что такое полюс передаточной функции

Передаточные функции

Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Пере­даточная функция является своего рода математической моделью САР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточная функция представляет собой отношение изображе­ние по Лапласу выходной величины Y ( S ) к изображению входной величины Х ( S ), т.е.

Учитывая условия для линейных систем уравнение (2.3) запишем в следующем виде:

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то будет справедливым выделить следующие два случая:

— сигнал Z ( S ) = 0, тогда

— сигнал X ( S ) = 0, тогда

Тогда, для любой САР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции:

Уравнение (2.9) представляет передаточную функцию по управлению, а выражение (2.10) представляет передаточную функцию по возмущению.

Как известно, собственный оператор Q ( p ) может быть записан в следующем виде.

Соответственно оператор управляющего воздействия R₁ ( р ) и опе­ратор возмущающего воздействия R₂ ( p ) выразим следующим образом:

Следовательно, передаточные функции по управлению и по возмущению представляют собой отношения следующих полиномов:

Для физической реализуемости системы необходимо выполнить условие n>m и n>k.

Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необ­ходимо использовать существующие правила и метода структурных преобразований.

Источник

Понятие полюсов и нулей в передаточных функциях

Данная статья объясняет, что такое полюсы и нули, и обсуждает, как полюсы и нули передаточной функции связаны с поведением схем аналоговых фильтров относительно амплитуды и фазы.

В предыдущей статье я представил два стандартных способа представления передаточной функции в s-области для RC фильтра нижних частот первого порядка. Давайте кратко рассмотрим некоторые важные концепции.

Полюсы и нули

Предположим, что у нас есть передаточная функция, в которой переменная s появляется как в числителе, так и в знаменателе. В этой ситуации, по крайней мере, одно значение s приведет к тому, что числитель будет равен нулю, и, по крайней мере, одно значение s приведет к тому, что знаменатель будет равен нулю. Значение, при котором числитель равен нулю, является нулем передаточной функции, а значение, которое приводит к нулю в знаменателе, является полюсом передаточной функции.

Давайте рассмотрим следующий пример:

Полюсы и нули являются определяющими характеристиками фильтра. Если вы знаете расположение полюсов и нулей, то у вас много информации о том, как система будет реагировать на сигналы с разными входными частотами.

Влияние полюсов и нулей

Диаграмма Боде (логарифмическая амплитудно-частотная характеристика, АЧХ) обеспечивает простую визуализацию взаимосвязи между полюсом или нулем и поведением системы при передаче сигнала от входа к выходу.

Частота полюса соответствует угловой частоте, при которой наклон кривой АЧХ уменьшается на 20 дБ/декада, а ноль соответствует угловой частоте, при которой наклон увеличивается на 20 дБ/декада. В следующем примере амплитудно-частотная характеристика представляет собой аппроксимацию амплитудного отклика системы, которая имеет полюс при 10 2 радиана в секунду (рад/с) и ноль при 10 4 рад/с.

Рисунок 1 – Полюс и ноль на логарифмической амплитудно-частотной характеристике

Влияние на фазу

В предыдущей статье мы видели, что математическим источником фазо-частотной характеристики фильтра нижних частот является функция арктангенса. Если мы используем функцию арктангенса (точнее, функцию отрицательного арктангенса), чтобы сгенерировать график зависимости фазы (в градусах) от частоты в логарифмическом масштабе, мы получим следующий график:

Рисунок 2 – Фазо-частотная характеристика ФНЧ первого порядка

В следующем примере представлена система, которая имеет полюс при 10 2 рад/с и ноль при 10 5 рад/с.

Рисунок 3 – Полюс и ноль на логарифмической фазо-частотной характеристике

Скрытый ноль

Если вы читали предыдущую статью, вы знаете, что передаточная функция фильтра нижних частот может быть записана следующим образом:

У этой системы есть ноль? Если мы применим определение, данное ранее в этой статье, мы сделаем вывод, что его нет – переменная s не появляется в числителе, и поэтому никакое значение s не приведет к тому, что числитель станет равным нулю.

Я попытаюсь дать физическую интерпретацию нуля при ω = ∞ : это указывает на то, что фильтр не может «всегда» продолжать увеличивать ослабление (где «всегда» относится к частоте, а не ко времени). Если вам удастся создать входной сигнал, частота которого продолжает увеличиваться до тех пор, пока она не «достигнет» бесконечности рад/с, то ноль при s = ∞ заставит фильтр прекратить увеличивать ослабление, т.е. наклон амплитудно-частотной характеристики увеличится с –20 дБ/декада до 0 дБ/декада.

Заключение

Мы изучили основные теоретические и практические аспекты полюсов и нулей передаточной функции и увидели, что можем создать прямую связь между частотами полюса и нуля фильтра и его амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками. В следующей статье мы рассмотрим передаточную функцию фильтра верхних частот первого порядка.

Источник

Нули и полюса передаточной функции. Что они определяют в поведении системы.

Передаточная функция представляет собой отношение изображе­ние по Лапласу выходной величины Y(S) к изображению входной величины Х(S), т. е.

Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости – нули и полюса. Полюса – это те значения S, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно S. Нули – это те значения S, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю, и полученное алгебраическое уравнение решается относительно S. В связи с этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей

,

где l_i – полюса передаточной функции; n_k – нули передаточной функции.

Звено называется минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части. Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудной характеристике можно определить фазовую и наоборот.

Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет положительную вещественную часть. Неминимально-фазовыми являются также звенья, которые имеют бесконечное число полюсов в левой части комплексной плоскости. Эти звенья известны под названием звенья чистого запаздывания.

Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необ­ходимо использовать существующие правила и методы структурных преобразований.

23. Основные принципы регулирования

В современной теории автоматического регулирования различают 4 принципа регулирования:

Задача регулирования заключается в выработке таких управляющих воздействий на объект, которые обеспечили бы равенство выходных переменных некоторым заранее известным, задающим воздействиям. Эта задача еще называется задачей стабилизации.

При конструировании регулятора в рассматриваемой системе необходимо знать все свойства объекта управления. Только при этом условии и отсутствии возмущений можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на регулируемую величину. Область применения принципа регулирования по нагрузке в «чистом» виде ограничена случаями когда нельзя пренебречь действием возмущений. Неприменим такой подход и в случае неустойчивого или нейтрального объекта управления.

Регулирование по возмущению. Различают САР с контролируемым возмущением и с косвенной оценкой неконтролируемого возмущения. Структура системы автоматического регулирования в первом случае включает еще один элемент- регулятор по контролируемым возмущениям , в котором формируется компенсирующее воздействие:

Недостатки принципа регулирования по возмущениям:

— как и в предыдущем случае неустойчивые объекты не могут быть стабилизированы с использованием только этого принципа;

— в соответствии с условием компенсации оператор регулятора по возмущениям определяется как: ; поскольку оператор моделирует реальный процесс, то обратный оператор не всегда осуществим;

— в большинстве случаев отсутствует полная информация о .

В обоих случаях – при использовании принципа регулирования по нагрузке или принципа регулирования по возмущениям системы регулирования являются разомкнутыми, в них регулируемая величина не влияет на действие регулятора.

Регулирование по отклонениям. В подавляющем большинстве случаев отсутствует исчерпывающая информация о свойствах объекта управления и действующих возмущений и разомкнутые системы регулирования оказываются неэффективными. Поэтому при синтезе САР прибегают к использованию принципа регулировании по отклонениям (с обратной связью). В этом случае отклонения выходной переменной учитываются при расчете регулирующих воздействий.

Уравнение САР имеет вид: .

Положительными моментами использования принципа регулирования по отклонению является возможность применения для неустойчивых объектов и не предполагается отсутствие или незначительность действующего возмущения. К недостаткам принципа регулирования по отклонениям относится проблема устойчивости САР с большим коэффициентом усиления регулятора.

Регулирование по комбинированному принципу. В этом случае присутствует контур регулирования по контролируемым возмущениям , контур компенсации косвенно оцениваемого возмущения , контур регулирования по отклонениям и контур реализации задающего воздействия . В конкретных случаях включение или невключение контуров в структуру САР определяется свойствами объекта управления и требованиями, предъявляемыми к качеству регулирования.

Основные законы регулирования (П, Пи, ПИД). Изменение поведения систем при использовании регуляторов по временной области

В составе структуры САР содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зави­симости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(D). Закон регули­рования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем. Различают линейные и нелинейные законы регулирования. Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом.

Рассмотрим основные линейные законы регулирования.

В зависимости от вида преобразования ошибки регулирующие устройства можно подразделить на три основных типа:

а также их сочетания. Например, пропорционально-интегральные (ПИ- регуляторы), пропорционально-дифференциальные (ПД-регуляторы) и так далее. Передаточные функции регулирующих устройств имеют следующий вид.

Источник

Анализ цифровых фильтров с помощью VHDL. Фазовые и маскирующие фильтры

z-преобразование и передаточная функция

z-преобразование широко используется в цифровой обработке сигналов (ЦОС) потому, что сигнал вида x(n) = z n является собственной функцией для линейной системы, которая инвариантна к сдвигу. То, что функция является собственной для системы, означает, что после обработки сигнала, который имеет форму этой функции, получим сигнал, который имеет такую же форму, но является задержанным во времени и имеет другую амплитуду. Покажем, что z n является собственной функцией для системы, которая описывается импульсной реакцией h(k). Если такой сигнал подать на вход системы, то на выходе получим (согласно свойствам линейной системы инвариантной к сдвигу) исходный сигнал

(1)

Итак, видим, что функция z n прошла неизменной на выход системы. Согласно (1), передаточная функция системы равна

(2)

(3)

(4)

где К — коэффициент усиления системы. Итак, множества нулей и полюсов определяют передаточную функцию системы.

Нули и полюса передаточной функции

Амплитудно-Частотная характеристика

Модуль передаточной функции |H(z)| в трехмерном пространстве можно представить как бесконечную упруго растягивающуюся мембрану, которая натянута над комплексной плоскостью на единичной высоте. Точки мембраны, отвечающие нулям функции, притянуты к комплексной плоскости, а точки, обозначающие полюса, оттянуты вверх к бесконечности. Если на мембране изобразить концентрические круги, то после ее деформации согласно размещению нулей и полюсов как на рис. 1, получим изображение, как на рис. 2. Толстая линия на поверхности |H(z)| (рис. 2) отображается на комплексную плоскость как окружность с единичным радиусом. Она строится при

(5)

Рис. 2. Функция |H(z)| в трехмерном пространстве

Рис. 3. Амплитудо-частотная характеристика фильтра нижних частот

Для удобства ось частот графика АЧХ нормируют делением аргумента на 2π, поэтому единица на этой оси отвечает частоте дискретизации сигнала. Аналогично АЧХ, вычисляют фазо-частотную функцию (ФЧХ) системы

(7)

Для АЧХ цифровых фильтров договорено, что в полосе пропускания АЧХ имеет уровень не ниже √ 0,5 ≈ 0,7. Это означает, что в этой полосе мощность фильтрованного сигнала не снижается меньше, чем на уровень 0,5 от номинальной мощности. Соответствующая частота границы полосы называется частотой среза (ω_зр на рис. 3). Максимальный уровень фильтрованного сигнала в полосе непропускания называется уровнем подавления фильтра (Нпр на рис. 3).

Фазовые фильтры

Дальше будут исследоваться характеристики передаточной функции

(8)

и других передаточных функций на ее основе. H₁(z) отвечает фазовому фильтру, нули и полюса которого показаны на рис. 4. Нули и полюса функции (8) имеют одинаковый угол ω. Если модуль ее полюса r, то модуль нуля равняется обратной величине, т.е. 1/r. Следовательно, нули полностью компенсируют влияние полюсов и поэтому АЧХ равняется 1 во всем диапазоне частот.

Рис. 4. Нули и полюса фазового фильтра

Положение полюсов и нулей определяется коэффициентами a,b, причем

Фазовый фильтр не изменяет амплитуды сигнала, но искажает его фазу. Причем, чем ближе параметр b к единице, тем резче искажение фазы на частоте ω. Если соединить параллельно два фазовых фильтра с характеристиками H₁(z), H₂(z), т.е.:

то в их общей передаточной характеристике H₃(z) нули перестают компенсировать полюса. Оба канала H₁(z), H₂(z) пропускают два сигнала без изменения их амплитуд. Но на частотах, где разность фаз равна π, 3π,…, сигналы компенсируют друг друга и результирующий сигнал явдяется нулевым. Наоборот, на частотах, где разность фаз 0,2π, 4π,…, этот сигнал остается без изменений. Благодаря этому, в результирующей АЧХ |H(ω)| появляются полосы пропускания и непропускания.

Фильтры с кратными задержками и маскирующие фильтры

В любой линейной системе, инвариантной к сдвигу, можно увеличить каждую задержку в k раз. Тогда вместо передаточной функции H(z) рассматривается функция с кратными задержками H(z k ). Эффект такого увеличения задержек состоит в том, что масштаб графиков АЧХ, ФЧХ вдоль оси частот уменьшается в k раз.

Пусть имеем H₄(z) = H₃(z k ). Если АЧХ |H₄(ω)| имеет несколько полос пропускания, то рабочую полосу можно выделить с помощью маскирующего фильтра H_М(z), соединенного последовательно с фильтром, который реализует H₄(z). Т.е. результирующая функция
H(z) = H₄(z)*H_М(z) (11)

Для этого АЧХ маскирующего фильтра должна иметь полосы непропускания в тех диапазонах частот, где находятся полосы пропускания в АЧХ |H₄(ω)|, которые необходимо подавить.

VHDL-Функции для анализа передаточных функций

Для вычисления передаточных функций нужно использовать пакеты ІEEE.MATH_REAL и ІEEE.MATH_COMPLEX. В последнем пакете определены типы, константы и функции, которые оперируют с комплексными данными.

Для вычисления передаточных функций разработаны ряд функций с использованием пакетов ІEEE.MATH_REAL и ІEEE.MATH_COMPLEX. Вычисление последовательности z n выполняется с использованием следующих функций, которые перезагружают друг друга

Следующая функция вычисляет H₁(z) по формуле (8), но для положительных степеней z, т.е. с учетом (3). Она необходима для сканирования пространства |H₁(z)| при поиске нулей и полюсов, когда устанавливается разная величина mag амплитуды и фазы fі комплексного вектора z. Также она используется для расчетов АЧХ и ФЧХ.

вычисляет (bZ 2 +а(b+1)Z+1)/(Z 2 +c(b+1)Z+b)

Для сканирования пространства |H₁(z)| используется следующий фрагмент VHDL-программы.

Исследование фазовых фильтров с помощью VHDL

(12)

Рис. 5. Развертка функции |H₁(z)| (а) и функции arg(H₁(z)) (б)

Анализ графика arg(H₁(z)) показывает, что при значении величины угла ph = 0 фаза равняется 0, при постепенном увеличении ph фаза плавно уменьшается. Но если ph приближается к положению полюсов, фаза стремительно достигает значения ±π.

(14)

Нужно подчеркнуть, что умножение на коэффициент 0.625 можно выполнить как одно сложение множимого, которое сдвинуто на один и три разряда вправо. Аналогично можно выполнить умножение на 0.8125. Это существенно упрощает аппаратную реализацию фильтра, который отвечает этой передаточной функции.

После запуска программы на моделирование получены графики |H₃(ω)| и arg(H₃(ω)) (рис. 6) для частот ω=(0, 2π) или для нормированных частот ph = (0, 1). Как видим, добавление передаточной функции H₂(z) создает АЧХ фильтра нижних частот с частотой среза f_зр = 0,156 ≈ arg(r₁) =1/(2π) 1,0336 = 0,164 от частоты дискретизации. Измеренный по графику logm уровень подавления составляет 8.5 дб.

Рис. 6. Графики АЧХ |H3(ω)| и ФЧХ arg(H3(ω))

Теперь исследуем функцию H₄(z):
(15)

Так же, как и в предыдущем случае, график |H₄(ω)| (рис.7,а) строится с помощью замены оператора на следующий оператор

(16)

исследуем с помощью графика |H_М(ω)| (рис.7,б), который строится по оператору

Рис. 7. График АЧХ |H4(ω)| (а), |HМ(ω)| (б) и результирующей AЧХ |H(ω)|
в линейном и логарифмическом масштабах

Видно, что этот график представляет собой повторенный дважды график на рис.6, что характерно для передаточных функций с кратными задержками.

Наконец, исследуем функцию (11), которая является композицией функций H₄(z) и H_M(z):

(17)

График результирующей АЧХ |H(ω)| (рис.7,в) строится с помощью оператора

Как следует из рис. 7, функция H_М(z) маскирует H₄(z), в результате чего получена передаточная функция H(z) (2) фильтра низких частот с частотой среза f_зр = 0,06 от частоты дискретизации и уровнем подавления больше 23 дб.

Итак, довольно простая передаточная функция (12), которая может быть реализована без использования умножений, имеет довольно высокие фильтрующие свойства. Аналогичный фильтр с конечной импульсной характеристикой должен быть по крайней мере пятидесятого порядка.

Из литературы,указанной ниже, можно узнать больше о фазовых, маскирующих фильтрах и фильтрах с кратными задержками.

Источник