что такое перпендикулярные прямые 6 класс математика

Что такое перпендикулярные прямые 6 класс математика

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Перпендикулярные прямые – определение (6 класс, математика)

Перпендикулярные прямые образуют собой целый пласт фигур, построений и вычислений в геометрии. Без понимания перпендикулярных прямых не получится решать такие фигуры, как прямоугольный треугольник, прямоугольник, квадрат или прямоугольная трапеция. Поэтому стоит особенное внимание уделить этим понятиям.

Что такое перпендикулярные прямые

При пересечении двух прямых образуется 4 угла. Определение перпендикулярных прямых звучит так: это прямые, угол между которыми равен 90 градусам. Углов всего 4, полный угол это 360 градусов. Если один из углов равен 90 градусам, то и 3 других будут по 90.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными, так же должно выполняться два условия: отрезки должны пересекаться, а угол пересечения между ними должен равняться 90 градусам.

Рис. 1. Перпендикулярные линии.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая крайне востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон прямоугольна обоим основанием. А планометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.

Что мы узнали?

Мы разобрали, что такое перпендикулярные прямые, поговорили о свойствах перпендикуляров и описали фигуры, для построения которых необходимы перпендикулярные прямые. Разобрались в теме для полного понимания при первой встрече с данным вопросом в 6 классе.

Источник

Конспект урока «Перпендикулярные прямые» (6 класс).

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема урока: « Перпендикулярные прямые».

Тип урока: урок получения новых знаний.

Цели урока: ввести понятие и обозначение перпендикулярных прямых, перпендикулярных отрезков и лучей; показать способы построения перпендикулярных прямых; отрабатывать умение строить перпендикулярные прямые; развивать наблюдательность, а также коммуникативные умения, воспитывать аккуратность, внимательность, усидчивость.

I. Организационный момент

II. Анализ контрольной работы

1. Познакомить учащихся с результатами контрольной работы.

2. Выполнить работу над ошибками, решив задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок, задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

1. Решите уравнения:

2. За кусок пицы и салат «Цезарь» вы заплатили 200 рублей. Салат дороже пиццы в 3 раза. Сколько стоит пицца? (50 руб.)

3. Какую часть метра составляет 250 миллиметров?

4. Какую часть часа составляют 10 минут?

IV. Индивидуальная работа ( 1 вариант составлен для менее подготовленных учащихся, первые выполнившие 3 номера, выполняют 4 задание на обратной стороне поворотной доски доски )

1. Раскрыть скобки и найти значение выражения:

2. Решить уравнение: 2(7х — 4) — 2(2х — 3) = 12. ( 2 )

1. Раскрыть скобки и найти значение выражения:

2. Решить уравнение: —7(3х — 8) + 3(4х + 5) = 8.

3. Привести подобные слагаемые: 23m — 21n + 16n — 13m — 16n.

4. Упростить выражение: —2(3а + 6с) + 8(с — а) —3(—6а — 7с).

V. Сообщение темы урока

— Сегодня для работы на уроке нам понадобится транспортир и чертежный треугольник. А вот зачем, вы узнаете в течение урока.

VI. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

— Вспомним что мы знаем о прямой ( используем слайд)

— Какие виды углов вы знаете? (Слайд.Прямой, острый, тупой, развернутый.)

— Дайте определение прямого угла. (Слайд.Угол, градусная мера которого равна 90°, называется прямым углом.)

— Как называется прибор для измерения углов? (Транспортир.)

2. Работа над новой темой.

— Постройте две пересекающиеся прямые.

— Сколько углов получилось при пересечении этих прямых? (6)

— Что у всех углов общего? (Общая вершина — точка пересечения прямых.)

— Что можете сказать о парах этих углов? (Они равны.)

(Показать на чертеже.)

— Если все четыре угла равны между собой, то каждый угол равен 90°.

Определение. Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

— Читают: прямая АС перпендикулярна прямой ВД.

— Если АС ⊥ ВД, то ВД ⊥ АС

— Показать на доске построение прямых с помощью транспортира и чертежного треугольника.

— В тетрадях проведем наклонную прямую (показываю на доске), строим перпендикулярную к ней с помощью транспортира.

— Отметьте по две точки на каждой прямой.

— Какие геометрические фигуры получились? (Отрезки и лучи.)

— Опишите взаимное расположение отрезков: АВ ⊥ CD.

— Дайте определение перпендикулярных отрезков (лучей). Определение. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными.

VIII. Закрепление изученного материала

1. № 464 стр. 109 (устно).

2. № 465 стр. 109 (на доске и в тетрадях).

Вывод: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой

IX. Работа над задачей

№ 474 стр. 110 (самостоятельно, устная проверка).

1) 60:0,2=300 (м)-осталось в первый раз,

2) 300:0,5 = 600 (м) –было в куске.

X. Повторение изученного материала

1. № 469 (а, б) стр. 110 (самостоятельно, взаимопроверка).

— Какое свойство уравнений использовали при решении второго уравнения?

(Ответ: а) х = 7; б) х = —3.)

XI. Подведение итогов урока

— Какие прямые называют перпендикулярными?

— Какие отрезки и лучи называют перпендикулярными?

— Сколько перпендикулярных прямых можно провести к данной прямой из одной точки, не лежащей на этой прямой?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-1565459

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Спортивные и творческие кружки должны появиться в каждой школе до 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки: вузы вправе вводить QR-коды для посещения корпусов

Время чтения: 2 минуты

В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Урок 44 Бесплатно Перпендикулярные прямые

До этого на уроках математики мы работали с числами, буквами, выражениями.

Иногда не только писали, но и рисовали схемы, координатные прямые и рисунки, чтобы лучше разбираться в изучаемом вопросе.

Сегодня мы будем изучать геометрические понятия, а именно, что является прямой, а что нет, какие прямые называются перпендикулярными.

Также узнаем, как строить перпендикулярные прямые разными способами.

Основные определения

В геометрии есть два понятия, которые не имеют определения, их мы принимаем как аксиомы.

Это понятия точки и прямой.

Все остальные определения будут так или иначе выражаться через эти два понятия.

Заметим, что любая точка, лежащая на прямой, разделяет эту прямую на два луча.

Разделяющую точку также называют началом луча.

И еще немного формализма.

Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало вершиной угла.

Есть величины для измерения длины: метр, сантиметр, километр и прочие производные метра.

Для измерения угла используются другие величины: градусы, минуты, секунды, радианы.

Одним из наиболее простых приборов для измерения углов является транспортир. Достаточно приложить его прямую часть к одной стороне угла и посмотреть, какое деление совпадет со второй стороной угла.

Главное, быть внимательным и смотреть, с какой стороны находится внутренняя часть угла.

Допустим, имеется такая конфигурация:

Углы обычно обозначаются тремя буквами, где буква посередине обозначает вершину угла.

Величина угла AOB будет равняться 45-ти градусам, можно записать как \(\mathbf<45^\circ>\).

Если необходимо измерить угол BOC, то нужно из 180-ти градусов вычесть 45 градусов, так как метки на транспортире соответствуют величинам углов, если считать от нуля, а в данном случае луч ОС лежит на отметке 180.

Также часто перед буквенным обозначением угла ставят следующий знак: \(\mathbf<\angle>\), получаются такие записи: \(\mathbf<\angle AOB>\), \(\mathbf<\angle BOC>\).

Иногда, когда нет неоднозначности, угол могут обозначать и одной буквой, например \(\mathbf<\angle A>\)

На транспортире данная отметка находится посередине.

Если обычный угол часто обозначают маленькой дугой, то прямые углы принято обозначать таким квадратиком.

Прямой угол один из самых распространенных в мире: с большой вероятностью вы сейчас сидите в комнате с такиими углами, у вашего стола прямые углы, а также у окна и так далее.

Теперь мы подготовили все определения, чтобы определить термин из заголовка урока.

Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

Прямые часто обозначают одной строчной латинской буквой. В данном случае прямые a и b перпендикулярные по определению, потому что образуют прямые углы.

Если бы они пересекались под другим углом или не пересекались бы, то они не были бы перпендикулярными. В данном случае прямые a и b не являются перпендикулярными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Построение прямого угла и перпендикулярных прямых

Перечислим основные способы в порядке возрастания сложности.

Самый простой способ взять предмет с прямым углом- чертежный треугольник, линейку, банковскую или проездную карту (придется только дорисовать скошенный угол от руки), и обвести его.

Правда, мы не можем гарантированно полагаться на перечисленные кроме треугольника предметы, так как они не предназначены для черчения, и угол может быть не совсем прямым.

Лучи, являющиеся сторонами угла, будут перпендикулярны, а значит, будут частями перпендикулярных прямых.

Также можно построить любой угол, в том числе прямой, с помощью транспортира.

1) Вершину угла мы ставим в центре прямой части транспортира.

2) Одни сторону проводим по прямой части транспортира в сторону нуля.

3) Ставим метку напротив риски с соответствующей величиной угла.

4) Соединяем вершину угла с меткой.

Аналогичным образом строится прямой угол.

В таком случае его стороны опять же будут перпендикулярными лучами, следовательно, частями перпендикулярных прямых.

Прежде чем перейти к более сложному и интересному способу, надо упомянуть, что клетки в тетради начерчены перпендикулярными прямыми, поэтому можно от руки обвести одну вертикальную линию и одну горизонтальную.

Скорее всего линии получатся не совсем прямыми, но если это нужно для какой-то схемы в черновике, то почему бы и нет.

Хотя конечно же во всех работах лучше использовать приборы и линейку чтобы рисунок был максимально красивым.

Интересно, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью циркуля и линейки без разметки (ну и карандаша/ручки, конечно же).

Подробнее, почему алгоритм является корректным, вы узнаете в курсе геометрии за 7-й класс, но пока что посмотрим на сам алгоритм.

1) Чертим прямую и отмечаем на ней точку (назовем ее О).

2) Ставим в эту точку циркуль и с помощью него делаем две пометки, получаем две точки, равноудаленные от первой точки (назовем из А и В).

3) Проводим из каждой из точек А и В окружности одинакового радиуса, или лучше только нужные их части, так чтобы получить хотя бы одно пересечение (назовем его точной С).

4) Соединяем точку С с исходной точкой О, готово, мы получили перпендикулярную прямую, причем проходящую через точку, которую мы сами выбрали.

В этом алгоритме важна аккуратность: если точки А и В будут на разном расстоянии от центра или окружности из точек А и В будут разного радиуса, прямая может получится не перпендикулярной.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник