что такое прогрессия в математике
Алгебра. Урок 6. Прогрессии
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Числовые последовательности
Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.
Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.
Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).
a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, …
a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25, …
a 1 = − 3, a 2 = − 2, a 3 = − 1, a 4 = 0, a 5 = 1, a 6 = 2, a 7 = 3.
Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
n = 1, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = 1 + 1 = 2
n = 2, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 3
n = 3, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = 3 + 1 = 4
n = 4, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
n = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 2 = ( a 1 + 1 ) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 4
n = 2, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 3 = ( a 2 + 1 ) 2 = ( 4 + 1 ) 2 = 3 2 = 9
n = 3, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 4 = ( a 3 + 1 ) 2 = ( 9 + 1 ) 2 = 4 2 = 16
n = 4, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 5 = ( a 4 + 1 ) 2 = ( 16 + 1 ) 2 = 5 2 = 25
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = − 3 + 1 = − 2 ; − 2 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = − 2 + 1 = − 1 ; − 1 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = − 1 + 1 = 0 ; 0 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 0 + 1 = 1 ; 1 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 6 = a 5 + 1 = 1 + 1 = 2 ; 2 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 7 = a 6 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 3 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 8 = a 7 + 1 = 3 + 1 = 4 ; 4 ≤ 3
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией < a n >называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.
Разностью d арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.
a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d … a n = a n − 1 + d
Арифметическая прогрессия может быть
Примеры арифметической прогрессии:
Формулы арифметической прогрессии
(3) a n = a 1 + ( n − 1 ) d
Сумма n первых членов:
(4) S n = a 1 + a n 2 ⋅ n
(5) a n = a n − 1 + a n + 1 2
(6) a n = a n − k + a n + k 2
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией < b n >называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.
Знаменателем q геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.
Геометрическая прогрессия может быть
Примеры геометрической прогрессии:
Формулы геометрической прогрессии
(3) b n = b 1 ⋅ q n − 1
Сумма n первых членов:
(4) S n = b 1 ⋅ ( q n − 1 ) q − 1
(5) b n = b n − 1 ⋅ b n + 1
(6) b n = b n − k ⋅ b n + k
Задание №12 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Арифметическая прогрессия свойства и формулы
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Последовательности можно задавать разными способами:
«Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33. »
Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
a1 = a, an+1= an + d.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2. a10. an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
| Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2. an. для которой для каждого натурального n выполняется равенство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии. Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле: Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так: Арифметическая прогрессия бывает трех видов: Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0. Свойство арифметической прогрессии Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия. Рассмотрим пример арифметической прогрессии. Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2. Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии. Решение арифметической прогрессии: По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу: Формулы арифметической прогрессииВ 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать: Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn: Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями: Формула n-го члена арифметической прогрессииИз определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно: Значит, Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член. Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессииФормулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции. Пусть дано: Нужно доказать: Действительно, Согласно принципу математической индукции формула Геометрическая прогрессияГеометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q. Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии: Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы: Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3. Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1. Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике
Григорий ГрянниковТема «прогрессии» на ОГЭ тесно связана с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они легко справляются с заданиями. Сейчас мы разберем прогрессии — одну из самых коварных тем ОГЭ по математике. Обратите внимание: в этом материале все самое главное для решения ОГЭ, никакой воды!
Что такое последовательность?В жизни мы очень часто сталкиваемся с математическими последовательностями и прогрессиями, буквально, каждый день, сами того не замечая. Однако встреча не всегда может быть приятной, особенно если она происходит на экзамене. Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям: Хочешь круто подготовится к ОГЭ? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий! Какие виды последовательности бывают?Различают следующие виды последовательности: Что такое арифметическая прогрессия?Давайте посмотрим на следующий ряд чисел:
Что же у них может быть общего? Во-первых, все они нечетные, во-вторых, каждое следующее число мы можем получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем это число d. В нашем случае d=2. Описанная выше последовательность называется арифметической прогрессией. Получаем определение:
Приведем основные формулы:
Сумма первых n членов прогрессии можно вычислить по формуле:
Также арифметическая прогрессия обладает характерным свойством:
Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?Теория — это прекрасно, но каждую теоретическую тему необходимо закреплять на практике. Сейчас мы разберем пару заданий ОГЭ по арифметической прогрессии. Например, на ОГЭ может попасться вот такое задание:
Решение:
Ура! Первый прототип задания, который может встретиться на реальном экзамене, успешно выполнен. Идем дальше.
Решение:
Вот и все! Ничего сложного, учитывая то, что формула суммы первых n членов прогрессии есть в справочных материалах, которые выдаются на экзамене. Что такое геометрическая прогрессия?Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии можно задать соотношением:
Вот основные формулы для геометрической прогрессии:
Также геометрическая прогрессия, как и арифметическая, обладает характерным свойством:
Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?Закрепим материал на практике и разберем две задачи ОГЭ по геометрической прогрессии.
Как видите, со знанием формул любое задание становится несложным! В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?Тема «Прогрессия» встречается в задании ОГЭ под номером 12. Выполнение этого задания экзаменуемым зависит от уровня сложности самого задания. В среднем с ним справляется всего 47% школьников. Как видите, сама тема не очень сложная. Все можно решить — достаточно правильно и хорошо подготовиться. Напомним, что в КИМах с инструкцией и заданиями есть вспомогательные формулы, которые помогут при решении нашей задачи на прогрессию. Теперь вы знаете теорию по теме прогрессии на ОГЭ. Можете смело оттачивать знания на практике. Пусть ваша встреча с прогрессиями на экзамене будет не печальной, а победной! Хотите разобраться в других темах ОГЭ? Боитесь, что экзамены уже в следующем году, а вы даже не открывали учебники? Начните готовиться к ОГЭ-2021 уже сейчас на курсах с MAXIMUM. Мы поможем закрыть пробелы и сдать все на отлично. Правильная и интересная подготовка — залог успеха на экзаменах. Консультация бесплатно! 8. Базовая математика |
Читать 0 мин.