что такое планиметрия и стереометрия

Содержание:

Что такое планиметрия

Логическое построение планиметрии можно описать как последовательность следующих этапов.

Для школьного курса планиметрии определены:

К определяемым понятиям в геометрии относят отрезок, луч, треугольник и т. п., поскольку для них существуют объяснения «что это такое?». Определяемых понятий много. Приведем пример.

Аксиомы планиметрии

С целью установления правильности утверждения о свойствах той или иной геометрической фигуры прибегают к некоторым рассуждениям. Среди них есть такие, которые требуют доказательства (теоремы, задачи). Утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства и которое используется для доказательства других утверждений, называют теоремой.

Теорема состоит из: условия и вывода. Для доказательства теорем в школьном курсе геометрии в основном используют следующие методы:

Все рассуждения при доказательстве теорем произвольным методом основываются на аксиомах и известных доказанных фактах. Т.е. чтобы доказать теорему, разрешается пользоваться только основными свойствами простейших фигур (аксиомами) и свойствами, доказанными ранее (теоремами). Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя. Например, доказывая теоремы, можно использовать рисунки. Однако это лишь геометрическая модель содержания текста, выраженного словами, поэтому делать по рисунку выводы о свойствах фигур не разрешается.

Итак, геометрия, как и другие математические науки, строится по такой схеме: сначала следует ввести основные понятия, задать аксиомы (правила игры), а потом, опираясь на аксиомы, выводить другие факты (проводить игру по определенным правилам, не противоречащим друг другу).

Опорные факты курса планиметрии

Данный параграф предназначен для повторения курса планиметрии. Необходимость в нем обусловлена тем, что многие вопросы планиметрии на первом этапе обучения в школе рассматриваются несколько поверхностно. В следующих классах уровень изучения материала повышается, а вернуться и углубить пройденное удается не всегда. Поэтому мы систематизируем и обобщим основные сведения по планиметрии, условно разбив их на блоки: взаимное расположение прямых на плоскости; окружность и круг; многоугольники; треугольник и его элементы; выпуклые четырехугольники.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расстоянием от точки до прямой (рис. 1.4) называют длину отрезка , перпендикулярного к прямой а, где точка — основание перпендикуляра. Расстояние от точки до любой точки прямой , отличной от точки , больше расстояния от точки до прямой . Т.е. любой отрезок , где -точка прямой , отличная от точки , длиннее отрезка .

Две различные прямые и , лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Коротко записывают . Если прямые не параллельны (), то они пересекаются ().

Вследствие пересечения двух прямых третьей прямой образуется восемь углов (рис. 1.5) (прямые а и Ь могут пересекаться, но прямая с через точку их пересечения не проходит):

Признаки параллельности прямых:

Окружность и круг

Кругом с центром и радиусом называют фигуру, образованную всеми точками плоскости, которые отдалены от точки на расстояние, не больше чем . Круг ограничен окружностью. Окружностью с центром и радиусом называют множество точек плоскости, отдаленных от точки на расстояние, равное (рис. 1.7, а).

Отрезки, которые соединяют центр с точками окружности и имеют длину , называют радиусами окружности (круга).

Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называют круговыми секторами (рис. 1.7, б).

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит пополам эту хорду и обе дуги, которые стягиваются ею, и наоборот, если диаметр проведен через середину хорды, то он перпендикулярен этой хорде и делит пополам дугу, которую она стягивает (рис. 1.8, а).

Дуги, которые находятся между параллельными хордами, равны между собой. Равные дуги стягиваются равными хордами, и наоборот, равные хорды стягивают равные дуги.

Равные хорды одинаково отдалены от центра, и наоборот, хорды, одинаково отдаленные от центра, равны между собой. Большая из двух хорд меньше отдалена от центра, и наоборот, из двух хорд больше та, которая меньше отдалена от центра (рис. 1.8, а).

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?

Рассмотрим окружность с центром и прямую (рис. 1.8, б). Из точки проведем перпендикуляр к прямой . Пусть -основание этого перпендикуляра. Возможны три случая: точка находится вне окружности , на окружности и внутри окружности . В каждом из этих случаев окружность и прямая либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку ( — касательная к окружности), либо имеют две общие точки ( — секущая).

Прямая, проходящая через точку окружности, является касательной к окружности только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Если касательная параллельна хорде окружности, то точка касания делит пополам дугу, которую стягивает хорда (рис. 1.8, в; ).

Если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки этих касательных (от точек касания до данной точки) равны между собой, а луч, проведенный через данную точку и центр окружности, делит пополам угол между касательными (рис. 1.8, в; ).

Угол, образованный двумя касательными, называется описанным (рис. 1.8, в; ). Описаный угол измеряется полуразностью двух дуг, которые находятся между его сторонами .

Многоугольники

Многоугольник выпуклый, если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис. 1.12, б, г, д).

Многоугольники называют равными, если при наложении они совмещаются. Для выпуклого -угольника сумма внутренних углов равна , а количество диагоналей любого-угольника равно . Если все стороны выпуклого многоугольника равны между собой и все углы также равны между собой, то его называют правильным (рис. 1.12, д). Если все вершины многоугольника лежат на некоторой окружности, он называется вписанным в эту окружность (рис. 1.13, а). Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, он называется описанным вокруг окружности (рис. 1.13, б). По количеству сторон -угольника ему дают название. Например, треугольник , четырехугольник , пятиугольник и т.д.

Как построить правильный -угольник?

Если окружность разделить на равных частей и точки последовательно соединить отрезками, то получим правильный -угольник, вписанный в окружность (рис. 1.14).

Если окружность разделить на равных частей и через точки деления провести касательные к окружности, то отрезки этих касательных образуют правильный -угольник, описанный вокруг окружности (рис.1.15).

Вокруг каждого правильного многоугольника можно описать окружность или в каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.

В правильном многоугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Общий центр описанной и вписанной окружностей называется центром правильного многоугольника. Радиус вписанной окружности называют апофемой правильного многоугольника.
Угол, образованный двумя радиусами, проведенными через смежные вершины правильного многоугольника, называется его центральным углом. Все центральные углы правильного многоугольника равны между собой и составляют , где — количество сторон (углов) многоугольника.
В правильном -угольнике, как и в произвольном -угольнике, сумма всех углов (внутренних) составляет . Поэтому каждый его угол определяется по формуле .

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, является точкой пересечения серединных перпендикуляров его сторон (рис. 1.15).

Простейшим многоугольником является треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. На рисунке 1.16, изображена окружность с центром , вписанная в треугольник , — радиус. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис и находится внутри треугольника. Поскольку площадь треугольника находят по формуле , где — полупериметр треугольника, то отсюда , где — стороны треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, равноудален от его сторон.

Можно ли в любой четырехугольник вписать окружность?
Ответ. Нельзя. В четырехугольник можно вписать окружность только при условии, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Вокруг произвольного треугольника можно описать окружность, притом только одну (см. рис. 1.16, б). Центр окружности, описанной вокруг треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам. Центр окружности , описанной вокруг треугольника , равноудален от его вершин.

На рисунке 1.16, б изображена окружность с центром , описанная вокруг треугольника , — ее радиус. Если радиус описанной окружности , стороны треугольника, вписанного в окружность, и — полупериметр треугольника, то

Можно ли описать окружность вокруг произвольного четырехугольника?
Ответ. Нельзя. Вокруг четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°.

Треугольник и его элементы

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Рассмотрим (рис. 1.17), в котором выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла и три соответственно противолежащие им стороны .

Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным, если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90°.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (боковые стороны). Основанием равнобедренного треугольника является сторона, которая не равна ни одной из двух других равных сторон.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним, или правильным.

Соотношение между сторонами и углами треугольника:

Треугольник можно определить любой тройкой таких основных элементов: либо двумя сторонами и углом между ними, либо одной стороной и двумя углами, либо тремя сторонами.

Например, со сторонами можно задать так:

Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника: любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Из трех отрезков можно образовать треугольник тогда и только тогда, когда любая его сторона меньше суммы и больше разности двух других его сторон. В любом треугольнике можно провести три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Свойства биссектрисы угла треугольника: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника и является центром вписанной
в него окружности.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам (рис. 1.18; — биссектриса, ).

Основные свойства медиан треугольника:

.

Медиана треугольника , проведенная к стороне , определяется через стороны треугольника по формуле:

Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании треугольника равны; высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой.

Свойства равностороннего треугольника: все углы равны (каждый угол равен 60°); каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой; центр окружности, описанной вокруг треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него.

Стороны прямоугольного треугольника и ( — гипотенуза) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора: . Читается так: квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Свойства прямоугольного треугольника:

Выпуклые четырехугольники

Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 1.20).

Если в четырехугольнике исполняется любое из таких условий:

Если боковые стороны трапеции равны между собой, такую трапецию называют равнобокой (рис. 1.21; ).

Равнобокая трапеция имеет такие свойства:

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией (рис. 1.21; — средняя линия, , ).

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме (рис. 1.21; ).

Задачи и методы их решения

Для геометрии закономерным является то, что введенные основные понятия и сформулированная аксиоматика составляют основу для новых утверждений. Однако справедливость последних необходимо доказывать путем определенных рассуждений, основывающихся на ранее доказанных утверждениях или аксиомах. Так формируются математические задачи.

Что такое математическая задача?

Можно ли утверждать, что для успешного решения геометрических задач и доказательства теорем достаточно свободно владеть всем теоретическим материалом?

Нет. Это не так. При хорошем знании теории следует овладеть еще и практическими навыками. А это возможно только в процессе решения задач, начиная с простейших и постепенно переходя к более сложным.

Математические задачи условно разделены на четыре вида, в соответствии с их требованиями: задачи на вычисление, доказательство, исследование и построение. С ними вы уже ознакомились в курсе планиметрии.

Приступая к решению задачи, следует выбрать метод. Методы делят:

Суть синтетического метода заключается в том, что, исходя из условия задачи или теоремы с использованием известных утверждений строится цепочка логических рассуждений, последнее из которых совпадает с требованием задачи. Приведем пример.

Пример №1

— биссектриса прямого угла -секущая, поэтому как внутренние разносторонние. — биссектриса, следовательно, . Таким образом, .
В : , следовательно, — равнобедренный и .
1. Если , , то и .
.
2. Если , и .
.
Ответ. 46 см или 50 см.

Эта задача является опорной, поскольку на такой идее строятся многие задачи и для параллелограмма, и для трапеции. У этих фигур биссектриса угла отсекает всегда равнобедренный треугольник.

Отметим, что сокращенное обозначение углов в виде . упрощает запись и экономит время, поэтому в таких случаях им пользоваться удобнее.
Как видим, в процессе решения задачи 1 используются только известные геометрические утверждения и производятся соответствующие вычисления. Причем для каждой геометрической задачи такие рассуждения свои.

Суть аналитического метода состоит в том, что, исходя из требования (вывода) утверждения (теоремы или задачи) и опираясь на известное утверждение, строится цепочка логических рассуждений, которая показывает, что требование является следствием условия. Приведем пример.

Пример №2

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: — четырехугольник; , ;;
Доказать: — параллелограмм.

— заданный четырехугольник. — середины соответствующих сторон. и — диагонали четырехугольника .
В — средняя линия, следовательно, .
В — средняя линия, следовательно, .
Имеем: 1. и , следовательно, (по признаку параллельных прямых).

Чтобы решить задачу прямым методом, следует начать с анализа содержания задачи, от которого зависит выбор метода решения. Далее необходимо создать модель в виде рисунка и продолжить рассуждать над каждым действием, которые в совокупности образуют цепочку действий, ведущих либо от условия к требованию, либо от требования к условию.

Суть метода доказательства от противного состоит в том, что, имея утверждение, строим новое, возразив выводу данного. Формулируется утверждение. Исходя из вывода противоположного утверждения, строим цепочку истинных утверждений, пока не получим утверждение, которое противоречит либо условию, либо известной аксиоме или теореме, либо предположению. Таким образом приходим к выводу, что противоположное утверждение ошибочно, а потому исходное является истинным (тут действует логический закон: из двух противоположных утверждений одно истинное, другое ошибочное, третьего не дано). Рассмотрим пример.

Пример №3

Докажите утверждение: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Строим противоположное утверждение: существуют две прямые, параллельные третьей и не параллельные между собой.

Математическую задачу считают решенной, если:

Метод от противного называют непрямым методом решения математических задач.

Рассмотрим некоторые другие методы решения геометрических задач, которые делят на виды по использованию математического аппарата.

Алгебраический метод решения задач

Решая задачу алгебраическим методом, следует уделить внимание таким этапам:

Приведем другие примеры решения задач алгебраическим методом.

Пример №4

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза относится к катету как 5 : 3. Найдите стороны треугольника.

Дано:
Найти:

Обозначим коэффициент пропорциональности через . Тогда или
Ответ. 15 см, 9 см и 12 см.

Почему именно так?
— единственное линейное измерение, с которым связаны стороны треугольника.

Пример №5

В параллелограмме диагонали равны 16 см и 20 см. Меньшая из них перпендикулярна к его стороне. Найдите площадь этого параллелограмма.
Дано: — параллелограмм;
.

Найти:

Почему именно так?
Пусть — заданный параллелограмм, в котором и .
Обозначим стороны параллелограмма:
. Тогда имеем уравнение: , отсюда
По теореме Пифагора из ():

, т.е. имеем: или .
Составим систему уравнений:

Ответ.

В ходе решения этой задачи сначала выбираем формулу для вычисления площади параллелограмма.
, где — основание параллелограмма, — высота, проведенная к нему. , поэтому является высотой параллелограмма, проведенной к сторонам или , длины которых неизвестны. Стороны параллелограмма связаны с его диагоналями формулой

Метод площадей

Пример №6

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне, которая имеет длину 14 см.

Пусть — стороны некоторого , причем , , .

и — высота, проведенная к средней стороне. По формуле Герона: а по другой формуле:

Ответ. .

Имея три стороны треугольника можно найти его площадь по формуле Герона: где
С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формулам: где — высота, проведенная к -й стороне. Осталось выбрать сторону треугольника и получить уравнение: в котором неизвестным будет .

Отметим, что хотя во время решения задачи 6 использовалось алгебраическое уравнение, более существенными в решении этой задачи являются рассуждения о площади фигуры. Поэтому такой метод получил название метод площадей.

Пример №7

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 6 см. Найдите длину биссектрисы прямого угла.

Дано: ; — биссектриса; , .
Найти: .

Пусть — данный прямоугольный треугольник (), в котором , и -биссектриса прямого угла.
Введем обозначение: . Найдем площадь двумя разными способами:

Площадь можно найти по формуле , где и — два катета.
Биссектриса разделила на два треугольника, площади которых неизвестны. Их площади можно найти по формуле:

где и — стороны треугольника, а — угол между ними, т.е. .

Поскольку а биссектриса является неизвестной, то получим уравнение с одним неизвестным.

Метод векторов

Чтобы применить метод векторов к решению задачи, необходимо выполнить следующие действия:

Пример №8

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: — четырехугольник;

Доказать: — параллелограмм.

1. Переведем задачу на язык векторов, заменив отрезки векторами: .

2. Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: . Учитывая, что ( — середина ) и ( — середина ), получаем равенство:
Поэтому .
Аналогично .

3. Поэтому . Т.е. векторы одинаково направлены, лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Это доказывает, что — параллелограмм. Ч.т.д.

Переведя задачу на язык векторов, получаем требование задачи: доказать равность векторов и . Воспользовавшись правилом треугольника для нахождения суммы векторов, имеем:

Однако поэтому .
Аналогично получаем, что .
Таким образом, , что и требовалось доказать.

Метод координат

Решая задачу координатным методом, следует выполнить такие действия:

Методом координат чаще всего решают задачи:

Решая задачу методом координат, необходимо рационально выбрать систему координат: данную фигуру следует разместить относительно осей координат таким образом, чтобы как можно больше координат нужных точек равнялось нулю, а также одному и тому же числу. Например, координаты вершин прямоугольника можно выбрать так, как на рисунке 1.35:

Проиллюстрируем суть метода координат на примере.

Пример №9

Докажите, что когда у параллелограмма диагонали равны, то он прямоугольник.

Разместим параллелограмм в системе координат таким образом, чтобы его вершины имели координаты: , , причем .

По условию . Выразим расстояние между точками и , и через их координаты:

Тогда, или , отсюда .

Поскольку , то, а это означает, что точка лежит на оси .

Поэтому угол прямой. Отсюда следует, что параллелограмм — прямоугольник.

Метод геометрических преобразований: метод поворота, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод гомотетии.

Решая задачи методом геометрических преобразований, наряду с данными фигурами рассматривают новые, полученные из данных с помощью определенного преобразования. Выясняют свойства новых фигур, переносят эти свойства на данные фигуры, а затем находят способ решения задачи.

Говорят, что задачи, решенные методами векторов, координат, геометрических преобразований, площадей и другими методами, в которых используется больше свойств геометрических фигур, решены геометрическими методами.

Второй период — формирование геометрии в структурную систему. В VII в. до н.э. центром развития геометрии стала Греция. Древние геометры работали над систематизацией накопленных и новых знаний, устанавливали связи между геометрическими фактами, разрабатывали приемы доказательств. Значительный вклад в развитие математики, в частности геометрии, в этот период сделали Пифагор, Платон, Аристотель, Фалес, Анаксигор, Демокрит, Евклид. В книге «Начала» Евклида сформулированы понятия о фигуре, о геометрическом утверждении и доказательстве. Они остаются актуальными и сегодня.

Особенность начатого Н.И. Лобачевским периода в истории геометрии состоит в том, что после его открытия начали развиваться новые геометрические теории, новые «геометрии» и соответствующие обобщения самого предмета геометрии. В этот период возникло понятие о разновидностях пространства (термин «пространство» в науке может означать как обычное реальное пространство, так и абстрактное, «математическое», пространство). Некоторые теории создавались внутри евклидовой геометрии, как ее особые разделы, а позднее приобретали статус самостоятельных. Другие, подобно геометрии Лобачевского, вводили изменения аксиом и структурировались на основе этих изменений, обобщая и строя науку.

В школьном курсе мы изучаем геометрию Евклида. Перевел труд древнегреческого ученого «Начала» украинский математик Михаил Егорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) в 1880 г. На основе этой книги написано множество учебников по геометрии. Например, преподавание геометрии в советской школе почти до 1982 г. осуществлялось по учебнику российского педагога-математика А.П. Киселева (1852-1940). В 1980-х годах украинским математиком А.В. Погореловым было создано новое учебное пособие. Его и сегодня можно найти в библиотеках общеобразовательных учебных заведений.
Современная геометрия является многовекторной и стремительно развивается в совокупностях математических теорий, изучающих различные пространства и их фигуры. Значительный вклад в геометрию сделали и наши соотечественники: М.В. Остроградский, А.М. Астряб, А.П. Киселев, А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник