что такое приведение к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель обыкновенных дробей
Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.
Есть два вида знаменателей:
Общий знаменатель — это число или выражение, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.
Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.
Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм
Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.
Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.
Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:
Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.
Метод общих делителей
Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.
Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.
Метод наименьшего общего кратного
Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).
НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.
Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.
Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.
Примеры задач с подробным решением
Задача
Решение
Для начала применим метод «крест-накрест». Тогда:
Получившуюся дробь можно сократить на 5:
Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:
Задача
Решение
Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:
Вычисление методом «крест-накрест» будет слишком большим.
Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.
\(НОК (15; 20) = 5\cdot3\cdot4=60\)
При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений:
Приведение дробей к общему знаменателю.
Для приведения дробей к общему знаменателю надо:
Примеры приведения дробей к общему знаменателю
18/6 = 3 — дополнительный множитель первой дроби,
18/9 = 2 — дополнительный множитель второй дроби.
| 5 | = | 5·3 | = | 15 |
| 6 | 6·3 | 18 |
| 4 | = | 4·2 | = | 8 |
| 9 | 9·2 | 18 |
108/27 = 4 — дополнительный множитель первой дроби,
108/36 = 3 — дополнительный множитель второй дроби.
| 2 | = | 2·4 | = | 8 |
| 27 | 27·4 | 108 |
| 3 | = | 3·3 | = | 9 |
| 36 | 36·3 | 108 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Дроби. Приведение дробей к общему знаменателю.
Любые 2 дроби возможно привести к одинаковому знаменателю, либо, говоря другими словами, к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю значит выразить дроби в одинаковых частях единицы с сохранением величины дроби.
Общим знаменателем дробей может стать каждое общее кратное знаменателей этих дробей (пример: произведение знаменателей). Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей. Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножать на одинаковое число, не равное нулю.
Зачем приводят дроби к общему знаменателю? Ниже приведены некоторые причины:
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо:
Привести дроби 
, 
к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
1. Определим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей заданных дробей – это будет искомым наименьшим общим знаменателем:
НОЗ (наименьший общий знаменатель) = 12;
2. Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели заданных дробей, то есть найдем для каждой дроби дополнительный множитель:
дополнительный множитель для дроби :
дополнительный множитель для дроби :
3. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:
, 
Дроби приведены к общему знаменателю.
Приведение дробей к общему знаменателю.
Общий знаменатель и дополнительный множитель.
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
Пример разных знаменателей у дробей:
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
Мы привели к общему знаменателю дроби:
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби \(\frac<5><8>\) и \(\frac<7><12>\) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби \(\frac<1><4>\) и \(\frac<9><16>\) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.
К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.
Пример №1:
Для дроби \(\frac<1><2>\) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?
Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.
б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.
в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.
Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель — это число, которое делится на знаменатели каждой дроби.
Приведение дробей к ОЗ — это нахождение равных им дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим на примере:
Чтобы сравнить, вычесть или сложить эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю.
Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное для всех трех знаменателей. НОК (2, 3, 5) = 30. Это и есть общий знаменатель.
Найдем во сколько раз каждый знаменатель меньшего общего и умножим каждую дробь на это число.
Чтобы теперь, например сравнить эти дроби, достаточно сравнить их числители.
! Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю.
Для некоторых дробей a/b и c/d он равен НОК ( b, d ).
Правило приведения несократимых дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
1. Разложить знаменатели дробей на простые множители;
2. Найти дополнительные множители знаменателей;
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель ее знаменателя.
Пример приведения к НОЗ и нахождение наименьшего общего кратного (НОК):
НОК (a, b) — наименьшее натуральное число, которое делится и на a и на b (т.е. кратное каждому из них).