что такое предельная точка

Математический анализ
Записки лекций

Илья Щуров (НИУ ВШЭ)

9 Подпоследовательности, предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса

9.1 Подпоследовательности и предельные точки

9.1.1 Подпоследовательности

Доказательство первых двух пунктов этого утверждения простое и я советую его провести самостоятельно. Третий пункт вынесен в качестве задачи на семинары. Обратное неверно: если подпоследовательность обладает каким-нибудь из этих свойств (скажем, ограничена), это ничего не говорит про аналогичное свойство исходной последовательности (приведите примеры).

Неверный ответ. Попробуйте доказать 🙂

9.1.2 Предельные точки

При решении некоторых задач удобным оказывается другое определение предельной точки.

Сравните это определение с определением предела — в чём ключевое различие?

Есть ли последовательности, не имеющие предельных точек? Тут легко привести пример — скажем, последовательность a n = n обладает таким свойством: она посещает каждое натуральное число ровно один раз, а потом уходит от него на расстояние как минимум 1.

Заметим, что последовательсноть a n = n неограничена. Бывают ли ограниченные последовательности без предельных точек? Прежде, чем читать дальше, попробуйте придумать такую.

9.2 Теорема Больцано — Вейерштрасса

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательная лемма, которая представляет и самостоятельный интерес — она пригодится нам ещё несколько раз.

9.2.1 Лемма о вложенных отрезках

Потребуем также, чтобы длины отрезков стремились к нулю:

Неверный ответ. Какие же это?

9.2.2 Деление отрезка пополам

Источник

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА

Лит.:[1] Александров II. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.

Смотреть что такое «ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА» в других словарях:

предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия

предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas

Предельная точка — множества А, такая точка ξ пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от ξ точки множества А, т. е. в любой окрестности (См. Окрестность) которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством … Большая советская энциклопедия

предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики

предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика

предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика

предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика

Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия

Источник

Предельная точка

Смотреть что такое «Предельная точка» в других словарях:

предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия

предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА — множества точка, в любой окрестности к рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек рому топологич. пространству. Множество, содержащее все … Математическая энциклопедия

предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики

предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика

предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика

предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика

Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия

Источник

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА

(1) (a-предельная точка) или

(2)

(w-предельная точка), где <t k >, kN,- последовательность такая, что при в (1) или при в (2) и пределы (1) или (2) существуют.

Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949. В. М. Миллионщиков.

Смотреть что такое «ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА» в других словарях:

предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия

предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА — множества точка, в любой окрестности к рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек рому топологич. пространству. Множество, содержащее все … Математическая энциклопедия

Предельная точка — множества А, такая точка ξ пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от ξ точки множества А, т. е. в любой окрестности (См. Окрестность) которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством … Большая советская энциклопедия

предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики

предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика

предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика

предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика

Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия

Источник