что такое процентный рост

Что такое процентный рост

Ясно, что в разных городах и у разных людей, квартплата, размер пани и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл, составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячная кварт плата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S_n.

Задача 1. Сколько надо заплатить москвичу, если его квартплата составляет 100 руб. и просрочена на 5 дней?

Подставляя в формулу значение p = 1 и значения n = 5 * 4, получим:

(1 + 1_*5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (руб.)

Ответ: через 5 дней – 105 руб.

Таким образом, установленная формула позволяет быстро рассчитывать необходимые значения выплат за квартиру.

Рассмотрим еще одну ситуацию. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p% от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через n месяцев на его счете будет (1+pn/100)S, и мы вновь получаем, что S_n=(1+pn/100)S

Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, числа месяцев n = 6 и первоначального вклада S = 500:

(1 + 2_*6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (руб.)

Ответ: через полгода на вкладе будет 560 руб.

Источник

Абсолютный рост в процентах

Опубликовано 09.06.2021 · Обновлено 09.06.2021

Что такое абсолютный рост в процентах?

Абсолютный процентный рост – это увеличение стоимости актива или счета, выраженное в процентах. Абсолютный процентный рост означает, что увеличение стоимости отображается отдельно, а не по отношению к эталону или другому активу. Термин «абсолютный процентный рост» может вызвать некоторую путаницу, поскольку «абсолютный» обычно относится к общему увеличению или уменьшению стоимости активов в долларовом выражении, тогда как «процентный» относится к относительному изменению (увеличению или уменьшению) за период времени. Таким образом, если цена акции X увеличивается с 10 до 15 долларов, абсолютное увеличение составляет 5 долларов, а процентное увеличение – 50%. Следовательно, этот термин можно более точно назвать абсолютным ростом (или абсолютной доходностью) в процентном выражении.

Объяснение абсолютного процентного роста

В инвестиционной отрасли результаты обычно измеряются на относительной, а не на абсолютной основе. Например, паевой инвестиционный фонд США с малой капитализацией может вырасти на 30% за год, что по любым меркам является хорошей доходностью в абсолютном выражении. Но если индекс малой капитализации, который он отслеживает (например, индекс Russell 2000), увеличивается на 35%, считается, что фонд отстает от своего эталона на пять процентных пунктов. Фонд также будет сравниваться с другими фондами в своей категории, чтобы судить о том, превзошел он или ниже своих конкурентов.

В то время как институциональные инвесторы сосредотачиваются на относительной доходности, розничных инвесторов обычно больше волнует абсолютная доходность. При определении инвестиционных целей розничный инвестор может указать консультанту, что целевая доходность портфеля должна составлять, скажем, 5% или 7%; средний инвестор, как правило, вряд ли утверждать, что портфель должен превзойти выбранный ориентир на х процентных пунктов в течение определенного периода времени.

Ориентация розничного инвестора на абсолютный рост портфеля, а не на относительный рост, может быть проблемой на жестких медвежьих рынках, особенно если инвестор довольно не склонен к риску. Если портфель акций такого инвестора упадет на 10% за год, когда контрольный индекс снизился на 20%, тот факт, что портфель на самом деле превзошел контрольный показатель на 10 процентных пунктов, скорее всего, принесет инвестору скудное утешение.

Источник

Что такое процентный рост

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет

1400 + 560 = 1960 (руб.)

40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет

1960 + 784 = 2744 (руб.)

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4 2 раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S_n рублей.

p% от S составляют pS/100 рублей, и через год на счёте окажется сумма S₁=(1+p/100)S

то есть начальная сумма увеличится в 1 + p/100 раза.

За следующий год сумма S₁ увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма

S₂ = (1 +p/100) S₁ = (1 +p/100) (1+p/100) S =(1 +p/100 ) 2 S.

Аналогично, S₃ =(1 +p/100 ) 3 S и так далее. Другими словами, справедливо равенство

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?

Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).

Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.

Источник

Как решать задачи с процентами

Основные определения

Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100, как в примере выше.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим её в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило:

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5

Значит 237 задачи включили в этот сборник.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

В классе учится 10 девочек — это 40%.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

Формула расчета процента от числа выглядит так:

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.

Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

Формула расчета выглядит так:

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

75 выпускников закончат школу в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000

Родители через год внесут в банк 14000 рублей.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.

Онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы! Уроки ведут лучшие преподаватели!

Способы нахождения процента

Универсальная формула для решения задач на проценты:

Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.

Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.

Деление числа на 100

При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.

Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?

Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.

Составление пропорции

Пропорция — определенное соотношение частей между собой.

С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:

Читается: a относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?

Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.

Соотношения чисел

Есть случаи, при которых можно использовать простые дроби.

Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

Задачи на проценты с решением

Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

76 : 100 = 0,76 — 1% от массы человека

Ответ: масса воды 53,2 кг

Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

После двух понижений изменение цены составит:

Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

Ответ: заработок жены составляет 27%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах.

Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.

Источник

Тема урока: «Логарифмы и сложный процентный рост»

Разделы: Математика

Тема урока: «Логарифмы и сложный процентный рост»

Тип урока: урок применения основного математического аппарата при решении задач практического содержания.

Оборудование урока: доска, графики показательной и линейной функций, диаграммы процентного роста, карточки-задания, таблицы с формулами, калькуляторы.

1) Организация учащихся на работу, постановка цели и задачи.

Учитель: На практике человек всегда интересуется такими вопросами, как, например, насколько быстро растёт та или иная величина, в особенности, если эта величина имеет «экономический» характер – скажем платёж, если его не внести вовремя; сумма денег на его счёте в банке. Если имеется необходимость производить аналогичные одинаковые вычисления для различных исходных сумм и процентных ставок, можно составить формулу или найти её в справочнике и проводить расчёты с помощью вычислений на калькуляторе.

2) Повторение ранее изученного материала, решение устных задач

Вопрос 1. Как найти процент от числа?

Вопрос 2. Как найти число по его проценту?

Вопрос 3. Что называется логарифмом числа?

Вопрос 4. Какова формула перехода логарифма от одного основания к другому?

Во время работы с классом 2 учащихся выполняют решение задач на проценты по формулам у доски и после разъясняют решение и показывают связь с математикой.

Простейшие задачи на проценты:

Задача 1. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 10%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 32 тыс.руб.? (35200р)

Задача 2. Минимальная заработная плата 1000 рублей была повышена на 25%. Каков новый размер минимальной заработной платы?

, где p – количество процентов, S – первоначальная величина.

Простой процентный рост:

Задача 3. Сколько надо заплатить, если квартплата 500 рублей просрочена, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на 30 дней? (650 рублей)

Задача 4. Какая сумма будет на счёте вкладчика из первой задачи через 5 лет, если процент начисляется только на вложенную сумму? (48 тыс. рублей)

Вопрос 5. Платежи бывают разные, от чего зависит их размер?

Ответ: Размер платежей зависит ещё и от времени, поэтому появилась необходимость составить общую формулу платежей: , где n – число дней.

Вопрос 6. Какую функциональную зависимость задаёт простой процентный рост?

Ответ: Линейную, вида y = kx + b.

3) Проверка усвоенных знаний при решении задач на проценты (тест)

1. Соедините стрелками утверждения, означающие одно и то же:

2. Начальная сумма составляет 2000 рублей. Ежемесячно она увеличивается на 5%. Какая из перечисленных формул соответствует данному условию?

3. Соответствуют ли формулы уравнениям прямой:

По графику сравнить скорости увеличения вкладов и определить, на каком из счетов через 50 лет сумма будет больше?

4) Объяснение нового материала ( постановка проблемы перед учащимися, в виде задачи на нахождение сложных процентов, и её решение)

III. Сложный процентный рост:

В сбербанке России для некоторых видов вкладов (называемые срочными) принята следующая схема начисления денег на сумму, внесённую в банк. Каждый год она возрастает на некоторое число процентов, если в конце года вкладчик не снял «проценты», то они капитализируются и в конце года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму, то есть начисляются «проценты на проценты».

Задача 1. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 5 лет, если проценты будут начисляться на предыдущую сумму? (учащиеся подсчитывают с помощью калькуляторов) 32000·1,1= 35200; 35200·1,1=38720; 38720·1,1=42592; 42592·1,1=46851,2; 46851,2·1,1=51536,32. Но так высчитывать суммы очень долго и неудобно, значит можно посчитать следующим образом: 32000·1,1 5 =51536,32.

В математике говорят о сложных процентах и используют следующую формулу: , которая выражает функциональную зависимость вида y = a x (При наличии времени можно вывести формулу)

Задача 2. На счёт в банке положили 1 млн. рублей под 30% годовых. С помощью графика функции y = 1,3 x определить, через какое время сумма на счёте увеличиться в 2, 5, 8 раз?

Вопрос: Сколько решений имеет задача? И как найти решение без графика функции?

Ответ: Единственное решение, но оно будет не точным. С помощью логарифма: , значит, используя формулу сложных процентов и определение логарифма, можем более точно определить время, за которое происходит увеличение вклада: .

5) Решение задач в группах (допускается распределение ролей, если урок проводится в форме игры)

— По диаграмме определить приблизительно сумму на счёте через 11 месяцев (5 месяцев), и определить процент увеличения вклада за месяц.

— Вычислить, через сколько месяцев сумма на срочном вкладе достигнет 161тыс.руб. (285500 руб.), если было внесено 100 тыс.руб. и банк предлагает 10% в месяц?

6) Домашнее задание Построить таблицу, график и диаграмму роста вклада (с шагом в один год), считая, что начальная сумма 100 тыс.руб., а процентная ставка 20% годовых. С помощью вычислений сравнить, через какое время при разных процентных ростах будет один и тот же результат? В каком случае суммарный вклад за 10 лет будет больше?

Объявление оценок за тест и за работу на уроке.

Вопрос: В чём разница простого и сложного процентного роста?

Ответ: Разница состоит в том, что при простом росте процент начисляется исходя из начального значения величины, а при сложном он исчисляется из предыдущего значения.

Вопрос: Вкладывая деньги в банк и знакомясь с условиями, какой вопрос вы обязательно должны задать работнику банка, чтобы вложение было выгодным?

Ответ: Какие проценты выплачивает банк – простые или сложные?

Источник