что такое период функции
Что такое период функции
Период функции – положительное число Т, обладающее двумя свойствами:
а) вместе с числом х в область определения данной функции входят также числа х + Т и х – Т;
б) для любого значения х из области определения функции справедливы равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T).
Наименьшее из чисел Т, обладающих указанными свойствами, называется основным периодом функции.
Часто основной период функции называют просто ее периодом.
Функция, имеющая период, называется периодической. В школьной программе наиболее часто из периодических функций встречаются основные тригонометрические функции.
Очевидно, что если Т – период функции, то при любом натуральном (т.е. целом положительном) значении k число kT также будет ее периодом. Точнее, если периодическая функция у = f(x) непрерывна на каком-нибудь интервале и не является на нем константой (т.е. постоянной), то для нее существует наименьший период Т; тогда любой период этой функции имеет вид kT, где k – натуральное число.
Для построения графика периодической функции достаточно построить его на любом отрезке длиной в (основной) период, тогда весь график получится сдвигом построенной части вправо и влево на целое число периодов.
Периодические функции
С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.
Дадим определение периодической функции:
Например, — периодические функции.
Для функций и период
Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:
1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения
График функции может выглядеть, например, вот так:
Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.
2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).
Построим график функции при
Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.
Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.
3. Найдите наименьший положительный период функции
Наименьший положительный период функции равен
График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).
Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции
4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.