что такое правильная четырехугольная призма
Призма и ее элементы. Свойства правильной четырехугольной призмы
Призма является достаточно простой геометрической объемной фигурой. Тем не менее у некоторых школьников при определении ее основных свойств возникают проблемы, причина которых, как правило, связана с неправильно используемой терминологией. В данной статье рассмотрим, какие призмы бывают, как они называются, а также подробно охарактеризуем правильную четырехугольную призму.
Призма в геометрии
Вам будет интересно: Холю и лелею. Что значит лелеять и холить?
Элементы призмы и теорема Эйлера
Поскольку рассматриваемая объемная фигура представляет собой полиэдр, то есть образована набором пересекающихся плоскостей, то она характеризуется некоторым количеством вершин, ребер и граней. Все они являются элементами призмы.
В середине XVIII века швейцарский математик Леонард Эйлер установил связь между количеством основных элементов полиэдра. Эта связь записывается следующей простой формулой:
Для любой призмы справедливо это равенство. Приведем пример его использования. Предположим, имеется правильная четырехугольная призма. Она изображена на рисунке ниже.
Видно, что число вершин для нее равно 8 (по 4 для каждого четырехугольного основания). Число сторон, или граней составляет 6 (2 основания и 4 боковых прямоугольника). Тогда количество ребер для нее будет равно:
Все их можно посчитать, если обратится к тому же рисунку. Восемь ребер лежат в основаниях, а четыре ребра перпендикулярны этим основаниям.
Полная классификация призм
С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.
Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:
Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).
Для примера на рисунке выше изображена пятиугольная вогнутая прямоугольная, или прямая фигура.
Правильная четырехугольная призма
Основание этой призмы представляет собой правильный четырехугольник, то есть квадрат. Выше на рисунке уже было показано, как выглядит эта призма. Помимо двух квадратов, которые ее ограничивают сверху и снизу, она также включает 4 прямоугольника.
Обозначим сторону основания правильной четырехугольной призмы буквой a, длину ее бокового ребра обозначим буквой c. Эта длина также является высотой фигуры. Тогда площадь всей поверхности этой призмы выразится формулой:
S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)
Учитывая введенные обозначения для длин сторон, запишем формулу для объема рассматриваемой фигуры:
То есть объем вычисляется как произведение площади квадратного основания на длину бокового ребра.
Фигура куб
Все знают эту идеальную объемную фигуру, но мало кто задумывался, что она представляет собой правильную четырехугольную призму, сторона которой равна длине стороны квадратного основания, то есть c = a.
Для куба формулы полной площади поверхности и объема примут вид:
Правильная четырехугольная призма
Четырехугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными квадратами, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими квадратами.
Основания призмы являются равными квадратами.
Боковые грани призмы являются прямоугольниками.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Формула площади поверхности четырехугольной призмы:
Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы.
Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в
параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с
этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого
являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.
Призма является разновидностью цилиндра.
Элементы призмы.
конгруэнтными многоугольниками, которые лежат
в плоскостях, параллельных друг другу.
Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая
из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это
Боковая поверхность – сумма боковых граней.
Полная поверхность – сумма основания и боковой
Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны
Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он
перпендикулярен этим плоскостям.
Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной
Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также
Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается
Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной
боковому ребру призмы.
Свойства призмы.
где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.
где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.
Формула объема призмы:
Привальная четырехугольная пирамида.
Свойства правильной четырехугольной призмы.
Формулы для правильной четырехугольной призмы.
Виды призм.
Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.
Остальные призмы являются наклонными.
Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые
грани такой призмы — одинаковые прямоугольники.
Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется
полуправильным многогранником.
Правильная четырехугольная призма
Элементы правильной четырехугольной призмы
Свойства правильной четырехугольной призмы
Формулы для правильной четырехугольной призмы
Указания к решению задач
При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:
Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)
Задача.
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см
Задача
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
Правильная пятиугольная пирамида
Популярное
Испанский художник Okuda создал в Москве яркую скульптуру в форме звезды.
Одинаковым узором, повторяющимся на каждой грани многогранника, можно создать чередующуюся комбинацию рисунков на объемном геометрическом теле.
Обработка металла это очень сложный технологический процесс. Но существуют мастера, кто умеет вытачивать многогранники из металла внутри другого.
Можно ли разрезать треугольник на такое количество частей, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Статья в журнале «Наука и Жизнь» рассказывает о достаточно необычном способе построения многогранников.
Когда мы демонстрируем многогранники, собранные из наборов «Волшебные грани», люди часто задают один и тот же вопрос, – а какое это имеет практическое применение?
Изобретение календаря замечательное событие для человечества. То, что год состоит из 12ти месяцев ни для кого не секрет. С тех пор люди самыми различными способами группируют.