепипед имеет
Две грани называются противоположными, если у них нет общего ребра.
Для противоположных граней выполняется такое же свойство, как и для противоположных сторон прямоугольника, именно противоположные грани равны.
Площади противоположных граней равны.
Вывод записывается в тетради.
-Покажите в классной комнате противоположные грани.
Физкультминутка : Ну что, устали? Смена деятельности – лучший отдых.
– Кому хотелось бы иметь такой аквариум? А теперь закройте глаза, примите удобное положение и представьте клип об обитателях вашего аквариума. Кто-то представил «золотую рыбку», а кто-то своего любимого кота, который ловит эту рыбку.
Измерьте длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда.
Ответ запишите в виде.
Мы с вами, таким образом, познакомились с прямоугольным параллелепипедом и его элементами.
Осталось нам научиться строить модель прямоугольного параллелепипеда, а поможет нам в этом алгоритм построения параллелепипеда.
1. Построить прямоугольник заданной длины (а) и высоты (h).
2. Из каждой вершины отложить отрезок, равный половине ширины (в) под углом 45 градусов.
На каждой парте модель прямоугольного параллелепипеда и инструкция по изучению площади поверхности прямоугольного параллелепипеда выведена на экран.
Сколько проволоки потребуется на изготовление каркаса куба с ребром 10 см.
Нужно окрасить куб с ребром 5 см.
Какую площадь нужно окрасить?
1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него:
2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это:
А) прямоугольники; В) отрезки; С) точки.
3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется:
А) куб; В) прямоугольник; С) квадрат.
Ответы к тесту выводятся на экран.
Возвращаемся к вопросам, которые записаны на доске.
Отвечаем на вопросы.
Итог урока выводится с помощью проектора на экран в виде слайдов.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИМЕЕТ:
Грани: прямоугольники; квадраты.
S поверхности: 2(ав + ас + вс); 6аа
Сумма длин всех ребер: 4(а + в + с); 12а
Д,З: п.20 вопросы 1-3, 792, 787 (1)
Выбранный для просмотра документ prjamoygoljnij parallelepiped.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Научить отличать те из окружающих нас тел, форма которых имеет название «прямоугольный параллелепипед», научить произносить и писать этот термин. Познакомить с элементами прямоугольного параллелепипеда: гранями, ребрами, вершинами. Познакомить с понятиями «измерения прямоугольного параллелепипеда», «высота прямоугольного параллелепипеда».
Треугольник Квадрат Площадь Круг Прямоугольник
Прямоугольник – это……. а и в – это….. а – это… в – это…. Площадь прямоугольника равна… Прямоугольник, у которого длина и ширина равны, называется….
51-2= 99:11= 16·0= 32= 3·17= 17+34= 80-35= 51·1= 15·3= 60-11= 23= 30+19= 90:2= 125·8= ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 9 51 41 1000 49 45 0 8 16 6 52 А Л Н Д П Е Р И Ж К М
длина ширина высота ИЗМЕРЕНИЯ
Какими геометрическими фигурами являются грани куба?
Длина ребра куба равна 1 см. Сколько путей длиной 3 см каждый, ведет по ребрам куба из вершины А в вершину В?
Вычислить общую длину всех рёбер и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10см, 5см, 4см. 76 220
Тест. 1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него: А) 12; В) 8; С) 6. 2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это: А) прямоугольники; В) отрезки; С) точки. 3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется: А) куб; В) прямоугольник; С) квадрат.
Тест. 1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него: С) 6. 2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это: А) прямоугольники; В) отрезки; С) точки. 3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется: А) куб; В) прямоугольник; С) квадрат.
Тест. 1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него: С) 6. 2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это: В) отрезки; 3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется: А) куб; В) прямоугольник; С) квадрат.
Тест. 1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него: С) 6. 2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это: В) отрезки; 3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется: А) куб;
п.20 вопросы 1-3, 792, 787 (1) Из бумаги вырезать развертку прямоугольного параллелепипеда и склеить.
Спасибо за внимание
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Урок по математике 5 класс «Прямоугольный параллелепипед».
1) дать представление о прямоугольном параллелепипеде, дать понятия грань, ребра, вершины параллелепипеда, помочь учащимся вывести формулу для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба, научиться применять ее для решения задач
2)развивать логическое мышление, наблюдательность, интуицию, упорство, волю для достижения цели, самостоятельность, развивать умение обобщать, конкретизировать.
3) воспитывать чувство коллективизма, чувство уверенности в себе.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Номер материала: 267969
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам
Время чтения: 2 минуты
Российские школьники установили рекорд на олимпиаде по астрономии
Время чтения: 2 минуты
На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Попова предложила изменить школьную программу по биологии
Время чтения: 1 минута
Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
