что такое пифагора тройка

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора

Вокруг да около

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии.

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором — площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!

Зарождение идеи

В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.

Египетские треугольники

Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.

Загадочные четверки

Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать. Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: «А что бы это все могло значить?» Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал. Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции. Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке. Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было

Шерлок нашел зацепку

Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!

Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема

Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.

Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды

На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема

Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны — , и площадь грани-гипотенузы — . Тогда

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство

где .

Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и

Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому

Что и требовалось доказать!

ЭВРИКА!

Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие. Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил. Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»).

Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие

В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!

Вот ссылка на статью:

Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!

Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку
Теорема де Гуа

Выдержка из Википедии

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]

Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!

Источники

Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:

Источник

Пифагоровы тройки чисел (Творческая работа обучающегося)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Пифагоровы тройки чисел

ученика 8 ”A” класса

Октябрьского района г. Саратова

Руководитель – учитель математики высшей категории

Гришина Ирина Владимировна

Теоретическая часть работы

Нахождение основного Пифагорова треугольника

Практическая часть работы

Составление пифагоровых троек различными способами……………………. 6

Важное свойство пифагоровых треугольников……………………………………. 8

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У меня сразу возникли вопросы: а сколько пифагоровых троек можно придумать? А как их составлять?

В нашем учебнике геометрии после изложения теоремы, обратной теореме Пифагора, было сделано важное замечание: можно доказать, что катеты а и b и гипотенуза с прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются натуральными числами, можно находить по формулам:

а = 2kmn b = k( — ) c = k( + , (1)

Естественно, возникает вопрос – как доказать данные формулы? И только ли по этим формулам можно составлять пифагоровы тройки?

В своей работе я осуществил попытку ответить на возникшие у меня вопросы.

Теоретическая часть работы

Нахождение основного Пифагорова треугольника (формулы древних индусов)

Сначала докажем формулы (1):

Данное уравнение называют уравнением Пифагора. Исследование пифагоровых треугольников сводится к решению в натуральных числах уравнения (2).

Если каждую сторону некоторого пифагорова треугольника увеличить в одно и то же число раз, то получим новый прямоугольный треугольник, подобный данному со сторонами, выраженными натуральными числами, т.е. снова пифагоров треугольник.

Среди всех подобных треугольников существует наименьший, легко догадаться, что это будет треугольник, стороны которого х и у выражаются взаимно простыми числами

Отыскание основных пифагоровых треугольников.

Отсюда: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 8 в остатке 2, следовательно, сумма квадратов двух нечетных чисел есть число четное, но не кратное 4, а потому это число не может быть квадратом натурального числа.

Итак, равенство (2) не может иметь места, если x и у оба нечетны.

Из уравнения + = получаем, что = ( z + x )( z — x ) (3).

Числа z + x и z — x как сумма и разность двух нечетных чисел – числа четные, а потому (4):

Из этих равенств следует, что a и b – взаимно простые числа.

Докажем это, рассуждая от противного.

Из арифметики известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из этих чисел также является квадратом натурального числа.

Значит, а = и b = , где m и n – взаимно простые числа, т.к. они являются делителями взаимно простых чисел а и b .

На основании равенства (5) имеем:

z = + , x = — , = ab = * = ; с = mn

Полученные результаты можно выразить в виде следующей теоремы:

Все основные треугольники, в которых у является четным числом, получаются из формулы

х = — , y =2 mn , z = + ( m > n ), где m и n – все пары взаимно простых чисел, из которых одно является четным, а другое нечетным (безразлично, какое). Каждая основная пифагорова тройка ( х, у, z ), где у – четное,- определяется этим способом однозначно.

Числа m и n не могут быть оба четными или оба нечетными, т.к. в этих случаях

х = были бы четными, что невозможно. Итак, одно из чисел m или n четно, а другое нечетно ( y = 2 mn делится на 4).

Практическая часть работы

Составление пифагоровых троек различными способами

В формулах индусов m и n – взаимно простые, но могут быть числами произвольной четности и составлять пифагоровы тройки по ним достаточно тяжело. Поэтому попробуем найти другой подход к составлению пифагоровых троек.

= — = ( z — y )( z + y ), где х – нечетное, y – четное, z – нечетное

Т.к. произведение двух нечетных взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то u = , v = , где k и l – взаимно простые, нечетные числа.

z — y = z + y = k 2 , откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:

2 z = + 2 y = — то есть

z = y = x = kl

Источник

Методический материал по математике «Пифагоровы тройки»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема: Пифагоровы тройки

Оглавление

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического применения в современной жизни.

Цель : заключается в изучении пифагоровых троек и их применения для решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема : Пифагоровы тройки изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

Один из катетов должен быть кратным трём,

Один из катетов должен быть кратным четырём,

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

Примитивными (все три числа-взаимно простые),

Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа, которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30.

Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад.

; c =5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b =12;

; c =13; вторая тройка (5, 12, 13).

; c =25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек.

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Вычислим первую формулу тройки:

Вычислим вторую формулу тройки:

Вычислим третью формулу тройки:

Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении задач с теоремой Пифагора.

лежит напротив прямого угла;

является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

обозначается как «с» в теореме Пифагора;

Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с.

Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, t g ).

Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Согласно теореме Пифагора:

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8?

2) По теореме Пифагора

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

По теореме Пифагора:

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD =1,5; AC =2,5.

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы?

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2. Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни.

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые украшают зарубежные города:

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях готического и романского стиля.

Романский стиль: Готический стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

Источник