Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.
Определение прямоугольника
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).
∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°
Прямоугольник состоит из:
Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.
Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.
Свойства прямоугольника
Свойство 1
Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.
Свойство 2
Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.
Свойство 3
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.
Свойство 4
Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.
d 2 = a 2 + b 2
Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.
Свойство 5
Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 6
Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.
Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:
Как найти стороны прямоугольника при известных периметре и площади
В этой статье я хочу рассмотреть две математические задачи повышенной сложности для 4 класса.
Видеоурок по теме этой статьи можно посмотреть по ссылке.
С этими задачами, я уверен, без труда справится более старший школьник, знакомый с решением системы уравнений и квадратных уравнений. Кстати, подобная задача есть в учебнике по геометрии Атанасяна, глава VI № 454 пункт б за 8 класс.
Но почему же эти задачи указаны в математических сборниках как задачи для 4 класса, в котором еще не изучают алгебраические понятия и методы решения? Нет ли здесь ошибки?
Нет, никакой ошибки здесь нет. Эти, и аналогичные им задачи можно решить и без использования алгебраических знаний.
Первое, что приходит на ум – это по значению периметра прямоугольника (а периметр – это удвоенная сумма двух его сторон) найти сумму двух сторон, а после простым подбором определить два числа, произведение которых равно данной по условию площади прямоугольника, а сумма – половине периметра.
Я хочу показать вам математически точное решение, которое безо всяких подборов приводит к правильному результату.
Нахождение сторон прямоугольника при известных периметре и площади
Рассмотрим первую задачу:
Так как периметр прямоугольника – это удвоенное произведение суммы двух сторон прямоугольника, то мы можем найти эту сумму, разделив значение периметра на 2:
А дальше мы рассуждаем так.
Тогда площадь этого квадрата равна
Это значит, что нам нужно изменить стороны рассматриваемого квадрата со стороной 6 см так, чтобы уменьшилась его площадь, но не изменился периметр.
Так как квадрат имеет самую большую площадь среди прямоугольников с одинаковым периметром, то для уменьшения площади нам нужно увеличить разницу между его длиной и шириной. То есть, ширину уменьшить, а длину увеличить на одно и то же число.
Площадь 4 см 2 – это квадрат со стороной 2 см. Это и есть нужное нам число.
Тогда, ширина искомого прямоугольника будет равна:
Проверим найденные длины сторон, определив периметр и площадь полученного прямоугольника:
Задача решена верно.
Теперь рассмотрим вторую задачу.
Находим полупериметр, то есть, сумму двух сторон прямоугольника.
Площадь такого прямоугольника равна:
Разница между полученной площадью и заданной по условию задачи составляет:
6 см 2 – это площадь прямоугольника со сторонами 2 и 3 см. Чтобы уменьшить площадь нашего прямоугольника со сторонами 11 см и 12 см, нужно увеличить разницу между значениями этих сторон, а именно, уменьшить его короткую сторону, то есть, ширину. При этом длину также нужно увеличить на это же число, чтобы сохранить значение периметра.
Находим ширину искомого прямоугольника:
Длину нужно увеличить также на это число, чтобы не изменился периметр прямоугольника:
И эта задача решена тоже верно.
На этом все. Не забудьте написать в комментарии ответы на вопросы, почему мы рассматриваем разницу в площадях именно как прямоугольник с максимальной площадью, и почему ширину уменьшаем именно на ширину.
Properiter многоугольника равна половине его периметра. хотя properiter-это очень простая производная от периметра, она так часто появляется в Формуле для треугольников и других геометрических фигур, что ему дали отдельное название. Если properiter в любую формулу, ее обычно обозначают буквой p.
1. Треугольники. (Triangles)
Properiter чаще всего используется для треугольников. properiety формулы для треугольника со сторонами a, b и c
1.1. Треугольники. Свойства. (Properties)
В любой треугольник, вершины и точки касания вневписанной окружности на противоположной стороне, делим периметр на две равные части, то есть в две стороны, длина которой равна proprietry. на снимке стороне A, B, C и точек соприкосновения A, B, C, тогда
p = | A B | | A B | = | A B | | A B | = | A C | | A C |
= | A C | + | A C ′ | = | B C | + | B ′ C | = | B C | + | B C ′ |.
Прямая линия, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам, если и только если она делит площади.
Properiter треугольника равен периметру его медиан треугольника.
Из неравенства треугольника следует, что длина самой длинной стороны треугольника не превышает properiter.
1.2. Треугольники. Формула нищете. (Formula poverty)
Зона K любого треугольника равна произведению радиуса его вписанной окружности и properiety:
Площадь треугольника может быть вычислена на основе ее properiety и длины сторон a, b, c по формуле Герона:
Радиус описанной окружности R треугольника можно вычислить с properiety и длины сторон:
Эта формула может быть выведена из теоремы синусов.
Радиус вписанной окружности равен
Теорема дает котангенс половинного углов в вершинах треугольника в плане properiety, стороны и радиуса вписанной okruzhnosti.
Длина внутренней биссектрисе угла противоположной стороны a равна
t a = 2 b c s p (т а = 2 Б С) − a b + c. <\displaystyle t_=<\frac <2<\sqrt >>>. >
2. Четырехугольники. (Quadrilaterals)
Формула для properiety четырехугольник со сторонами a, b, c и d
Одна из формул для треугольников, используя properiter также применяются для четырехугольников, которые имеют вписанную окружность и сумма длин противоположных сторон которого равна proprietry. А именно, это формула площади фигуры:
Простейшая форма Brahmagupta формула площадь четырехугольника вписанного в окружность имеет форму близкую к формуле Герона для площади треугольника:
Соотношение Bretschneidera обобщает формулу для всех выпуклых четырехугольников:
Двухсотлетний четырех сторон четырехугольника четыре решения уравнения четвертой степени, параметры которого pauperised, радиус вписанной окружности и радиус описанной.
